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1、圆的概念及性质一、圆的相关概念1.圆的定义1描绘性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所构成的图形叫做圆，其中固定端点O叫做圆心，OA叫做半径2集合性定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径3圆的表示方法：通常用符号表示圆，定义中以O为圆心，OA为半径的圆记作O“，读作圆O“4同圆、同心圆、等圆：圆心一样且半径相等的圆叫同圆；圆心一样，半径不相等的两个圆叫做同心圆；能够重合的两个圆叫做等圆注意：注意：同圆或等圆的半径相等2.弦和弧1弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦2直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的2倍3
2、弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距4弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧以AB、为端点的圆弧记作AB，读作弧AB5等弧：在同圆或等圆中，能够相互重合的弧叫做等弧6半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆7优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧8弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形3.圆心角和圆周角1圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角将整个圆分为360等份，每一份的弧对应1?的圆心角，我们也称这样的弧为1?的弧圆心角的度数和它所对的弧的度数相等2圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角二、圆的对称性1.旋转对称性1圆是中心对称图形，对称中
3、心是圆心；圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度角，总能与自身重合2圆的旋转对称性?圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系2.轴对称性1圆是轴对称图形，经过圆心的任一条直线是它的对称轴2圆的轴对称性?垂径定理三、圆的性质定理1.圆周角定理1定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半2推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90?的圆周角所对的弦是直径推论3：假如三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形2.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦
4、相等，所对的弦的弦心距相等圆的概念及性质A注意：前提条件是在同圆或等圆中；在由等弦推出等弧时应注意：优弧与优弧相等；劣弧与劣弧相等3.垂径定理1定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧2推论1：平分弦非直径的直径，垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧3推论2：圆的两条平行线所夹的弧相等注意：若“过圆心的直线、“垂直于弦、“平分弦非直径、“平分弦所对的优弧、“平分弦所对的劣弧中的任意两个成立，则另外三个都成立注意：应用垂径定理与推论进行计算时，往往要构造如右图所示的直角三角形，根
5、据垂径定理与勾股定理有：222()2ard=+，根据此公式，在a，r，d三个量中知道任何两个量就能够求出第三个量一、圆的相关概念及性质【例1】判定题：1直径是弦()2弦是直径()3半圆是弧()4弧是半圆 ()5长度相等的两条弧是等弧()6等弧的长度相等 ()7两个劣弧之和等于半圆 ()D8半径相等的两个圆是等圆()9两个半圆是等弧 ()10圆的半径是R，则弦长的取值范围是大于0且不大于2R()【稳固】如图，在两半径不同的同心圆中，60AOBAOB=?，则AABAB=BABABCAB的度数=AB的度数DAB的长度=AB的长度【例2】如图，点ADGM、在半圆O上，四边形ABOCDEOFHMNO、均
6、为矩形，设BCa=，EFb=，NHc=则下列格式中正确的是()AabcBabc=CcabDbca【稳固】如图，两正方形相互相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为216cm，则该半圆的半径为_【例3】如图，1O，2O，3O，4O为四个等圆的圆心，A，B，C，D为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并讲明这条直线经过的两个点是；如图，1O，2O，3O，4O，5O为五个等圆的圆心，A，B，C，D，E为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆分成面积相等的两部分，并讲明这条直线经过的两个点是图1图2ONMHGFEDCBA二、圆的性质定理1.圆周角定理【例4】如图，80AOB=?
7、，则弧AB所对圆周角ACB的度数是A40?B45?C50?D80?【稳固】如图，O是ABC?的外接圆，已知50ABO=?，则ACB的大小为_【例5】如下左图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，ABO、是小正方形顶点，O的半径为1，P是O上的点，且位于右上方的小正方形内，则APB等于_POBA【例6】如图，量角器外沿上有AB、两点，它们的度数分别是7040?、，则1的度数为_【稳固】如图，量角器外缘边上有APQ，三点，它们所表示的读数分别是180?，70?，30?，则PAQ的大小为A10?B20?C30?D40?【例7】如图，O是ABC?的外接圆，已知60B=?，则CAO的度数是A15?B
8、30?C45?D60?【稳固】如图，AB是O的直径，CD是O的弦，连接ACAD，若35CAB=?，则ADC的度数为【例8】如下图的半圆中，AD是直径，且32ADAC=，则sinB的值是_DCABD【稳固】如图，AB是O的直径，CDAB，设COD=，则2sin2ABAD?=_【例9】如图，AB为O的直径，CD是O的弦，ABCD、的延长线交于点E，若218ABDEE=?，求AOC的度数E【稳固】如下图CD是O的直径，87EOD=?，AE交O于B，且ABOC=，求A的度数D【例10】如图，在O中，AOB的度数为m，C是ACB上一点，DE、是AB上不同的两点(不与AB、两点重合)，则DE+的度数为_【
9、稳固】如图，AB是O的直径，弦PC交OA于点D，弦PE交OB于点F，且OCDCOFEF=，若CE=，则CPE=_OPFEDCBA【例11】如下图，在ABC?中，45C=?，4AB=，则O的半径为B.4D.5CBA【稳固】如图，ABC的三个顶点都在O上，302cmCAB=?=，则O的半径为_cm【稳固】如图AB是半圆O的直径，点CD、在弧AB上，且AD平分CAB，已知106ABAC=，求AD的长【例12】如图，ABC，重合)，是O的内接三角形，点C是优弧AB上一点(点C不与AB设OAB=，C=1当35=?时，求的度数；【稳固】如图，O分成度数比为12相交于B、C两点，BC是P与P的直径，且把O的
10、两条弧，A是BmC上的动点(不是B、C重合)，连结AB、AC分别交P于D、E两点1当ABC?是钝角三角形时，判定PDE?的形状2当ABC?是直角三角形时，判定PDE?的形状3当ABC?是锐角三角形时，判定PDE?的形状这种情况加以证实【例13】圆1S及2S相交于点A及B圆1S的圆心O落在2S的圆周上，圆1S的弦AC交2S于点D如图，证实：线段OD与BC是相互垂直的ABCDOS1S2【稳固】两圆相交于A、B，P是大圆O上一点，过A、P和B、P分别作直线交小圆于C、D，过O、P作直径PE求证：PECDPGFEDCBA【例14】如图，已知AB是O的直径，点C是O上一点，连结BCAC、，过点C作直线C
11、DAB于点D，点E是AB上一点，直线CE交O于点F，连结BF，与直线CD交于点G求证：2BCBGBF=?B【稳固】如图，已知：在O中，直径4AB=，点E是OA上任意一点，过E作弦CDAB，点F是BC上一点，连接AF交CE于H，连接ACCFBDOD、求证：ACHAFC?；猜测：AHAF?与AEAB?的数量关系，并讲明你的猜测；探究：当点E位于何处时，:1:4AECBODSS?=？并加以讲明B【例15】如图，AB，AC，AD是圆中的三条弦，点E在AD上，且ABACAE=请你讲明以下各式成立的理由：12CADDBE=；222ADABBDDC-=?EDCBA【稳固】在ABC?中，60ABC=?，点O、H分别是ABC?的外心、垂心点D、E分别在边BC、AB上，使得BDBH=，BEBO=，已知1BO=求BDE?的面积图12HOFEDCBA