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1、弹塑性力学总温习（弹塑性力学）课程第一篇基础理论部分第一章应力状态理论1.1基本概念1应力的概念应力：微分面上内力的分布集度。从数学上看，应力sPFs?=?0lim由于微分面上的应力是一个矢量，因而，它能够分解成微分面法线方向的正应力和微分面上的剪应力。注意弹塑性力学中正应力和剪应力的正负号规定。2一点的应力状态1一点的应力状态概念凡提到应力，必须同时指明它是对物体内哪一点并过该点的哪一个微分面。物体内同一点各微分面上的应力情况，称为该点的应力状态。2应力张量物体内任一点不同微分面上的应力情况一般是不同的，这就产生了一个怎样描绘一点的应力状态的问题。应力张量概念的提出，就是为了解决这个问题。在
2、直角坐标系里，一点的应力张量可表示为?=zzyzxyzyyxxzxyxij若已知一点的应力张量，则过该点任意微分面上的应力矢量p就能够由下面公式求出：nmlpxzxyxx+=1-1anmlpyzyyxy+=1-1bnmlpzzyzxz+=1-1c由式1-1，还可进一步求出该微分面上的总应力p、正应力和剪应力v：222zyxpppp+=1-2anlmnlmnmlzxyzxyzyx222222+=1-2b22-=p1-2c3主平面、主方向与主应力由一点的应力状态概念可知，通过物体内任一点都可能存在这样的微分面：在该微分面上，只要正应力，而剪应力为零。这样的微分面即称为主平面，该面的法线方向即称为主
3、方向，相应的正应力称为主应力。主应力、主方向的求解在数学上归结为求解下面的特征问题：iniijnn=1-3式中，ij为该点应力张量分量构成的矩阵，n为主应力，in为主方向矢量。由于应力张量矩阵是实对称方阵，根据线性代数知识可知，式1-3必定存在实数的特征值，即主应力n必然存在。求解主应力n的特征方程如下：032213=-IIInnn1-4a式中，I1、I2和I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。并且，3211+=+=zyxI1-4b)(1332212222+-=+-=-=zxyzxyxzzyyxxzxzxzzyzyzyyxyxyxI1-4c3213=zzyzxyzyyxxzxyxI1-
4、4d应注意在主应力求出之后，相应的主方向的求解方法。5最大剪应力在与主方向成450角的微分面内，剪应力取极值。若规定321，则最大剪应力出如今过2主应力轴而平分1和3轴的微分面上，并且231max-=1-56应力球量与应力偏量应力张量的分解ijijs+=1-6式中，?=mmm000000和?-=mzzyzxyzmyyxxzxymxijs分别称为应力球量和应力偏量，并且3/)(3/1zyxmI+=。对应力偏量，能够类似于应力张量那样，得到其主值及其三个不变量：032213=-JsJsJsnnn1-7a033211=-+=+=+=mzyxzyxssssssJ1-7b)(6)()()()()()(2
5、/)()(222222612132322211332211332212222zxyzxyxzzyyxzxyzxyxzzyyxssssssssssssssssssssJ+-+-+-=-+-+-=+=+-=+-=1-7c3213sssJmzzyzxyzmyyxxzxymx=-=1-7d7八面体上正应力和剪应力3/)(8zyx+=1-8a232222222318)(6)()()(Jzxyzxyxzzyyx=+-+-+-=1-8b1.2静力平衡方程0=+?+?+?Xzyxxzyxx1-9a0=+?+?+?Yzyxyzyyx1-9b0=+?+?+?Zzyxzzyzx1-9c1.3静力边界条件三类边界：位
6、移边界、应力边界和混合边界。尤其应注意应力边界条件的表示形式：Xnmlxzxyx=+1-10aYnmlyzyxy=+1-10bZnmlzzyzx=+1-10c第二章应变状态理论2.1基本概念1位移、变形与应变位移：物体内各点位置的变化。变形：刚体位移+形状的改变。描绘物体内微元体形状改变的物理量，称为应变。应变分为两种不同的定义：正应变和剪应变。正应变用于描绘微分平行六面体棱边的相对伸长量，剪应变用于描绘棱边间夹角的变化。2一点的应变状态1应变张量与一点的应力状态概念类似，为了描绘一点的应变状态，需要引进应变张量的概念。在直角坐标系里，应变张量可表示为?=zzyzxyzyyxxzxyxij2应
7、变主方向、主应变与应变张量的不变量对物体内任一点，至少都能够找到3个互相垂直的方向，沿这些方向的微分线段在物体变形后仍互相保持垂直，具有这种性质的方向称为应变主方向，把这样方向的微分线段的正应变，称为主应变。与求解主应力、主方向一样，主应变、应变主方向的求解在数学上也归结为求解一个特征问题：iniijnn=2-1求解主应变n的特征方程如下：032213=-IIInnn2-2a式中，1I、2I和3I分别称为应变张量的第一、第二和第三不变量。并且，3211+=+=zyxI2-2b)(1332212222+-=+-=-=zxyzxyxzzyyxxzxzxzzyzyzyyxyxyxI2-2c3213=
8、zzyzxyzyyxxzxyxI2-2d4应变球量与应变偏量应变张量的分解ijije+=2-35体积应变1Izyx=+=2-42.2几何方程Cauchy方程xux?=，yvy?=，zwz?=xvyuxy?+?=，ywzvyz?+?=，xwzuzx?+?=2-5应注意工程剪应变ij与应变张量分量ij之间的区别：ijij2=2.3应变协调方程SaintVenant方程保证物体连续性的必要条件yxxyxyyx?=?+?222222-6azyzzyzzy?=?+?222222-6bxzzxzxxz?=?+?222222-6czyzyxxxxyzxyz?=?+?+?-?22)(2-6dxzxzyyyyz
9、xyzx?=?+?+?-?22)(2-6eyxyxzzzzxyzxy?=?+?+?-?22)(2-6f第三章本构方程3.1基本概念1线弹性体的广义Hooke定律ijijklijc=3-12弹性应变能的概念由于弹性体的变形而储存在物体内部的势能称为弹性应变能。单位体积的弹性应变能称为应变能密度，用0u表示。对弹性体，应变能密度函数可表示为下面的一般形式：ijijijduij?=00)(3-2a对线弹性体，应变能密度函数的形式如下：zxzxyzyzxyxyzzyyxxijijiju+=)(2121)(03-2b3几种常见的弹性体的基本概念1各向异性弹性体2具有一个弹性对称面的各向异性弹性体3正交各
10、向异性弹性体4横贯各向同性弹性体5各向同性弹性体以上各种弹性体的概念，应注意结合实际工程背景去理解。4各向同性弹性体的本构方程1用应力表示应变的形式)(1zyxxE+-=)(1zxyyE+-=3-3a)(1yxzzE+-=Gxyxy=，Gyzyz=，Gzxzx=，剪切模量)1(2+=EG。2用应变表示应力的形式)(2zyxxx+=)(2zyxyy+=3-3b)(2zyxzz+=xyxy=，yzyz=，zxzx=式中，、称为拉梅常数，而且)21)(1(-+=E，)1(2+=EG。5体变能与畸变能的概念弹性应变能的分解体变能应力球量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，体变能ovu可表示为2
11、1181IKuov=，)21(3-=EK为体积模量。畸变能应力偏量对应的弹性应变能密度概念。对各向同性弹性体，畸变能odu可表示为282214321GJGesuijijod=6屈从、屈从条件、屈从函数、屈从面与加载条件、加载函数和加载面的概念屈从：初次由弹性变形状态进入塑性变形状态的界线。屈从概念能够从低碳钢试件的拉伸试验去理解。屈从条件一般是指物体内任一点初次由弹性变形状态进入塑性变形状态，该点的应力状态所知足的条件。它是判定材料受力到什么程度才开场出现塑性变形的准则。若把屈从条件用数学函数形式表示，则相应的函数即称为屈从函数，屈从函数在应力空间中对应的曲面，称为屈从曲面。加载条件、加载函数
12、和加载面都是对应于物体发生屈从之后的“屈从概念后继屈从概念。7几种常见的弹塑性体模型1理想弹塑性模型2理想刚塑性模型3弹塑性线性强化模型4刚塑性线性强化模型5幂次强化模型8塑性理论的基本假设9Druck公设与加卸载准则1强化模型0)(?ijijdf加载3-4b0)(=ijf，02Mises屈从条件：一般形式为2231sJ=或22sJ=。3CoulombMohr屈从条件12Mises的塑性位势理论13简单加载定理3.2弹塑性本构方程1增量形式ijijijsddsGde+=213-62全量形式ijiipijs23=3-7aijiiijse23=3-7b第四章弹塑性力学问题的提法和基本解法4.1弹塑
13、性力学问题所知足的三个基本关系1平衡关系参见式1.92几何关系参见式2.5和式2.63本构物理关系参见式3.3、式3-6和式3.7任何一个弹塑性力学问题都要同时知足以上三个基本关系，这三个基本关系和边界条件构成了弹塑性力学问题的严格完好的提法。从弹塑性力学问题对应的数学问题看，这是一组偏微分方程组+边值条件的数学问题。因而，一个弹塑性力学问题的求解，就归结为求解一组偏微分方程组的边值问题。4.2弹塑性力学问题的基本解法通常求解一个弹性力学问题，是要确定15个基本的未知量，它们分别为：6个应力分量和6个应变分量，以及3个位移分量。求解塑性力学问题，通常也要确定这15个基本的未知量，但由于材料进入
14、塑性状态后的非线性性，加上所服从的加载和卸载规律不一样，所以求解经过远较弹性力学问题复杂，往往需要采用数值解法。下面仅介绍一般的求解策略。1位移解法1基本思想以3个位移分量作为基本未知量，并首先求出；在求出3个位移分量后，由几何方程确定6个应变分量，再利用本构方程确定6个应力分量。2定解方程及边界条件位移解法的定解方程为以位移分量表示的平衡方程L-N方程，边界条件应表述为位移分量表示的形式。2应力解法1基本思想以6个应力分量作为基本未知量，并首先求出；在求出6个应力分量后，由本构方程确定6个应变分量，再利用几何方程确定3个位移分量。3定解方程及边界条件应力解法的定解方程为静力平衡方程+以应力分
15、量表示的协调方程B-M方程，边界条件应表述为应力分量表示的形式。3混合解法以部分位移分量和部分应力分量作为基本未知量，并首先求出；然后利用几何方程和本构方程确定其它未知量的方法。4逆解法和半逆解法第二篇应用部分第五章简单弹塑性平面问题5.1两类平面问题1平面应力问题和平面应变问题的概念2平面问题的基本方程5.2平面问题的应力函数解法无体力或常体力情况下，平面问题采用应力解法时，其定解方程为1平衡方程：0=+?+?Xyxyxx0=+?+?Yyxyyx+2B-M方程：0)(2=+?yx若设Airy应力函数?知足：xXyx?-?=22?，yYxy?-?=22?，yxxy?-=?2，则平衡方程自动恒知
16、足，协调方程B-M方程化为022=?。可见，平面问题采用应力函数解法时，仅有一个基本未知量?，相应的定解方程为022=?。5.3梁的弹塑性平面弯曲问题的解5.4厚壁圆桶问题的解轴对称问题的位移解法5.5半无限平面问题及圆孔应力集中问题的解在极坐标系里求解第六章柱体扭转问题6.1柱体扭转问题的基本假设6.2柱体扭转问题的应力函数解法6.3解决柱体扭转问题的比较方法1薄膜比较法仅适用于柱体的弹性扭转问题，尤其注意它在薄壁杆件扭转问题中的应用。2沙堆比较法仅适用于受扭柱体整个截面都进入塑性的情况。3薄膜玻璃屋顶比较法适用于柱体的弹塑性扭转问题。第七章薄板小挠度弯曲问题7.1基本概念与基本假设7.2薄
17、板小挠度弯曲问题的位移解法7.3薄板小挠度弯曲问题的经典解法级数解法第三篇能量原理及其应用第八章基本的能量原理8.1真实状态与可能状态8.2弹性体的应变能与应变余能1总应变能的表达式线弹性体的应变能密度函数0u的表达式：zxzxyzyzxyxyzzyyxxijijiju+=)(2121)(0总应变能dVUzxVzxyzyzxyxyzzyyxx)(21?+=直杆在拉伸、弯曲情况下以及圆杆扭转的应变能表达式为：?=lldxxuEAEAdxxNU020221)(21拉伸?=lldxdxwdEIEIdxxMU02220221)(21弯曲?=lplptdxdxdGIGIdxMU02022121?扭转2总
18、应变余能的表达式对线弹性体，应变余能U应变能U。8.3基于位移可能状态的能量原理虚位移原理和最小势能原理8.4基于应力可能状态的能量原理虚应力原理和最小余能原理第九章能量原理的应用9.1李兹Ritz法1基于最小势能原理的李兹解法2基于最小余能原理的李兹解法9.2迦辽金法1基于最小势能原理的迦辽金解法2基于最小余能原理的迦辽金解法（弹塑性力学）温习提纲1.弹性力学和材料力学在求解的问题以及求解方法方面的主要区别是什么？研究对象的不同：材料力学，基本上只研究杆状构件，也就是长度远远大于高度和宽度的构件。非杆状构造则在弹性力学里研究研究方法的不同：材料力学大都引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，得到的解答往往是近似的，弹性力学研究杆状构造一般不必引用那些假定，得到的结果比拟准确。2.弹性力学有哪些基本假设？1连续性，2完全弹性，3均匀性，(4)各向同性，(5)假定位移和形变是微小的3.弹性力学有哪几组基本方程？试写出这些方程。 (1)平面问题的平衡微分方程:平面问题的几何方程：平面应力问题的物理方程： (在平面应力问题中的物理方程中将E换为，换为就得到平面应变问题的物理方程)(2)空间问题的平衡微分方程;