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1、概率论复习题及答案概率论与数理统计温习题一事件及其概率1.设,ABC为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1),ABC都不发生；(2),ABC不都发生；(3),ABC至少有一个发生；(4),ABC至多有一个发生。解：(1)ABCABC=?(2)ABCB=?(3)ABC?(4)BCACAB?2.设BA,为两互相独立的随机事件,4.0)(=AP,6.0)(=BP,求(),(),(|)PABPABPAB?-。解：()()()()()()()()0.76PABPAPBPABPAPBPAPB?=+-=+-=；()()()()0.16,(|)()0.4PABPABPAPBPABPA-=。3.设,AB互斥，
2、()0.5PA=，()0.9PAB?=，求(),()PBPAB-。解：()()()0.4,()()0.5PBPABPAPABPA=?-=-=。4.设()0.5,()0.6,(|)0.5PAPBPAB=，求(),()PABPAB?。解：()()(|)0.3,()()()()0.8,PABPBPABPABPAPBPAB=?=+-=()()()()0.2PABPABPAPAB=-=-=。5.设,ABC独立且()0.9,()0.8,()0.7,PAPBPC=求()PABC?。解：()1()1()1()()()0.994PABCPABCPABCPAPBPC?=-?=-=-=。6.袋中有4个黄球，6个白球
3、，在袋中任取两球，求(1)取到两个黄球的概率；(2)取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1)24210215CPC=；(2)1146210815CCPC=。7.从09十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：1215310112CCPC=。8.从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。解：10.80.820.321P?=。9.甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设A=“从甲袋中取出的是红球，B=“从乙袋中取出的是红球，则：1312(),(),(|)
4、,(|),4425PAPAPBAPBA=由全概率公式得：17()()(|)()(|)40PBPAPBAPAPBA=+=。10.某大卖场供给的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1)买到的一台微波炉是合格品的概率；(2)已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1)设321,AAA分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则123123()0.5,()0.4,()0.1,(|)0.95,(|)0.85,(|),PAPAPAPBAPBAPBA=由全概率公式得31()()(|)0.895iiiP
5、BPAPBA=；(2)1111()()(|)0.47595(|)()()0.895179PABPAPBAPABPBPB=。二一维随机变量及其数字特征1.已知X的概率密度函数1,02()0,kxxfxelse+?。解：201()(1)221,2fxdxkxdxkk+-=+=+=?=-?21211912216PXxdx?=-+=?，2021123EXxxdx?=-+=?。2.设)1.0,3(BX，求2,1PXPX=。解：22332(0.1)(0.9)0.027,11010.90.271PXCPXPX=-=-=。3.设三次独立随机试验中事件A出现的概率一样，已知事件A至少出现一次的概率为6437，求
6、A在一次试验中出现的概率p。解：三次试验中A出现的次数),3(pBX，由题意：416437)1(1)1(101133003=?=-=-=-=ppppCXPXP。4.某种灯管的寿命X单位：小时的概率密度函数为21000,1000()0,xfxxelse?=?，(1)求1500PX；(2)任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。解：(1)215001000215003PXdxx+=?；(2)设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y，则25,3YB?，故54121232210115333243PYPYPY?=-=-=-?=?。5.设(,),1.6,1.28,XBnpEXDX=求,np。解
7、：1.6,(1)1.288,0.2EXnpDXnppnp=-=?=。6.设(2)X，求22,(23)PXEXX+-。解：2213PXe-=-，()222(23)()232342437EXXEXEXEXDXEX+-=+-=+-=+-=。7.设6,1-UX，求2410.设某机器生产的螺丝长度(10.05,0.0036)XN。规定长度在范围12.005.10内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为9544.01)2(2)2()2(06.012.006.005.1006.012.012.005.1012.005.10=-=-=?y时，1)(=yFY；故0,2,013()1,1231,2Yyy
8、yFyyyy?，2,0131()(),1230,YYyfyFyyelse?= (1)求a；(2)求0,1,1|5PXYPYX=；(3)求YX,的边缘分布律；(4)求XY；(5)判定,XY能否独立。解：(1)0.1a=;(2)0.3,0.2；(3):0.5,0.5;:0.3,0.5,0.2XY；(4)0,0.6,()0cov(,)0,0XYEXEYEXYXY=?=；(5)0.10.40.20.1，不独立。2.已知),(YX的联合分布律为：且X与Y互相独立，求：(1)ba,的值；(2)0=XYP；(3),XY的边缘分布律；(4),EXEYDXDY；(5)ZXY=的分布律。解：(1)111296,1
9、118993aabb=?=; (2)45010199PXYPXY=-=-=；(3)11112:,;:,63233XY；(4)22222251353222,(),()6636339EXEXDXEXEXEYEYDYEYEY=-=-=；(5)1511,0,2993PZPZPZ=-=。3.已知),(YX的概率密度函数为(),02,01(,)0,cxyxyfxyelse+?=?，求：(1)常数c；(2)关于变量X的边缘概率密度函数)(xfX；(3)(YXE+。解：(1)21200011(,)()23123fxydxdydxcxydycxdxcccc+-?=+=+=+=?=?；(2)10111(),02(
10、)(,)3320,Xxydyxxfxfxydyelse+-?+=+1284(1),01()(,)0,yYxydxyyyfyfxydxelse+-?=-?=?；(3)(,)()()XYfxyfxfy?,XY不独立；(4)13121154216PXxdx?=?，1/2101186yyPXYdyxydx-+=-=?。2.生产灯泡的合格率为8.0，记10000个灯泡中合格灯泡数为X，求(1)(XE与)(XD；(2)合格灯泡数在80407960之间的概率。解：(1)(10000,0,8),()100000.88000,()100000.80.21600XBEXDX=?=?=；(2)由中心极限定理得)1(
11、)1(4080008040408000408000796080407960-=?-=XpXP6826.01)1(2=-=。3.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于m3，现从这批木柱中随机地取100根，问至少有30根短于m3的概率是多少？解：设这100根木柱中短于3m的个数为X，则(100,0.2),1000.220,1000.20.816XBEXDX=?=?=；由中心极限定理得302.51(2.5)0.0062PXP?=-=?。4.某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机能否使用外线通话互相独立，设每时刻每个分机有0.05的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线
12、才能以不低于9.0的概率保证每个分机要使用外线时可供使用?解：设至少需要k条外线。使用外线的分机数(200,0.05)XB，2000.0510,2000.050.959.5EXDX=?=?=。由中心极限定理得：0.9PXkP=1.2813.9452k?。五抽样分布1.从一批零件中抽取6个样本，测得其直径为1.5,2,2.3,1.7,2.5,1.8，求2,xs。解：662211111.9667,()0.142765iiiixxsxx=-=。2.设21,XX是来自正态总体)9,0(N的简单随机样本，已知221)(XXaY+=服从2分布，求a。解：()2122121(0,18)(0,1)(1)181
13、8XXXXNNa+?=。3.总体(72,100)XN，(1)对容量50n=的样本，求样本均值X大于70的概率；(2)为使X大于70的概率不小于0.95，样本容量至少应为多少？解：(1)()72,2,(70)11(0.92XNPX=-=-=；(2)10072,(70)110.95XNPXn?=-=-=?1.64567.655n?。4.设1210,XXX取自正态总体(0,0.09)N，求10211.44iiPX=?。解：由于)()(2221nXnii=-，故102211.44(10)160.1iiPXP=。5.设12,nXXX来自总体2(,)XN，2S为样本方差，求22,ESDS。解：222222
14、22(1)(1),()(1)(1),11nSnESEnnnn?-=-=-=?-?2442222()(1)2(1)1(1)1DSDnnnnn?=-=-=?-?。六参数估计1.设随机变量),(pnBX，其中n已知。X为样本均值,求p的矩估计量。解：?XEXnpXpn=?=。2.设总体X的概率密度函数为：1,1()10,xfxelse?(2)似然函数11111()nnnniiiiiiLfxxx-=?=?，对数似然函数1lnln(1)lnniiLnx=+-，令1lnln0niiLnx=?=+=?，得18?2.133.7626lnniinx=-=-。5.设轴承内环的锻压零件的平均高度X服从正态分布)4.
15、0,(2N。如今从中抽取20只内环，其平均高度32.3x=毫米，求内环平均高度的置信度为%95的置信区间。解：2已知，置信区间为22,XzXz?-+?。将0.02532.3,0.4,20,1.96xnz=代入，得所求置信区间为(32.125,32.475)。6.为了估计一批钢索所能承受的平均张应力(单位：千克力/平方米)，从中随机地选取了10个样品作实验,由实验所得数据算得：220,6720=sx，设钢索所能承受的张应力服从正态分布,试在置信水平95%下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。解：2未知，置信区间为22(1),(1)XnXn?-+-?。将0.0256720,220,10,(9
16、)2.2622xsnt=代入，得所求置信区间为(6562.6,6877.4)。7.冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取10根，测试折断力，得数据为578，572，570，568，572，570，570，596，584，572求：(1)样本均值和样本方差；(2)方差的置信区间0.05=。解：(1)1010221111575.2,()75.73109iiiixxsxx=-=；(2)未知，置信区间为2222122(1)(1)975.73975.73,(35.83,252.40)(1)(1)19.02282.7004nsnsnn-?-?=?-?。七假设检验1.某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖
17、的重量(单位：千克)服从正态总体分布)4,(N，今随机地抽查了9袋，称出它们的重量如下：50，48，49，52，51，47，49，50，50问在显著性水平05.0=下能否以为袋装糖的平均重量为50千克？解：由题意需检验01:50,:50HH=。2已知，拒绝域为21.96Uz=，将049.5556,50,2,9xn=代入，得0.6667U=-。未落入拒绝域中，故接受0H，即能够认为袋装糖的平均重量为50千克。2.某批矿砂的5个样本的含金量为：3.25,3.27,3.24,3.26,3.24设测定值总体服从正态分布，问在显著性水平=0.1下能否以为这批矿砂的金含量的均值为3.25？解：由题意需检验
18、01:3.25,:3.25HH=。2未知，拒绝域为2(1)2.1318Ttn=-=，将03.252,3.25,0.013,5xsn=代入得0.344T=。未落入拒绝域中，故接受0H，即能够以为这批矿砂的含金量的均值为3.25。3.某种螺丝的直径(,64)XN，先从一批螺丝中抽取10个测量其直径，其样本均值575.2x=，方差268.16s=。问能否以为这批螺丝直径的方差仍为640.05=？解：由题意需检验2201:64,:64HH=。未知，拒绝域为2222102(1)(1)2.7nSn-=-=。将22020,68.16,64ns=代入得29.585=。未落入拒绝域中，故接受0H，即能够以为这批螺丝直径的方差仍为64。4.某厂生产的电池的寿命长期以来服从方差25000=的正态分布。现从一批产品中随机抽取26个电池，测得其寿命的样本方差29200s=，问能否推断这批电池寿命的波动性较以前有显著的增大0.02=？解：由题意需检验2201:5000,:5000HH。未知，拒绝域为22220.022 (1)(1)(25)41.566nSn-=-=。将226,9200ns=代入得246=，落入拒绝域中，故拒绝0H，即能推断这批电池寿命的波动性较以前有显著增大。