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1、概率论复习题及答案概率论与数理统计温习题一事件及其概率1.设A,B,C为三个事件，试写出下列事件的表达式：(1)A,B,C都不发生；(2)A,B,C不都发生；(3)A,B,C至少有一个发生；(4)A,B,C至多有一个发生。解：(1)ABCABC(2)ABCABC(3)ABC(4)BCACAB2.设A,B为两互相独立的随机事件,P(A)0.4,P(B)0.6,求P(AB),P(AB),P(A|B)。解：P(AB)P(A)P(B)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.76；P(AB)P(AB)P(A)P(B)0.16,P(A|B)P(A)0.4。3.设A,B互斥，P(A)0.5，P(AB)
2、0.9，求P(B),P(AB)。解：P(B)P(AB)P(A)0.4,P(AB)P(A)0.5。4.设P(A)0.5,P(B)0.6,P(A|B)0.5，求P(AB),P(AB)。解：P(AB)P(B)P(A|B)0.3,P(AB)P(A)P(B)P(AB)0.8,P(AB)P(AB)P(A)P(A)B。0.25.设A,B,C独立且P(A)0.9,P(B)0.8,P(C)0.7,求P(ABC)。解：P(ABC)1P(ABC)1P(ABC)1P(A)P(B)P(C)0.994。6.袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求(1)取到两个黄球的概率；(2)取到一个黄球、一个白球的概率。解：(1)
3、P2CC4210215；(2)P11CC462C10815。7.从09十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。解：P12CC153C10112。18.从(0,1)中任取两数，求两数之和小于0.8的概率。解：10.80.820.32P。19.甲袋中装有5只红球，15只白球，乙袋中装有4只红球，5只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？解：设A“从甲袋中取出的是红球，B“从乙袋中取出的是红球，则：1312P(A),P(A),P(B|A),PB(A|),4425由全概率公式得：17P(B)P(A)P(B|A)P(A)P(B|A
4、)。4010.某大卖场供给的微波炉中，甲、乙、丙三厂产品各占50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为95%、85%、80%，求(1)买到的一台微波炉是合格品的概率；(2)已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？解：(1)设A1,A2,A3分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，B表示买到合格品，则P(A)0.5P,A()0.P4,A()P0.B1,A(|)P0.B95A,(|P)B0.A,85,(|)1231233由全概率公式得P(B)P(Ai)P(B|Ai)0.895；i1(2)P(A|B)1P(AB)P(A)P(B|A)0.47595111P(B)P(B)0.8951
5、79。二一维随机变量及其数字特征1.已知X的概率密度函数f(x)kx1,0x20,else，求1k,PX,EX。2解：21f(x)dx(kx1)dx2k21k,21192PXx1dx，122162212EXxx1dx。232.设XB(3,0.1)，求PX2,PX1。解：223PX2C(0.1)(0.9)0.027,PX11PX010.90.271。33.设三次独立随机试验中事件A出现的概率一样，已知事件A至少出现一次的概率为验中出现的概率p。3764，求A在一次试解：三次试验中A出现的次数XB(3,p)，由题意：3710033PX11PX01C3p(1p)1(1p)p。644100,x111.
6、某种灯管的寿命X单位：小时的概率密度函数为2f(x)x，0,else(1)求PX1500；(2)任取5只灯管，求其中至少有2只寿命大于1500的概率。解：(1)10002PX1500dx21500x3；(2)设5只灯管中寿命大于1500的个数为Y，则2YB5,，故354121232PY21PY0PY115。33324312.设XB(n,p),EX1.6,DX1.28,求n,p。解：EXnp1.6,DXnp(1p)1.28n8,p0.2。13.设X(2)，求2PX2,E(X2X3)。解：2PX213e，222E(X2X3)E(X)2EX3EXDX2EX342437。14.设XU1,6，求P4X2
7、。解：1f(x)70,1x6else，13212P4X2f(x)dx0dxdx。4147715.设X服从(1,5)上的均匀分布，求方程210tXt有实根的概率。解：1f(x)60,1x5else，5112P0PX40dx。26216.设XU1,3，求EX,DX,E1X。解：12(31)1,1x311113EX2,DX,f(x)2,Edxln3123Xx2210,else。317.设某机器生产的螺丝长度XN(10.05,0.0036)。规定长度在范围10.050.12内为合格，求螺丝不合格的概率。解：螺丝合格的概率为P10.050.12X10.050.12P0.120.906X4.050.060
8、.120.06(2)(2)2(2)10.9544故螺丝不合格的概率为10.95440.0456。5.设XN(0,4)，Y2X3000，求EY、DY及Y的分布。解：EY2EX30003000,DY4DX16,YN(3000,16)。6.设X与Y独立，且XN(1,1),YN(1,3),求E(2XY),D(2XY)。解：E(2XY)2EXEY1,D(2XY)4DXDY7。7.设1X(4),YB4,0.6,求D(3X2Y)。XY2解：(32)941225.6DXYDXDYDXDY。XY8.设XU1,2，求YX的概率密度函数。解：F(y)PYyPXyY(1)当y0时，FY(y)0；12y(2)当0y1时
9、，F(y)dxy；Y3y3(3)当1y2时，11y1yFY(y)0dxdx；y133(4)当y2时，FY(y)1；故F(y)Y0,y023y,0y1y31,1y2，23,0y11f(y)F(y),1y2YY30,else。1,y2三二维随机变量及其数字特征YX11250.10.4050.2a0.2(1)求a；(2)求PX0,Y1,PY1|X5；(3)求X,Y的边缘分布律；(4)求XY；(5)判定X,Y能否独立。解：(1)a0.1;(2)0.3,0.2；(3)X:0.5,0.5;Y:0.3,0.5,0.2；(4)EX0,EY0.6,E(XY)0cov(X,Y)0,XY0；(5)18.0.419.
10、0.1，不独立。0.10已知(X,Y)的联合分布律为：XY1020a1916119b13且X与Y互相独立，求：(1)a,b的值；(2)PXY0；(3)X,Y的边缘分布律；(4)EX,EY,DX,DY；(5)ZXY的分布律。11解：(1)a1296,ab11189b93;5 (2)45PXY01PXY01；99(3)11112X:,;Y:,；63233(4)51353222222222EX,EX,DXEX(EX),EY,EY,DYEY(EY)；6636339(5)151PZ1,PZ0,PZ2。99320.已知(X,Y)的概率密度函数为f(x,y)c(xy),0x2,0y10,else，求：(1)
11、常数c；(2)关于变量X的边缘概率密度函数fX(x)；(3)E(XY)。解：(1)21211f(x,y)dxdydxc(xy)dycxdx2cc3c1c；00023(2)1111(xy)dyx,0x2f(x)f(x,y)dy332X0,else；(3)116212E(XY)(xy)f(x,y)dxdydx(xy)dy。009321.设(X,Y)的概率密度函数为：f(x,y)Axy,0x1,0yx0,else，(1)求A；(2)求(),()fxfy；XY(3)判定X,Y能否独立；(4)求1PY,PXY1；2(5)求cov(X,Y)。解：(1)1xAdxAxydy1A8；008(2)f(x)f(x
12、,y)dyXx38xydy4x,0x1，f(y)f(x,y)dxY128xydx4y(1y),0y1y；0,else(3)f(x,y)fX(x)fY(y)X,Y不独立；(4)11513PX4xdx，121621/21y1PXY1dy8xydx；0y6(5)4844EX,EY,E(XY),cov(X,Y)E(XY)E(X)E(Y)。5159225四中心极限定理22.某种电器元件的寿命服从指数分布E(0.01)单位：小时，现随机抽取16只，求其寿命之和大于1920小时的概率。16解：设第i只电器元件的寿命为X(i1,2,16),则E(X)100,D(X)10000。令iiiXX，ii1则EX160
13、0,DX160000。由中心极限定理得X160019201600PX1920P0.81(0.8)0.2119。16000040023.生产灯泡的合格率为0.8，记10000个灯泡中合格灯泡数为X，求(1)E(X)与D(X)；(2)合格灯泡数在79608040之间的概率。解：(1)XB(10000,0,8),E(X)100000.88000,D(X)100000.80.21600；(2)由中心极限定理得P7960X8040p7960408000X8000408040800040(1)(1)2(1)10.6826。24.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m，现从这批木柱中随机地取100根，问至少有30根短于3m的概率是多少？解：设这100根木柱中短于3m的个数为X，则XB(100,0.2),EX1000.220,DX1000.20.816；由中心极限定理得XEX3020PX30P2.51(2.5)0.0062。DX1625.某单位设置一电话总机，共有200架电话分机。设每个电话分机能否使用外线通话互相独立，设每时刻每个分机有0.05的概率要使用外线通话。问总机至少需要多少外线才能以不低于0.9的概率保证每个分7