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1、18.2.2 菱形A AB BC CD DO O2 2、理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有、理解并掌握菱形的定义及性质，会用这些性质进行有关的证明和计算，会计算菱形的面积关的证明和计算，会计算菱形的面积. .1 1、掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系、掌握菱形概念，知道菱形与平行四边形的关系. .3 3、理解并掌握菱形的定义及两个判定方法、理解并掌握菱形的定义及两个判定方法, ,会用这些判会用这些判定方法进行有关的证明和计算定方法进行有关的证明和计算. .有一组有一组邻边相等邻边相等的的平行四边形平行四边形叫做菱形叫做菱形.AB=BCAB=BC四边形四边形ABCDABCD是菱
2、形是菱形. . ABCDABCD菱形的定义菱形的定义 小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，打开即可然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？你知道其中的道理吗？ 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出一个菱形的纸片？个菱形的纸片？1 1、图中有哪些相等的线段？、图中有哪些相等的线段？2 2、图中有哪些相等的角？、图中有哪些相等的角？3 3、图中有哪些等腰三角形？、图中有哪些等腰三角形？4 4、图中有哪些直角三角形？、图中有哪些直角三角形？5 5、菱形是轴对称图
3、形吗？它有几条对称轴？分别是什、菱形是轴对称图形吗？它有几条对称轴？分别是什么？对称轴间有什么关系？么？对称轴间有什么关系？已知四边形已知四边形ABCDABCD是菱形是菱形A AB BC CD DO O1 12 23 34 45 56 67 78 8已知四边形已知四边形ABCDABCD是菱形是菱形A AB BC CD DO O1 1、相等的线段：、相等的线段：AB=CD=AD=BCAB=CD=AD=BC， OA=OCOA=OC， OB=OD.OB=OD.已知四边形已知四边形ABCDABCD是菱形是菱形A AB BC CD DO O1 12 23 34 45 56 67 78 82 2、相等的角
4、：、相等的角：DAB=BCDDAB=BCD， ABC =CDAABC =CDA， AOB=DOC=AOD=BOC =90AOB=DOC=AOD=BOC =90， 1=2=3=41=2=3=4， 5=6=7=8.5=6=7=8.已知四边形已知四边形ABCDABCD是菱形是菱形3 3、等腰三角形有：、等腰三角形有：ABCABC， DBCDBC， ACDACD， ABD.ABD.A AB BC CD DO O1 12 23 34 45 56 67 78 8已知四边形已知四边形ABCDABCD是菱形是菱形A AB BC CD DO O1 12 23 34 45 56 67 78 84 4、直角三角形有
5、：、直角三角形有：RtRtAOBAOB, , RtRtBOCBOC, , RtRtCODCOD, , RtRtDOADOA. .B BC CD D菱形的性质：菱形的性质：（1 1）菱形具有平行四边形的一切性质）菱形具有平行四边形的一切性质. .（2 2）菱形的四条边都相等）菱形的四条边都相等. .（3 3）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线）菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角平分一组对角. .（4 4）菱形是轴对称图形）菱形是轴对称图形, ,也是中心对称图形也是中心对称图形. .A A已知：菱形已知：菱形ABCDABCD的对角线的对角线ACAC和和BDBD相交于点相
6、交于点O.O.证明：证明：四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,A AB BC CD DO O在在ABDABD中，又中，又BO=DO.BO=DO.AB=AD.AB=AD.（菱形的四条边都相等）（菱形的四条边都相等）ACBDACBD，ACAC平分平分BAD.BAD.求证：求证：ACBD ACBD ； ACAC平分平分BADBAD和和BCD BCD ；BDBD平分平分ABCABC和和ADC . ADC . 命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角平分一组对角. .同理：同理：ACAC平分平分BCDBCD；BDBD平分平分A
7、BCABC和和ADC.ADC.上述的命题也是一个定理上述的命题也是一个定理菱形的两组对边平行且相等菱形的两组对边平行且相等边边对角线对角线角角菱形的四条边相等菱形的四条边相等菱形的两组对角分别相等菱形的两组对角分别相等菱形的邻角互补菱形的邻角互补菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对菱形的两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角角线平分一组对角.A AD DC CB BO O菱形的性质菱形的性质【菱形的面积公式菱形的面积公式】菱菱形形ABCDOES S菱形菱形=BC=BCAEAE思考思考:计算菱形的面积除了上式方法外计算菱形的面积除了上式方法外,利用对利用对角线能计算菱形的面积吗角线能
8、计算菱形的面积吗?21 = SABD+SBCD = ACBD S菱形菱形ABCD菱形的面积菱形的面积=底底高高=对角线乘积的一半对角线乘积的一半 A AB BC CD DO O【例题例题】两两一一【跟踪训练跟踪训练】, ,而而所以菱形的所以菱形的边长为边长为4.4.4 4根据菱形的定义根据菱形的定义, ,可得菱形的第一个判定方法可得菱形的第一个判定方法: :AB=AD,AB=AD,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形. .符号表示：符号表示：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形一组邻边相等的平行四边形叫做菱形ABCDO菱形的判定菱形的判
9、定求证：求证： 是菱形是菱形. .命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形命题：对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .已知：在已知：在 中，中，AC BD,AC BD,证明：证明：ABCDABCD是菱形是菱形. .又又 AC BD,AC BD,四边形四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,OA=OC.OA=OC.BA=BC,BA=BC,A AB BC CD DO O定理：定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形. . ABCDABCD ABCDABCD1 1、一组邻边相等的平行四边形是菱形、一组邻边相等的平行四边形是菱形. .2 2、对角线互相垂直的平行
10、四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形. .3 3、四条边相等的四边形是菱形、四条边相等的四边形是菱形. .菱形常用的判定方法菱形常用的判定方法【跟踪训练跟踪训练】2.2. ABCD ABCD的对角线的对角线ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，（1 1）若）若AB=ADAB=AD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（2 2）若）若AC=BDAC=BD，则，则ABCDABCD是是 形；形；（3 3）若）若ABCABC是直角，则是直角，则ABCDABCD是是 形；形；（4 4）若）若BAO=DAOBAO=DAO，则，则ABCDABCD是是 形形. .A AB BC CD DO O
11、矩矩菱菱矩矩菱菱，即四边形即四边形AFCEAFCE是菱形是菱形. .4 4.在5.5.把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重把两张等宽的纸条交叉重叠在一起，你能判断重叠部分叠部分ABCDABCD的形状吗？的形状吗？ACDB菱形菱形1.1.（陕西（陕西中考）若一个菱形的边长为中考）若一个菱形的边长为2 2，则这个菱形，则这个菱形两条对角线的平方和为（两条对角线的平方和为（ ）A.16 B.8 C.4 D.1A.16 B.8 C.4 D.1【解析解析】选选A.A.设这个菱形两条对角线长分别为设这个菱形两条对角线长分别为a,ba,b. .由菱由菱形对角线互相垂直且平分，则形对角线互相垂直且平分，
12、则即即a a2 2+b+b2 2=16.=16.222ab() +() =2 ,222.2.（连云港（连云港中考）如图，四边形中考）如图，四边形ABCDABCD的对角线的对角线AC,BDAC,BD互互相垂直，则下列条件能判定四边形相垂直，则下列条件能判定四边形ABCDABCD为菱形的为菱形的是（是（ ）A.BA=BC B.ACA.BA=BC B.AC、BDBD互相平分互相平分C.AC=BD D.ABCDC.AC=BD D.ABCD【解析解析】选选B.B.对角线互相垂直且平分的四边形是菱形对角线互相垂直且平分的四边形是菱形. .3. 3. （茂名（茂名中考）如图，两条笔直的公路中考）如图，两条笔
13、直的公路 , , 相相交于点交于点O O，村庄，村庄C C的村民在公路的旁边建三个加工厂的村民在公路的旁边建三个加工厂A,A,B,DB,D，已知，已知AB=BC=CD=DA=5AB=BC=CD=DA=5公里，村庄公里，村庄C C到公路到公路 的距离的距离为为4 4公里，则村庄公里，则村庄C C到公路到公路 的距离是的距离是A A3 3公里公里 B B4 4公里公里C C5 5公里公里 D D6 6公里公里【解析解析】选选B B，连接，连接ACAC，由题意知四边形，由题意知四边形ABCDABCD是菱形，所是菱形，所以以ACAC为为DABDAB的平分线，所以点的平分线，所以点C C到到 ， 的距离
14、相等，的距离相等，故选故选B.B.1l2l1l2l1l2l4.4.（珠海（珠海中考）如图，中考）如图，P P是菱形是菱形ABCDABCD对角线对角线BDBD上上一点，一点，PEABPEAB于点于点E E，PE=4 cmPE=4 cm，则点，则点P P到到BCBC的距离的距离是是_cm._cm.【解析解析】菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点菱形对角线平分一组对角，且角平分线上的点到角两边的距离相等，故点到角两边的距离相等，故点P P到到BCBC的距离是的距离是4 cm.4 cm.答案：答案：4 45.5.（温州（温州中考）如图，在中考）如图，在 ABCDABCD中，中，EFBDEFBD，分
15、别交，分别交BCBC，CDCD于于点点P P，Q Q，交，交ABAB，ADAD的延长线于点的延长线于点E E，F.F.已知已知BE=BP.BE=BP.求证：（求证：（1 1）E=F.E=F.（2 2） ABCDABCD是菱形是菱形. .【证明证明】(1)(1)在在ABCDABCD中，中，BCADBCAD，1=F.BE=BP,E=1,E=F.1=F.BE=BP,E=1,E=F.（2 2）BDEF,BDEF,2=E2=E，3=F.3=F.E=F,E=F,2=3,2=3,AB=AD,AB=AD, ABCDABCD是菱形是菱形. .6.6.（郴州（郴州中考）一种千斤顶利用了四边形的不稳定性中考）一种千
16、斤顶利用了四边形的不稳定性. .如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动如图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变手柄可改变ADCADC的大小（菱形的边长不变），从而改变的大小（菱形的边长不变），从而改变千斤顶的高度（即千斤顶的高度（即A A，C C之间的距离）之间的距离）. .若若AB=40 cm,AB=40 cm,当当ADCADC从从6060变为变为120120时，千斤顶升高了多少？（时，千斤顶升高了多少？（ 1.414, 1.414, 1.732 1.732，结果保留整数），结果保留整数）23【解析解析】连接连接ACAC，与，与BDBD相交于点相交于点O O，
17、四边形四边形ABCDABCD是菱形是菱形, ,ACBDACBD，ADB=CDBADB=CDB，AC=2AO.AC=2AO.当当ADC=60ADC=60时，时，ADCADC是等边三角形是等边三角形. .AC=AD=AB=40cm.AC=AD=AB=40cm.当当ADC=120ADC=120时，时，ADO=60ADO=60，OAD=30OAD=30, ,又又AD=40,OD=20.AD=40,OD=20. 本节课主要学习了菱形的定义、性质、判定：本节课主要学习了菱形的定义、性质、判定： 1 1、掌握、掌握菱形的定义、性质、判定菱形的定义、性质、判定. .2 2、弄清菱形的性质、判定的区别与联系弄清菱形的性质、判定的区别与联系. . 3 3、会应用菱形的知识解决有关计算和证明问题会应用菱形的知识解决有关计算和证明问题 一、菱形的定义一、菱形的定义有一组有一组_相等的平行四边形叫做菱形相等的平行四边形叫做菱形. . 二、菱形的性质二、菱形的性质 1.1.菱形的四条边都菱形的四条边都_. .2.2.菱形的两条对角线互相菱形的两条对角线互相_, ,并且每一条对角线并且每一条对角线_一组对角一组对角. . 菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半菱形的面积等于它的两条对角线之积的一半. . 邻边邻边相等相等垂直垂直平分平分