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1、勾股定理全章教案人教版(优秀教案)第十八章勾股定理勾股定理一一、教学目的了解勾股定理的发现经过，把握勾股定理的内容，会用面积法证实勾股定理。培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。介绍我国古代在勾股定理研究方面所获得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。二、重点、难点重点：勾股定理的内容及证实。难点：勾股定理的证实。三、例题的意图分析例补充通过对定理的证实，让学生确信定理的正确性；通过拼图，发散学生的思维，锻炼学生的动手实践能力；这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例使学生明确，图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
2、进一步让学生确信勾股定理的正确性。四、课堂引入目前世界上很多科学家正在试图寻找其他星球的“人，为此向宇宙发出了很多信号，如地球上人类的语言、音乐、各种图形等。我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，假如宇宙人是“文明人，那么他们一定会识别这种语言的。这个事实能够讲明勾股定理的重大意义。尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。让学生画一个直角边为和的直角，用刻度尺量出的长。以上这个事实是我国古代多年前有一个叫商高的人发现的，他讲：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五。这句话意思是讲一个直角三角形较短直角边勾的长是，长的直角边股的长是，那么斜边弦的长是。再
3、画一个两直角边为和的直角，用刻度尺量的长。你能否发现与的关系，和的关系，即，那么就有勾股弦。对于任意的直角三角形也有这个性质吗？五、例习题分析例补充已知：在中，、的对边为、。求证：。分析：让学生准备多个三角形模型，最好是有颜色的吹塑纸，让学生拼摆不同的形状，利用面积相等进行证实。拼成如下图，其等量关系为：小正大正21，化简可证。发挥学生的想象能力拼出不同的图形，进行证实。勾股定理的证实方法，达余种。这个古老的精彩的证法，出自我国古代无名数学家之手。激发学生的民族自豪感，和爱国情怀。例已知：在中，、的对边为、。求证：。分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。ABbbb左边21右边
4、左边和右边面积相等，即21化简可证。六、课堂练习勾股定理的详细内容是：。如图，直角的主要性质是：，用几何语言表示两锐角之间的关系：；若为斜边中点，则斜边中线；若，则的对边和斜边：；三边之间的关系：。的三边、，若知足，则；若知足，则是角；若知足，则是角。根据如下图，利用面积法证实勾股定理。七、课后练习已知在中，、是的三边，则。已知、，求。已知、，求。已知、，求如下表，表中所给的每行的三个数、，有，试根据表中已有数的规律，写出当时，的值，并把、用含的代数式表示出来。在中，310，一动点从向以每秒2cm的速度移动，问当点移动多少秒时，与腰垂直。已知：如图，在中，在的延长线上。求证：若在上，结论怎样，
5、试证实你的结论。勾股定理二一、教学目的会用勾股定理进行简单的计算。树立数形结合的思想、分类讨论思想。二、重点、难点重点：勾股定理的简单计算。难点：勾股定理的灵敏运用。BbEB三、例题的意图分析例补充使学生熟悉定理的使用，刚开场使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都能够求出第三边。并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三边。例补充让学生注意所给条件的不确定性，知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例补充勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因而注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。让学生把前面学过的知识和新知识综合运
6、用，提高综合能力。四、课堂引入温习勾股定理的文字叙述；勾股定理的符号语言及变形。学习勾股定理重在应用。五、例习题分析例补充在，已知,求。已知,求。已知,求。已知：,求。已知，求，。分析：刚开场使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系。已知两直角边，求斜边直接用勾股定理。已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的便形式。已知一边和两边比，求未知边。通过前三题让学生明确在直角三角形中，已知任意两边都能够求出第三边。后两题让学生明确已知一边和两边关系，可以以求出未知边，学会见比设参的数学方法，体会由角转化为边的关系的转化思想。例补充已知直角三角形的两边长分别为和，求第三边。分析：已
7、知两边中较大边可能是直角边，可以能是斜边，因而应分两种情况分别进形计算。让学生知道考虑问题要全面，体会分类讨论思想。例补充已知：如图，等边的边长是。求等边的高。求。分析：勾股定理的使用范围是在直角三角形中，因而注意要创造直角三角形，作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。欲求高，可将其置身于或中，但只要一边已知，根据等腰三角形三线合一性质，可求21，则此题可解。六、课堂练习填空题在，则。在，则。在，：，则，。一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为。已知直角三角形的两边长分别为和，则第三边长为。已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。DBAAB已知：如图，在中，34，是
8、边上的高，求的长。已知等腰三角形腰长是，底边长是，求这个等腰三角形的面积。七、课后练习填空题在，假如，则。假如，则。假如，则。假如，则。假如、是连续整数，则。假如，：，则。已知：如图，四边形中，1cm，求的长。八、参考答案课堂练习；7；，；，；或34；3，3；。课后练习；3；2；332课后反思：勾股定理三一、教学目的会用勾股定理解决简单的实际问题。树立数形结合的思想。二、重点、难点重点：勾股定理的应用。难点：实际问题向数学问题的转化。三、例题的意图分析例教材页探究明确怎样将实际问题转化为数学问题，注意条件的转化；学会怎样利用数学知识、思想、方法解决实际问题。例教材页探究使学生进一步熟练使用勾股
9、定理，探究直角三角形三边的关系：保证一边不变，其它两边的变化。四、课堂引入勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。勾股定理的发现和使用解决了很多生活中的问题，今天我们就来运用勾股定理解决一些问题，你能够吗？试一试。五、例习题分析例教材页探究分析：在实际问题向数学问题的转化经过中，注意勾股定理的使用条件，DABCB即门框为长方形，四个角都是直角。让学生深化讨论图中有几个直角三角形？图中标字母的线段哪条最长？指出薄木板在数学问题中忽略厚度，只记长度，讨论以何种方式通过？转化为勾股定理的计算，采用多种方法。注意给学生小结深化数学建模思想，激发数学兴趣。例教材页探究分析：在中，已知，利用勾股定理计
10、算。在中，已知，利用勾股定理计算。则，通过计算可知。进一步让学生探究和的关系，给不同的值，计算。六、课堂练习小明和爸爸妈妈十一登香山，他们沿着度的坡路走了米，看到了一棵红叶树，这棵红叶树的离地面的高度是米。如图，山坡上两株树木之间的坡面距离是43米，则这两株树之间的垂直距离是米，水平距离是米。题图题图题图如图，一根米高的电线杆两侧各用米的铁丝固定，两个固定点之间的距离是。如图，原计划从地经地到地修建一条高速公路，后因技术攻关，能够打隧道由地到地直接修建，已知高速公路一公里造价为万元，隧道总长为公里，隧道造价为万元，公里，公里，则改建后可省工程费用是多少？七、课后练习如图，欲测量松花江的宽度，沿
11、江岸取、两点，在江对岸取一点，使垂直江岸，测得米，则江面的宽度为。有一个边长为米正方形的洞口，想用一个圆形盖去盖住这个洞口，则圆形盖半径至少为米。一根厘米的绳子被折成如下图的形状钉在、两点，厘米，且，则厘米。如图，钢索斜拉大桥为等腰三角形，支柱高米，、分别为、中点，试求、两点之间的距离，钢索和的长度。准确到米八、参考答案：课堂练习：2250；，32；米；课后练习350米；22；米，米，米；课后反思：CBQABDEF勾股定理四一、教学目的会用勾股定理解决较综合的问题。树立数形结合的思想。二、重点、难点重点：勾股定理的综合应用。难点：勾股定理的综合应用。三、例题的意图分析例补充“双垂图是中考重要的
12、考点，熟练把握“双垂图的图形构造和图形性质，通过讨论、计算等使学生能够灵敏应用。目前“双垂图需要把握的知识点有：个直角三角形，三个勾股定理及推导式，两对相等锐角，四对互余角，及或特殊角的特殊性质等。例补充让学生注意所求结论的开放性，根据已知条件，作适当辅助线求出三角形中的边和角。让学生把握解一般三角形的问题经常通过作高转化为直角三角形的问题。使学生清楚作辅助线不能毁坏已知角。例补充让学生把握不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。在转化的经过中注意条件的合理运用。让学生把前面学过的知识和新知识综合运用，提高解题的综合能力。
13、例教材页探究让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数逐一对应的理论。四、课堂引入温习勾股定理的内容。本节课探究勾股定理的综合应用。五、例习题分析例补充已知：在中，于，3，求线段的长。分析：此题是“双垂图的计算题，“双垂图是中考重要的考点，所以要求学生对图形及性质把握非常熟练，能够灵敏应用。目前“双垂图需要把握的知识点有：个直角三角形，三个勾股定理及推导式，两对相等锐角，四对互余角，及或特殊角的特殊性质等。要求学生能够本人画图，并正确标图。引导学生分析：欲求，可由，分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角，求出和。或欲求，可由22BCACAB+=，分别在两个三角
14、形中利用勾股定理和特殊角，求出和。例补充已知：如图，中，根据题设可知什么？分析：由于此题中的不是直角三角形，所以根据题设只能直接求得。在学生充分考虑和讨论后，发现添置边上的高这条辅助线，就能够求得，及。让学生充分讨论还能够作其它辅助线吗？为何？小结：可见解一般三角形的问题经常通过作高转化为直角三角形的问题。并指出怎样作辅助线？解略。CDBCCD例补充已知：如图，。求：四边形的面积。分析：怎样构造直角三角形是解此题的关键，能够连结，或延长、交于，或延长、交于，根据此题给定的角应选后两种，进一步根据此题给定的边选第三种较为简单。教学中要逐层展示给学生，让学生深化体会。解：延长、交于。，。，4834
15、。，1232。四边形212136小结：不规则图形的面积，可转化为特殊图形求解，此题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差。例教材页探究分析：利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点，进一步体会数轴上的点与实数逐一对应的理论。变式训练：在数轴上画出表示22,13-的点。六、课堂练习中，25cm，高20cm,则，。中，若，32，则度，度,度，。中，32，于，则，。已知：如图，中，求。七、课后练习在中，于，3，。在中，且，则，。已知：如图，在中，22，求的长；。在数轴上画出表示52,5+的点。八、参考答案：课堂练习：30cm，300cm；，32；，3，32；C作于，设，
16、则，21；课后练习：；，；提示：作于，32，32，32；略。课后反思：勾股定理的逆定理一一、教学目的体会勾股定理的逆定理得出经过，把握勾股定理的逆定理。探究勾股定理的逆定理的证实方法。理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。二、重点、难点重点：把握勾股定理的逆定理及证实。难点：勾股定理的逆定理的证实。三、例题的意图分析例补充使学生了解命题，逆命题，逆定理的概念，及它们之间的关系。例探究通过让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，锻炼学生的动手操作能力，再通过探究理论证实方法，使实践上升到理论，提高学生的理性思维。例补充使学生明确运用勾股定理的逆定理断定一个三
17、角形能否是直角三角形的一般步骤：先判定那条边最大。分别用代数方法计算出和的值。判定和能否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。四、课堂引入创设情境：如何断定一个三角形是等腰三角形？如何断定一个三角形是直角三角形？和等腰三角形的断定进行比照，从勾股定理的逆命题进行猜测。五、例习题分析例补充讲出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？同旁内角互补，两条直线平行。假如两个实数的平方相等，那么两个实数平方相等。线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等。直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半。分析：每个命题都有逆命题，讲逆命题时注意将题设和结论调换即可，但要分清题设和结论，并注
18、意语言的运用。理顺他们之间的关系，原命题有真有假，逆命题也有真有假，可能都真，可以能一真一假，还可能都假。解略。例探究证实：假如三角形的三边长，知足，那么这个三角形是直角三角形。bBCA1C1分析：注意命题证实的格式，首先要根据题意画出图形，然后写已知求证。怎样判定一个三角形是直角三角形，如今只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，进而将问题转化为怎样判定一个角是直角。利用已知条件作一个直角三角形，再证实和原三角形全等，使问题得以解决。先做直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的
19、兴趣和求知欲，再探究理论证实方法。充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。证实略。例补充已知：在中，、的对边分别是、，求证：。分析：运用勾股定理的逆定理断定一个三角形能否是直角三角形的一般步骤：先判定那条边最大。分别用代数方法计算出和的值。判定和能否相等，若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。要证，只要证是直角三角形，并且边最大。根据勾股定理的逆定理只要证实即可。由于，进而，故命题获证。六、课堂练习判定题。在一个三角形中，假如一边上的中线等于这条边的一半，那么这条边所对的角是直角。命题：“在一个三角形中，有一个角是，那么它所对的边是另一边的一半。的逆命题
20、是真命题。勾股定理的逆定理是：假如两条直角边的平方和等于斜边的平方，那么这个三角形是直角三角形。的三边之比是：2，则是直角三角形。中、的对边分别是、，下列命题中的假命题是假如，则是直角三角形。假如，则是直角三角形，且。假如，则是直角三角形。假如：，则是直角三角形。下列四条线段不能组成直角三角形的是，5，3，2：已知：在中，、的对边分别是、，分别为下列长度，判定该三角形能否是直角三角形？并指出那一个角是直角？2，5；，；3，22，。，3，7；，6七、课后练习，叙述下列命题的逆命题，并判定逆命题能否正确。假如，那么；假如三角形有一个角小于，那么这个三角形是锐角三角形；假如两个三角形全等，那么它们的
21、对应角相等；关于某条直线对称的两条线段一定相等。填空题。任何一个命题都有，但任何一个定理未必都有。“两直线平行，内错角相等。的逆定理是。在中，若，则是三角形，是直角；若，则是。若在中，则是三角形。若三角形的三边是、3、；51,41,31；，；，；则构成的是直角三角形的有个个个个已知：在中，、的对边分别是、，分别为下列长度，判定该三角形能否是直角三角形？并指出那一个角是直角？，；，；，32，；，。八、参考答案：课堂练习：对，错，错，对；是，；不是；是，；是，。课后练习：假如，那么；假命题。假如三角形是锐角三角形，那么有一个角是锐角；真命题。假如两个三角形的对应角相等，那么这两个三角形全等；假命题
22、。两条相等的线段一定关于某条直线对称；假命题。逆命题，逆定理；内错角相等，两直线平行；直角，钝角；直角。是，；不是，；是，；是，。课后反思：勾股定理的逆定理二一、教学目的灵敏应用勾股定理及逆定理解决实际问题。进一步加深性质定理与断定定理之间关系的认识。二、重点、难点重点：灵敏应用勾股定理及逆定理解决实际问题。难点：灵敏应用勾股定理及逆定理解决实际问题。三、例题的意图分析例例让学生养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。例补充培养学生利用方程思想解决问题，进一步养成利用勾股定理的逆定理解决实际问题的意识。四、课堂引入创设情境：在军事和航海上经常要确定方向和位置，进而使用一些数学知识和数学方法
23、。五、例习题分析例例分析：了解方位角，及方位名词；依题意画出图形；依题意可得，；由于，根据勾股定理的逆定理，知；。小结：让学生养成“已知三边求角，利用勾股定理的逆定理的意识。例补充一根米长的细绳折成段，围成一个三角形，其中一条边的长度比拟短边长米，比拟长边短米，请你试判定这个三角形的形状。分析：若判定三角形的形状，先求三角形的三边长；设未知数列方程，求出三角形的三边长、；根据勾股定理的逆定理，由，知三角形为直角三角形。解略。六、课堂练习小强在操场上向东走80m后，又走了60m，再走100m回到原地。小强在操场上向东走了80m后，又走60m的方向是。如图，在操场上竖直立着一根长为米的测影竿，早晨
24、测得它的影长为米，中午测得它的影长为米，则、三点能否构成直角三角形？为何？如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡查艇立即从相距海里的、两个基地前去拦截，六分钟后同时到达地将其拦截。已知甲巡查艇每小时航行海里，乙巡查艇每小时航行海里，航向为北偏西，问：甲巡查艇的航向？七、课后练习一根米绳子，折成三边为三个连续偶数的三角形，则三边长分别为，此三角形的形状为。又测得地面上、两点之间距离是米，、两点之间距离是米，则电线杆和地面能否垂直，为何？如图，小明的爸爸在鱼池边开了一块四边形土地种了一些蔬菜，爸爸让小明计算一下土地的面积，以便计算一下产量。小明找了一卷米尺，测得米，米，米，米，又已知。八、参考答案：课堂练习：向正南或正北。能，由于，所以；由是直角三角形，可知，所以有，航向为北偏东。课后练习：米，米，米，直角三角形；、是直角三角形，和地面垂直。CDENA