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1、专题6. 探索规律（2）五、等比数列型1如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到_条折痕2如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_.3在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形请你利用这个几何图形求的值4观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三
2、个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3）.观察规律解答以下各题： （1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图11图21+3图31+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数fn(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为fn+1，求fn+1-fn六、正整数平方型1古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1 ， 第二个三角数记为a2，第n个三角数记为an， 计算a1+a2， a2+a3， a3+a4，由此推算a2015+a2016=_2观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第1
3、05个图形中所有点的个数 为（ ） A 1016个 B 11025个 C 11236个 D 22249个七、正整数求和型1观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A 171 B 190 C 210 D 3802（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一
4、次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题3细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. 12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;.(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA10的长;(3)求出+的长. 4观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为a2，第n个数记为an.(1)请写出29后面的第一个数；(2)通过计算a2a1，a3a2，a4a3，由此推算a100a99的值；(3)根据你发现的规律求a100的值八、平
5、面直角坐标系1如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为A B C D 2如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是A B C D 3如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点所在位置的坐标是（ ）A （0，9） B （9，0） C （0，8） D （8，0）4如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（
6、0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_5如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴
7、的垂线交l于点，这样依次得到l上的点，记点的横坐标为，若，则_；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是_九、其它型1如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是_（用含n的代数式表示）2观察下列方程的特征及其解的特点x3的解为x11，x22；x5的解为x12，x23；x7的解为x13，x24.解答下列问题：(1)请你写出一个符合上述特征的方程为_，其解为_；(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为_，其解为_；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x2(n2
8、)(其中n为正整数)的解3对于0，1以及真分数p，q，r，若pqr，我们称q为p和r的中间分数为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数例如：上表中第行中的3个分数、，有，所以为和的一个中间分数，在表中还可以找到和的中间分数， ， ， 把这个表一直写下去，可以找到和更多的中间分数（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：上表中括号内应填的数为 ；如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的和的中间分数是 ；（2）写出分数和（a、b、c、d均为正整数， ， ）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；（3）若与（m、n、s、 t均为正整数）都是和的中间分数，则的最小值为 7