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1、五、等比数列型1如图所示，将一张长方形的纸片连续对折，对折时每次折痕与上次的折痕保持平行，对折一次得到1条折痕(图中虚线)，对折二次得到3条折痕，对折三次得到7条折痕，那么对折2018次后可以得到_条折痕【答案】(220181)2如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为_.【答案】 【解析】本题我们首先求出前面几个正方形的面积，从而得出一般性的规律，然后得出答案.根据题意可得：=4，=2，=1，=，=，则=，根据规律得出答案.点睛：本题主要考查的就是等腰直角三角形的性质以及规律的
2、发现与整理.在解决这个问题的时候我们首先求出第一个正方形的面积，然后根据等腰直角三角形的性质得出第二个正方形的边长，从而得出第二个正方形的面积，利用同样的方法求出第三个、第四个和第五个正方形的面积，然后找出一般性的规律，从而得出答案. 3在数学活动中，小明为了求的值(结果用n表示)，设计如图所示的几何图形请你利用这个几何图形求的值【答案】4观察下列图形，它是把一个三角形分别连接其三边中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形（如图1）；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，将这种做法继续下去（如图2，图3）.观察规律解答以下各题： （1）填写下表:图形序号挖去三角形的个数图11图21+3
3、图31+3+9图4（2）根据这个规律，求图n中挖去三角形的个数fn(用含n的代数式表示)；（3）若图n+1中挖去三角形的个数为fn+1，求fn+1-fn【答案】（1）40；（2）fn=3n-1+3n-2+32+3+1;（3）3n （2）由（1）知，图n中挖去三角形的个数fn=3n-1+3n-2+32+3+1；（3）fn+1=3n+3n-1+32+3+1，fn=3n-1+3n-2+32+3+1fn+1fn=3n点睛：考查了规律型：图形的变化，本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的六、正整数平方型1古希腊数学家把数1，3，
4、6，10，15，21，叫做三角数，它有一定的规律性，若把第一个三角数记为a1 ， 第二个三角数记为a2，第n个三角数记为an， 计算a1+a2， a2+a3， a3+a4，由此推算a2015+a2016=_【答案】20162 2观察图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第105个图形中所有点的个数 为（ ） A 1016个 B 11025个 C 11236个 D 22249个【答案】C【解析】观察不难发现，点的个数依次为连续奇数的和，写出第n个图形中点的个数的表达式，再根据求和公式列式计算即可得解解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，第3个图形中
5、点的个数为：1+3+5+7=16，第n个图形中点的个数为：1+3+5+（2n+1）=（n+1）2当n=105时，（105+1）2=11236，故选：C七、正整数求和型1观察下列图形，第一个图2条直线相交最多有1个交点，第二个图3条直线相交最多有3个交点，第三个图4条直线相交最多有6个交点，像这样，则20条直线相交最多交点的个数是（）A 171 B 190 C 210 D 380【答案】B2（1）观察思考：如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；（2）模型构建：如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你
6、结论的正确性；（3）拓展应用：某班45名同学在毕业后的一次聚会中，若每两人握1次手问好，那么共握多少次手？请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题【答案】（1）6条线段；（2）；（3）990次.【解析】（1）从左向右依次固定一个端点A、C、D找出线段，最后求和即可；（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论（1）以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，以点D为左端点的线段有线段DB，共有3+2+1=6条线段；（2）设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，则x=（
7、m1）+（m2）+（m3）+3+2+1，x=m（m1）；（3）把45位同学看作直线上的45个点，每两位同学之间的一握手看作为一条线段，直线上45个点所构成的线段条数就等于握手的次数，因此一共要进行45（451）=990次握手3细心观察图形,认真分析各式,然后解答问题. 12+1=2,S1=,()2+1=3,S2=;()2+1=4,S3=;.(1)请用含有n(n为正整数)的等式表示上述变化规律;(2)推算出OA10的长;(3)求出+的长. 【答案】（1）O=n;Sn=.（2）OA10=.（3） 4观察一组数据：2，4，7，11，16，22，29，它们有一定的规律，若记第一个数为a1，第二个数记为
8、a2，第n个数记为an.(1)请写出29后面的第一个数；(2)通过计算a2a1，a3a2，a4a3，由此推算a100a99的值；(3)根据你发现的规律求a100的值【答案】(1) 37；(2) a100a99100；(3)5 051.八、平面直角坐标系1如图，在平面直角坐标系中，有若干个整数点，其顺序按图中“”方向排列，如，根据这个规律探索可得，第100个点的坐标为A B C D 【答案】D【解析】从图中可以看出横坐标为1的有一个点，横坐标为2的有2个点，横坐标为3的有3个点，依此类推横坐标为n的有n个点题目要求写出第100个点的坐标，我们可以通过加法计算算出第100个点位于第几列第几行，然后
9、对应得出坐标规律，将行列数代入规律式解：在横坐标上，第一列有一个点，第二列有2个点第n个有n个点，并且奇数列点数对称而偶数列点数y轴上方比下方多一个，所以奇数列的坐标为；偶数列的坐标为，由加法推算可得到第100个点位于第14列自上而下第六行代入上式得，即故选D2如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆、，组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2019秒时，点P的坐标是A B C D 【答案】C 3如图，一个质点在第一象限及轴、轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到，然后接着按图中箭头所示方向运动，即，且每秒移动一个单位，那么第80秒时质点
10、所在位置的坐标是（ ）A （0，9） B （9，0） C （0，8） D （8，0）【答案】C当n=8时，n2+n=82+8=72，当质点运动到第72秒时到达（8，8），质点接下来向左运动，运动时间为80-72=8秒，此时质点的横坐标为8-8=0，此时质点的坐标为（0，8），第80秒后质点所在位置的坐标是（0，8），故选C.4如图，正方形AOBO2的顶点A的坐标为A（0，2），O1为正方形AOBO2的中心；以正方形AOBO2的对角线AB为边，在AB的右侧作正方形ABO3A1，O2为正方形ABO3A1的中心；再以正方形ABO3A1的对角线A1B为边，在A1B的右侧作正方形A1BB1O4，O3为正
11、方形A1BB1O4的中心；再以正方形A1BB1O4的对角线A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1O5A2，O4为正方形A1B1O5A2的中心：；按照此规律继续下去，则点O2018的坐标为_【答案】（210102，21009）由题意O1（1，1），O2（2，2），O3（，4，2），O4（，6，4），O5（10，4），O6（14，8）观察可知，下标为偶数的点的纵坐标为，下标为偶数的点在直线y=x+1上，点O2018的纵坐标为21009，21009=x+1，x=210102，点O2018的坐标为（210102，21009），故答案为：（210102，21009）5如图，在平面直角坐标系xOy中
12、，已知直线l：，双曲线，在l上取一点，过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，请继续操作并探究：过作x轴的垂线交双曲线于点，过作y轴的垂线交l于点，这样依次得到l上的点，记点的横坐标为，若，则_；若要将上述操作无限次地进行下去，则不可能取的值是_【答案】0、-1即当时，；点不能在y轴上此时找不到，即，点不能在x轴上此时，在y轴上，找不到，即，解得：；综上可得不可取0、故答案为：；0、九、其它型1如图，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，第一个图形需要3个黑色棋子，第二个图形需要8个黑色棋子，按照这样的规律摆下去，第（n是正整数）个图形需要黑色棋子的个数是_（用含n的代数式表示
13、）【答案】n（n+2）2观察下列方程的特征及其解的特点x3的解为x11，x22；x5的解为x12，x23；x7的解为x13，x24.解答下列问题：(1)请你写出一个符合上述特征的方程为_，其解为_；(2)根据这类方程的特征，写出第n个方程为_，其解为_；(3)请利用(2)的结论，求关于x的方程x2(n2)(其中n为正整数)的解【答案】 x9 x14，x25 x(2n1) x1n，x2n1【解析】（1）通过观察可知，3个方程中分式的分子有变化，且分子的变化有规律，2=12，6=23，12=34，等号右边的规律为：-3=-(21+1)，-5=-(22+1)，-7=-(23+1)，解的规律：x1=方
14、程序号的相反数，x2=方程序号加1的相反数，由此写出一个符合上述特征的方程和解（2）根据（1）中的到的规律完成（2）；（3）等号左右两边都加3，可得x+3=-(2n+1)，再依据已知方程的特征及其解的特点解答即可. 3对于0，1以及真分数p，q，r，若pqr，我们称q为p和r的中间分数为了帮助我们找中间分数，制作了下表：两个不等的正分数有无数多个中间分数例如：上表中第行中的3个分数、，有，所以为和的一个中间分数，在表中还可以找到和的中间分数， ， ， 把这个表一直写下去，可以找到和更多的中间分数（1）按上表的排列规律，完成下面的填空：上表中括号内应填的数为 ；如果把上面的表一直写下去，那么表中第一个出现的和的中间分数是 ；（2）写出分数和（a、b、c、d均为正整数， ， ）的一个中间分数（用含a、b、c、d的式子表示），并证明；（3）若与（m、n、s、 t均为正整数）都是和的中间分数，则的最小值为 【答案】（1）；（2）证明见解析（3）1504 （2）本题结论不唯一，证法不唯一，如：结论： a、b、c、d均为正整数， ， ，（3）根据排列可知和的中间分数有， ， ， 等，由此可得mn的最小值为1504，故答案为：1504.14