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1、直角三角形与勾股定理一、 选择题1.（2016广西百色3分）如图，ABC中，C=90，A=30，AB=12，则BC=（）A6 B6C6D12【考点】含30度角的直角三角形【分析】根据30所对的直角边等于斜边的一半求解【解答】解：C=90，A=30，AB=12，BC=12sin30=12=6，故答选A2.（2016贵州安顺3分）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正切值是（）A2B C D【分析】根据勾股定理，可得AC、AB的长，根据正切函数的定义，可得答案【解答】解：如图：，由勾股定理，得AC=，AB=2，BC=，ABC为直角三角形，tanB=，故选：D【点
2、评】本题考查了锐角三角函数的定义，先求出AC、AB的长，再求正切函数3（2016山东省东营市3分）在ABC中，AB10，AC2，BC边上的高AD6，则另一边BC等于( )A10B8C6或10D8或10【知识点】勾股定理、分类讨论思想【答案】C.【解析】在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD8210. 在图中，由勾股定理，得BD8;CD2;BCBDCD826.故选择C.【点拨】本题考查分类思想和勾股定理，要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.4（2016广西南宁3分）如图，厂房屋顶人字形（等腰三角形）钢架的跨度BC=10米，B=36，则中柱
3、AD（D为底边中点）的长是（）A5sin36米 B5cos36米 C5tan36米 D10tan36米【考点】解直角三角形的应用【分析】根据等腰三角形的性质得到DC=BD=5米，在RtABD中，利用B的正切进行计算即可得到AD的长度【解答】解：AB=AC，ADBC，BC=10米，DC=BD=5米，在RtADC中，B=36，tan36=，即AD=BDtan36=5tan36（米）故选：C【点评】本题考查了解直角三角形的应用解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题5（2016海南3分）如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ADC沿着直线AD对折，点C落在点
4、E的位置如果BC=6，那么线段BE的长度为（）A6 B6C2D3【考点】翻折变换（折叠问题）【分析】根据折叠的性质判定EDB是等腰直角三角形，然后再求BE【解答】解：根据折叠的性质知，CD=ED，CDA=ADE=45，CDE=BDE=90，BD=CD，BC=6，BD=ED=3，即EDB是等腰直角三角形，BE=BD=3=3，故选D【点评】本题考查了翻折变换，还考查的知识点有两个：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、等腰直角三角形的性质求解6. （2016陕西3分）如图，在ABC中，ABC=90，AB=
5、8，BC=6若DE是ABC的中位线，延长DE交ABC的外角ACM的平分线于点F，则线段DF的长为（）A7 B8 C9 D10【考点】三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质；勾股定理【分析】根据三角形中位线定理求出DE，得到DFBM，再证明EC=EF=AC，由此即可解决问题【解答】解：在RTABC中，ABC=90，AB=8，BC=6，AC=10，DE是ABC的中位线，DFBM，DE=BC=3，EFC=FCM，FCE=FCM，EFC=ECF，EC=EF=AC=5，DF=DE+EF=3+5=8故选B7. （2016四川眉山3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形ABCD，边B
6、C与DC交于点O，则四边形ABOD的周长是（）A B6 C D【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45得到正方形ABCD，利用勾股定理的知识求出BC的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD，从而可求四边形ABOD的周长【解答】解：连接BC，旋转角BAB=45，BAD=45，B在对角线AC上，BC=AB=3，在RtABC中，AC=3，BC=33，在等腰RtOBC中，OB=BC=33，在直角三角形OBC中，OC=（33）=63，OD=3OC=33，四边形ABOD的周长是：2AD+OB+OD=6+33+33=6故选：A【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直
7、角三角形的性质此题难度适中，注意连接BC构造等腰RtOBC是解题的关键，注意旋转中的对应关系8. （2016四川南充）如图，在RtABC中，A=30，BC=1，点D，E分别是直角边BC，AC的中点，则DE的长为（）A1B2CD1+【分析】由“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=2BC=2然后根据三角形中位线定理求得DE=AB【解答】解：如图，在RtABC中，C=90，A=30，AB=2BC=2又点D、E分别是AC、BC的中点，DE是ACB的中位线，DE=AB=1故选：A【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半9（2016四川内江）已知等边
8、三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A B C D不能确定答案B考点勾股定理，三角形面积公式，应用数学知识解决问题的能力。解析如图，ABC是等边三角形，AB3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AHBC于H则BH，AH连接PA，PB，PC，则SPABSPBCSPCASABCABPDBCPECAPFBCAHPDPEPFAH故选BPBADEF答案图CH10（2016四川宜宾）如图，在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，将ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，则B、
9、D两点间的距离为（）A B2C3 D2【考点】旋转的性质【分析】通过勾股定理计算出AB长度，利用旋转性质求出各对应线段长度，利用勾股定理求出B、D两点间的距离【解答】解：在ABC中，C=90，AC=4，BC=3，AB=5，将ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，AE=4，DE=3，BE=1，在RtBED中，BD=故选：A11.（2016黑龙江龙东3分）若点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=2，则ABC的面积为（）A2+B C2+或2D4+2或2【考点】三角形的外接圆与外心；等腰三角形的性质【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据不同情况，求出相
10、应的边的长度，从而可以求出不同情况下ABC的面积，本题得以解决【解答】解：由题意可得，如右图所示，存在两种情况，当ABC为A1BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，=2，当ABC为A2BC时，连接OB、OC，点O是等腰ABC的外心，且BOC=60，底边BC=2，OB=OC，OBC为等边三角形，OB=OC=BC=2，OA1BC于点D，CD=1，OD=，SA2BC=2+，由上可得，ABC的面积为或2+，故选C12（2016湖北荆门3分）如图，ABC中，AB=AC，AD是
11、BAC的平分线已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）A5 B6 C8 D10【考点】勾股定理；等腰三角形的性质【分析】根据等腰三角形的性质得到ADBC，BD=CD，根据勾股定理即可得到结论【解答】解：AB=AC，AD是BAC的平分线，ADBC，BD=CD，AB=5，AD=3，BD=4，BC=2BD=8，故选C13（2016湖北荆州3分）如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，ABC的顶点都在格点上，则图中ABC的余弦值是（）A2 B C D【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论【解答】解：由图可知，AC2=22+42=20，BC2
12、=12+22=5，AB2=32+42=25，ABC是直角三角形，且ACB=90，cosABC=故选D【点评】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键二、 填空题1. （2016浙江省湖州市4分）如图，在RtABC中，ACB=90，BC=6，AC=8，分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F，过点E，F作直线EF，交AB于点D，连结CD，则CD的长是5【考点】作图基本作图；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】首先说明AD=DB，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半，即可解决问题【解答】解：由题意
13、EF是线段AB的垂直平分线，AD=DB，RtABC中，ACB=90，BC=6，AC=8，AB=10，AD=DB，ACB=90，CD=AB=5故答案为52. （2016湖北随州3分）如图，在ABC中，ACB=90，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN若AB=6，则DN=3【考点】三角形中位线定理；直角三角形斜边上的中线；平行四边形的判定与性质【分析】连接CM，根据三角形中位线定理得到NM=CB，MNBC，证明四边形DCMN是平行四边形，得到DN=CM，根据直角三角形的性质得到CM=AB=3，等量代换即可【解答】解：连接CM，M、N分别是AB、AC的中点
14、，NM=CB，MNBC，又CD=BD，MN=CD，又MNBC，四边形DCMN是平行四边形，DN=CM，ACB=90，M是AB的中点，CM=AB=3，DN=3，故答案为：33. （2016湖北武汉3分）如图，在四边形ABCD中，ABC90，AB3，BC4，CD10，DA，则BD的长为_【考点】相似三角形，勾股定理【答案】2【解析】连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H在RtABC中，AB3，BC4，AC5，又CD10，DA，可知ACD为直角三角形，且ACD90，易证ABCCHD，则CH6，DH8，BD4. （2016江西3分）如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为
15、AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是5sqrt2或4sqrt5或5【考点】矩形的性质；等腰三角形的性质；勾股定理【分析】分情况讨论：当AP=AE=5时，则AEP是等腰直角三角形，得出底边PE=AE=5即可；当PE=AE=5时，求出BE，由勾股定理求出PB，再由勾股定理求出等边AP即可；当PA=PE时，底边AE=5；即可得出结论【解答】解：如图所示：当AP=AE=5时，BAD=90，AEP是等腰直角三角形，底边PE=AE=5；当PE=AE=5时，BE=ABAE=85=3，B=90，PB=4，底边AP=4；当
16、PA=PE时，底边AE=5；综上所述：等腰三角形AEP的对边长为5或4或5；故答案为：5或4或55. （2016四川内江）如图4，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC8，BD6，OEBC，垂足为点E，则OE_DOCEBA图4答案考点菱形的性质，勾股定理，三角形面积公式。解析菱形的对角线互相垂直平分，OB3，OC4，BOC90BC5SOBCOBOC，又SOBCBCOE，OBOCBCOE，即345OEOE故答案为：6. （2016青海西宁2分）如图，OP平分AOB，AOP=15，PCOA，PDOA于点D，PC=4，则PD=2【考点】角平分线的性质；含30度角的直角三角形【分析】作PE
17、OA于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，根据平行线的性质可得ACP=AOB=30，由直角三角形中30的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得PE，即可求得PD【解答】解：作PEOA于E，AOP=BOP，PDOB，PEOA，PE=PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），BOP=AOP=15，AOB=30，PCOB，ACP=AOB=30，在RtPCE中，PE=PC=4=2（在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半），PD=PE=2，故答案是：27（2016四川宜宾）在平面直角坐标系内，以点P（1，1）为圆心、为半径作圆，则该圆与y轴的交点坐标是（0，3），（0，1）【考点】坐标与图形性
18、质【分析】在平面直角坐标系中，根据勾股定理先求出直角三角形的另外一个直角边，再根据点P的坐标即可得出答案【解答】解：以（1，1）为圆心，为半径画圆，与y轴相交，构成直角三角形，用勾股定理计算得另一直角边的长为2，则与y轴交点坐标为（0，3）或（0，1）故答案为：（0，3），（0，1）3（2016四川内江）如图12所示，已知点C(1，0)，直线yx7与两坐标轴分别交于A，B两点，D，E分别是AB，OA上的动点，则CDE周长的最小值是_答案10考点勾股定理，对称问题。解析作点C关于y轴的对称点C1(1，0)，点C关于x轴的对称点C2，连接C1C2交OA于点E，交AB于点D，则此时CDE的周长最小，
19、且最小值等于C1C2的长OAOB7，CB6，ABC45AB垂直平分CC2，CBC290，C2的坐标为(7，6)在C1BC2中，C1C210即CDE周长的最小值是10xyO答案图CBAEDC1C2故答案为：108.（2016湖北黄石3分）如图所示，正方形ABCD对角线AC所在直线上有一点O，OA=AC=2，将正方形绕O点顺时针旋转60，在旋转过程中，正方形扫过的面积是2+2【分析】如图，用大扇形的面积减去小扇形的面积再加上正方形ABCD的面积【解答】解：OA=AC=2，AB=BC=CD=AD=，OC=4，S阴影=+=2+2，故答案为：2+2【点评】此题考查了扇形的面积公式和旋转的性质以及勾股定理
20、，能够把不规则图形的面积转换为规则图形的面积是解答此题的关键三、 解答题1. （2016湖北随州10分）爱好思考的小茜在探究两条直线的位置关系查阅资料时，发现了“中垂三角形”，即两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”如图（1）、图（2）、图（3）中，AM、BN是ABC的中线，ANBN于点P，像ABC这样的三角形均为“中垂三角形”设BC=a，AC=b，AB=c【特例探究】（1）如图1，当tanPAB=1，c=4时，a=4，b=4；如图2，当PAB=30，c=2时，a=，b=；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2、b2、c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结
21、论【拓展证明】（3）如图4，ABCD中，E、F分别是AD、BC的三等分点，且AD=3AE，BC=3BF，连接AF、BE、CE，且BECE于E，AF与BE相交点G，AD=3，AB=3，求AF的长【考点】四边形综合题【分析】（1）首先证明APB，PEF都是等腰直角三角形，求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题连接EF，在RTPAB，RTPEF中，利用30性质求出PA、PB、PE、PF，再利用勾股定理即可解决问题（2）结论a2+b2=5c2设MP=x，NP=y，则AP=2x，BP=2y，利用勾股定理分别求出a2、b2、c2即可解决问题（3）取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线
22、于P点，首先证明ABF是中垂三角形，利用（2）中结论列出方程即可解决问题【解答】（1）解：如图1中，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=2，tanPAB=1，PAB=PBA=PEF=PFE=45，PF=PE=2，PB=PA=4，AE=BF=2b=AC=2AE=4，a=BC=4故答案为4，4如图2中，连接EF，CE=AE，CF=BF，EFAB，EF=AB=1，PAB=30，PB=1，PA=，在RTEFP中，EFP=PAB=30，PE=，PF=，AE=，BF=，a=BC=2BF=，b=AC=2AE=，故答案分别为，（2）结论a2+b2=5c2证明：如图3中，连接EFAF、BE是中线，EF
23、AB，EF=AB，FPEAPB，=，设FP=x，EP=y，则AP=2x，BP=2y，a2=BC2=4BF2=4（FP2+BP2）=4x2+16y2，b2=AC2=4AE2=4（PE2+AP2）=4y2+16x2，c2=AB2=AP2+BP2=4x2+4y2，a2+b2=20x2+20y2=5（4x2+4y2）=5c2（3）解：如图4中，在AGE和FGB中，AGEFGB，BG=FG，取AB中点H，连接FH并且延长交DA的延长线于P点，同理可证APHBFH，AP=BF，PE=CF=2BF，即PECF，PE=CF，四边形CEPF是平行四边形，FPCE，BECE，FPBE，即FHBG，ABF是中垂三角
24、形，由（2）可知AB2+AF2=5BF2，AB=3，BF=AD=，9+AF2=5（）2，AF=42. （2016四川南充）如图，在RtABC中，ACB=90，BAC的平分线交BC于点O，OC=1，以点O为圆心OC为半径作半圆（1）求证：AB为O的切线；（2）如果tanCAO=，求cosB的值【分析】（1）如图作OMAB于M，根据角平分线性质定理，可以证明OM=OC，由此即可证明（2）设BM=x，OB=y，列方程组即可解决问题【解答】解：（1）如图作OMAB于M，OA平分CAB，OCAC，OMAB，OC=OM，AB是O的切线，（2）设BM=x，OB=y，则y2x2=1 ，cosB=，=，x2+3
25、x=y2+y ，由可以得到：y=3x1，（3x1）2x2=1，x=，y=，cosB=【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、三角函数等知识，解题的关键是记住圆心到直线的距离等于半径，这条直线就是圆的切线，学会设未知数列方程组解决问题，属于中考常考题型3（2016四川内江）(10分)如图9，在ABC中，ABC90，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相交于点D，E，FO是BEF的外接圆，EBF的平分线交EF于点G，交O于点H，连接BD，FH(1)试判断BD与O的位置关系，并说明理由；(2)当ABBE1时，求O的面积；(3)在(2)的条件下，求HGHB的值DGHOCEFBA图9DGHOCE
26、FBA答案图考点切线的性质与判定定理，三角形的全等，直角三角形斜边上中线定理、勾股定理。(1)直线BD与O相切理由如下：如图，连接OB，BD是ABC斜边上的中线，DBDCDBCCOBOE，OBEOEBCEDCCED90，DBCOBE90BD与O相切；3分(2)连接AEABBE1，AEDF垂直平分AC，CEAEBC14分CCAB90，DFACAB90，CABDFA又CBAFBE90，ABBE，CABFEBBFBC15分EF2BE2BF212(1)2426分SOEF27分(3)ABBE，ABE90，AEB45EAEC，C22.58分HBEGCED9022.567.5BH平分CBF，EBGHBF45
27、BGEBFH67.5BGBE1，BHBF19分GHBHBGHBHG(1)210分4.（2016黑龙江龙东6分）如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（4，1）（2，1），先将ABC沿一确定方向平移得到A1B1C1，点B的对应点B1的坐标是（1，2），再将A1B1C1绕原点O顺时针旋转90得到A2B2C2，点A1的对应点为点A2（1）画出A1B1C1；（2）画出A2B2C2；（3）求出在这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换【分析】（1）由B点坐标和B1的坐标得到ABC向右平移5个单位，再向上平移1个单位得到A1B1C1，
28、则根据点平移的规律写出A1和C1的坐标，然后描点即可得到A1B1C1；（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A1的对应点为点A2，点B1的对应点为点B2，点C1的对应点为点C2，从而得到A2B2C2；（3）先利用勾股定理计算平移的距离，再计算以OA1为半径，圆心角为90的弧长，然后把它们相加即可得到这两次变换过程中，点A经过点A1到达A2的路径总长【解答】解：（1）如图，A1B1C1为所作；（2）如图，A2B2C2为所作；（3）OA=4，点A经过点A1到达A2的路径总长=+=+25（2016湖北黄石12分）在ABC中，AB=AC，BAC=2DAE=2（1）如图1，若点D关于直线AE的对称点为F，
29、求证：ADFABC；（2）如图2，在（1）的条件下，若=45，求证：DE2=BD2+CE2；（3）如图3，若=45，点E在BC的延长线上，则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗？请说明理由【分析】（1）根据轴对称的性质可得EAF=DAE，AD=AF，再求出BAC=DAF，然后根据两边对应成比例，夹角相等两三角形相似证明；（2）根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再求出BAD=CAF，然后利用“边角边”证明ABD和ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得ACF=B，然后求出ECF=90，最后利用勾股定理证明即可；（3）作点D关于AE的对称点F，连接EF
30、、CF，根据轴对称的性质可得EF=DE，AF=AD，再根据同角的余角相等求出BAD=CAF，然后利用“边角边”证明ABD和ACF全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=BD，全等三角形对应角相等可得ACF=B，然后求出ECF=90，最后利用勾股定理证明即可【解答】证明：（1）点D关于直线AE的对称点为F，EAF=DAE，AD=AF，又BAC=2DAE，BAC=DAF，AB=AC，=，ADFABC；（2）点D关于直线AE的对称点为F，EF=DE，AF=AD，=45，BAD=90CAD，CAF=DAE+EAFCAD=45+45CAD=90CAD，BAD=CAF，在ABD和ACF中，ABDACF（S
31、AS），CF=BD，ACF=B，AB=AC，BAC=2，=45，ABC是等腰直角三角形，B=ACB=45，ECF=ACB+ACF=45+45=90，在RtCEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2；（3）DE2=BD2+CE2还能成立理由如下：作点D关于AE的对称点F，连接EF、CF，由轴对称的性质得，EF=DE，AF=AD，=45，BAD=90CAD，CAF=DAE+EAFCAD=45+45CAD=90CAD，BAD=CAF，在ABD和ACF中，ABDACF（SAS），CF=BD，ACF=B，AB=AC，BAC=2，=45，ABC是等腰直角三角形，B=ACB
32、=45，ECF=ACB+ACF=45+45=90，在RtCEF中，由勾股定理得，EF2=CF2+CE2，所以，DE2=BD2+CE2【点评】本题是相似形综合题，主要利用了轴对称的性质，相似三角形的判定，同角的余角相等的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，此类题目，小题间的思路相同是解题的关键6（2016湖北荆州8分）如图，将一张直角三角形ABC纸片沿斜边AB上的中线CD剪开，得到ACD，再将ACD沿DB方向平移到ACD的位置，若平移开始后点D未到达点B时，AC交CD于E，DC交CB于点F，连接EF，当四边形EDDF为菱形时，试探究ADE的形状，并判断ADE与EFC是否全等？请说明理由【分析
33、】当四边形EDDF为菱形时，ADE是等腰三角形，ADEEFC先证明CD=DA=DB，得到DAC=DCA，由ACAC即可得到DAE=DEA由此即可判断DAE的形状由EFAB推出CEF=EAD，EFC=ADC=ADE，再根据AD=DE=EF即可证明【解答】解：当四边形EDDF为菱形时，ADE是等腰三角形，ADEEFC理由：BCA是直角三角形，ACB=90，AD=DB，CD=DA=DB，DAC=DCA，ACAC，DAE=A，DEA=DCA，DAE=DEA，DA=DE，ADE是等腰三角形四边形DEFD是菱形，EF=DE=DA，EFDD，CEF=DAE，EFC=CDA，CDCD，ADE=ADC=EFC，
34、在ADE和EFC中，ADEEFC【点评】本题考查平移、菱形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，属于中考常考题型7（2016湖北荆州10分）如图，A、F、B、C是半圆O上的四个点，四边形OABC是平行四边形，FAB=15，连接OF交AB于点E，过点C作OF的平行线交AB的延长线于点D，延长AF交直线CD于点H（1）求证：CD是半圆O的切线；（2）若DH=63，求EF和半径OA的长【分析】（1）连接OB，根据已知条件得到AOB是等边三角形，得到AOB=60，根据圆周角定理得到AOF=BOF=30，根据平行线的性质得到OCCD，由切线的
35、判定定理即可得到结论；（2）根据平行线的性质得到DBC=EAO=60，解直角三角形得到BD=BC=AB，推出AE=AD，根据相似三角形的性质得到，求得EF=2，根据直角三角形的性质即可得到结论【解答】解：（1）连接OB，OA=OB=OC，四边形OABC是平行四边形，AB=OC，AOB是等边三角形，AOB=60，FAD=15，BOF=30，AOF=BOF=30，OFAB，CDOF，CDAD，ADOC，OCCD，CD是半圆O的切线；（2）BCOA，DBC=EAO=60，BD=BC=AB，AE=AD，EFDH，AEFADH，DH=63，EF=2，OF=OA，OE=OA（2），AOE=30，=，解得：
36、OA=2【点评】本题考查了切线的判定，平行四边形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，连接OB构造等边三角形是解题的关键8.（2016福建龙岩12分）图1是某公交公司1路车从起点站A站途经B站和C站，最终到达终点站D站的格点站路线图（88的格点图是由边长为1的小正方形组成）（1）求1路车从A站到D站所走的路程（精确到0.1）；（2）在图2、图3和图4的网格中各画出一种从A站到D站的路线图（要求：与图1路线不同、路程相同；途中必须经过两个格点站；所画路线图不重复）【考点】作图应用与设计作图；勾股定理的应用【分析】（1）先根据网格求得AB、BC、CD三条线段的长，再相加求得所走的路程的
37、近似值；（2）根据轴对称、平移或中心对称等图形的变换进行作图即可【解答】解：（1）根据图1可得：，CD=3A站到B站的路程=9.7；（2）从A站到D站的路线图如下：9（2016山东省菏泽市3分）如图，点O是ABC内一点，连结OB、OC，并将AB、OB、OC、AC的中点D、E、F、G依次连结，得到四边形DEFG（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；（2）若M为EF的中点，OM=3，OBC和OCB互余，求DG的长度【考点】平行四边形的判定与性质【分析】（1）根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EFBC且EF=BC，DGBC且DG=BC，从而得到DE=EF，DGEF，再利用一组对
38、边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可；（2）先判断出BOC=90，再利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，求出EF即可【解答】解：（1）D、G分别是AB、AC的中点，DGBC，DG=BC，E、F分别是OB、OC的中点，EFBC，EF=BC，DE=EF，DGEF，四边形DEFG是平行四边形；（2）OBC和OCB互余，OBC+OCB=90，BOC=90，M为EF的中点，OM=3，EF=2OM=6由（1）有四边形DEFG是平行四边形，DG=EF=6【点评】此题是平行四边形的判定与性质题，主要考查了平行四边形的判定和性质，三角形的中位线，直角三角形的性质，解本题的关键是判定四边形DEFG是平行四边形