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1、直角三角形与勾股定理一、选择题1. （2014山东枣庄，第3题3分）如图，ABCD，AE交CD于C，A=34，DEC=90，则D的度数为（ ） A17B34C56D124考点：平行线的性质；直角三角形的性质分析：根据两直线平行，同位角相等可得DCE=A，再根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解解答：解：ABCD，DCE=A=34，DEC=90，D=90DCE=9034=56故选C点评：本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键2. 1（2014湖南张家界，第7题，3分）如图，在RtABC中，ACB=60，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点若BD
2、=2，则AC的长是（）A4B4C8D8考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：求出ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解答：解：如图，在RtABC中，ACB=60，A=30DE垂直平分斜边AC，AD=CD，A=ACD=30，DCB=6030=30，BD=2，CD=AD=4，AB=2+4+2=6，在BCD中，由勾股定理得：CB=2，在ABC中，由勾股定理得：AC=4，故选：B点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查
3、学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中3. （2014十堰9（3分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，DEBC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，ACD=2ACB若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A2BC2D考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得GAD=GDA，根据三角形外角的性质可得CGD=2GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得ACD=CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解解答：解：ADBC，DEBC，DEAD，CA
4、D=ACB点G为AF的中点，DG=AG，GAD=GDA，CGD=2CAD，ACD=2ACB，ACD=CGD，CD=DG=3，在RtCED中，DE=2故选：C点评：综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=34. （2014娄底8（3分）下列命题中，错误的是（）A平行四边形的对角线互相平分B菱形的对角线互相垂直平分C矩形的对角线相等且互相垂直平分D角平分线上的点到角两边的距离相等考点：命题与定理分析：根据平行四边形的性质对A进行判断；根据菱形的性质对B进行判断；根据矩形的性质对C进行判断；根据角平分线的性质对D进行判断解答：解：A、平行四边形
5、的对角线互相平分，所以A选项的说法正确；B、菱形的对角线互相垂直平分，所以B选项的说法正确；C、矩形的对角线相等且互相平分，所以C选项的说法错误；D、角平分线上的点到角两边的距离相等，所以D选项的说法正确故选C点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理5. （2014山东淄博,第10题4分）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C则矩形的一边AB的长度为（）A1BCD2考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质菁优网分析：本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用
6、线段垂直平分线的性质证明BC=EC求出EC后根据勾股定理即可求解解答：解：如图，连接ECFC垂直平分BE，BC=EC（线段垂直平分线的性质）又点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，故EC=2利用勾股定理可得AB=CD=故选：C点评：本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解本题难度中等二、填空题1. （2014山东威海，第17题3分）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，ACB=90，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 考点：翻折变换（折叠问题）分析：先由折叠的性质得
7、AE=CE，AD=CD，DCE=A，进而得出，B=BCD，求得BD=CD=AD=5，DE为ABC的中位线，得到DE的长，再在RtABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长解答：解：沿DE折叠，使点A与点C重合，AE=CE，AD=CD，DCE=A，BCD=90DCE，又B=90A，B=BCD，BD=CD=AD=5，DE为ABC的中位线，DE=3，BC=6，AB=10，ACB=90，四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18故答案为：18点评：本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到ED是ABC的中位线关键2. （2014山东枣庄，第18题4
8、分）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 （3+3） cm 考点：平面展开-最短路径问题；截一个几何体分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解答：解：如图所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等边三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=CD=3cm，在RtACE中，AE=3cm，从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm故答案为：（3+3）点评：考查了平面展开最短路径问题，本题就是把图的几何体表面展开成平面图形，根据等腰
9、直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题3. （2014山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处则问题中葛藤的最短长度是_尺考点：平面展开最短路径问题；勾股定理的应用分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角
10、边长53=15（尺），因此葛藤长=25（尺）故答案为：25点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解4. 半径为2，点O2在射线OB上运动，且O2始终与OA相切，当O2和O1相切时，O2的半径等于考点：圆和圆相切的性质，勾股定理分析：作O2COA于点C，连接O1O2，设O2C=r，根据O1的半径为2，OO1=7，表示出O1O2=r+2，O1C=7r，利用勾股定理列出有关r的方程求解即可解答：如图，作O2COA于点C，连接O1O2，设O2C=r，AOB=45，OC=O2C=r，O1的半径为2，OO1=7，O1O2=r+
11、2，O1C=7r，（7r）2+r2=（r+2）2，解得：r=3或15，故答案为：3或15点评：本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是正确的作出图形，难度中等5. （2014江西抚州，第14题，3分）如图，两块完全相同的含30角的直角三角板ABC和重合在一起，将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角（0 90），有以下四个结论：当=30时，与的交点恰好为的中点；当=60时，恰好经过点；在旋转过程中，存在某一时刻，使得；在旋转过程中，始终存在，其中结论正确的序号是 .(多填或填错得0分，少填酌情给分）解析：如图1，=30，ACA=A=30,BCA=B=60，DC=DA,DC=DB,DA=DB,D是AB
12、的中点.正确如图2，当=60时，取AB的中点E,连接CE,则BCE=BCB=60,又CB=CB,E、B重合，A、B恰好经过点B.正确如图3，连接AA,BB,则CAACBB,AA=BB.错误如图4，ABD=CBB60,BAD=180(CAA+30),ABDBAD=90CBBCAA CBB=CAA , ABDBAD=90,即D=90,AABB.正确，正确.6. (2014年湖北咸宁13（3分）)如图，在扇形OAB中，AOB=90，点C是上的一个动点（不与A，B重合），ODBC，OEAC，垂足分别为D，E若DE=1，则扇形OAB的面积为考点：三角形中位线定理；垂径定理；扇形面积的计算菁优网分析：连接
13、AB，由OD垂直于BC，OE垂直于AC，利用垂径定理得到D、E分别为BC、AC的中点，即ED为三角形ABC的中位线，即可求出AB的长利用勾股定理、OA=OB，且AOB=90，可以求得该扇形的半径解答：解：连接AB，ODBC，OEAC，D、E分别为BC、AC的中点，DE为ABC的中位线，AB=2DE=2又在OAB中，AOB=90，OA=OB，OA=OB=AB=，扇形OAB的面积为：=故答案是：点评：此题考查了垂径定理，勾股定理，扇形面积的计算以及三角形的中位线定理，熟练掌握定理是解本题的关键7. (2014年山东东营,第14题3分)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟
14、从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10米考点：勾股定理的应用菁优网分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出解答：解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，EB=6m，EC=8m，AE=ABEB=126=6（m），在RtAEC中，AC=10（m）故小鸟至少飞行10m故答案为：10点评：本题考查了勾股定理的应用，根据实际得出直角三角形，培养学生解决实际问题的能力8（2014四川宜宾，第14题，3分）如图，在RtABC中，B=90，AB=3
15、，BC=4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB= 1.5 考点：翻折变换（折叠问题）分析：首先根据折叠可得BE=EB，AB=AB=3，然后设BE=EB=x，则EC=4x，在RtABC中，由勾股定理求得AC的值，再在RtBEC中，由勾股定理可得方程x2+22=（4x）2，再解方程即可算出答案解答：解：根据折叠可得BE=EB，AB=AB=3设BE=EB=x，则EC=4x，B=90，AB=3，BC=4，在RtABC中，由勾股定理得，BC=53=2，在RtBEC中，由勾股定理得，x2+22=（4x）2，解得x=1.5故答案为：1.5点评：此题主要考查了翻折变换，关键是
16、分析清楚折叠以后哪些线段是相等的9.（2014四川凉山州，第16题，4分）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 考点：勾股定理专题：分类讨论分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：3是直角边，4是斜边；3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长解答：解：长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；故第三边的长为：5或点评：此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解 10（2014四川凉
17、山州，第26题，5分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm 考点：平面展开最短路径问题分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求解答：解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=20（cm）故答案为：20点评：本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力 11（2
18、014甘肃白银、临夏,第13题4分）等腰ABC中，AB=AC=10cm，BC=12cm，则BC边上的高是 cm考点：勾股定理；等腰三角形的性质分析：利用等腰三角形的“三线合一”的性质得到BD=BC=6cm，然后在直角ABD中，利用勾股定理求得高线AD的长度解答：解：如图，AD是BC边上的高线AB=AC=10cm，BC=12cm，BD=CD=6cm，在直角ABD中，由勾股定理得到：AD=（8cm）故答案是：8点评：本题主要考查了等腰三角形的三线合一定理和勾股定理等腰三角形底边上的高线把等腰三角形分成两个全等的直角三角形三、解答题1. （2014上海，第22题10分）如图，已知RtABC中，ACB
19、=90，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线分析：（1）根据ACB=90，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则B=BCD，再由AECD，可证明B=CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE解答：解：（1）ACB=90，CD是斜边AB上的中线，CD=BD，B=BCD，AECD，CAH+ACH=90，B=CAH，AH=2C
20、H，由勾股定理得AC=CH，CH：AC=1：，sinB；（2）sinB，AC：AB=1：，CD=，AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，BC=4，BE=BCCE=3点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大2. （2014山东济南，第27题，9分）如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点且垂直于于点，分别交于点，（1），正方形的边长；（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上写出与的函数关系并给出证明；若，求菱形的边长【解析】（1）在中，AD
21、=DC,又有和互余，和互余，故和相等，知, 又，所以正方形的边长为 （2）过点作垂直于于点M，在中, ,故，所以互余，与之和为，故=.过E点作ON垂直于分别交于点O，N，若,，,故, , ，由勾股定理可知菱形边长为.3.（( 2014年河南) 22.10分）（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：（1）AEB的度数为 60 ； （2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。解:（1）60；AD=BE. 2分 提示：（1）可证CDACEB,CEB=CDA=1200，又CED=600， AEB=1200600=600. 可证CDACEB,
22、AD=BE（2）拓展探究如图2，ACB和DCE均为等边三角形，ACB=DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE。请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。解：（2）AEB900；AE=2CM+BE. 4分 （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）理由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB =DCE= 900, AC=BC, CD=CE, ACB=DCB=DCEDCB, 即ACD= BCEACDBCE. 6分AD = BE, BEC=ADC=1350. AEB=BECCED=1350450=9007分 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， CM= DM= ME,DE=2CM.AE=DE+AD=2CM+BE8分（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。(3)或10分 【提示】PD =1，BPD=900, BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点 第一种情况：如图，过点A作AP的垂线，交BP于点P/， 可证APDAP/B,PD=P/B=1, CD=,BD=2,BP=,AM=PP/=(PBBP/)= 第二种情况如图，可得AMPP/=(PB+BP/)=