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1、直角三角形与勾股定理一.选择题1. （2015辽宁大连，8，3分）如图，在ABC中，C=90，AC=2，点D在BC上，ADC=2B,AD=,则BC的长为（ ）A.1 B.+1 C.1 D.+1【答案】D【解析】解：在ADC中，C=90，AC=2，所以CD=,因为ADC=2B，ADC=B+BAD,所以B=BAD,所以BD=AD=,所以BC=+1，故选D.2.（2015四川南充,第9题3分）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为（ ）（A）1:2 （B）1:3 （C）1: （D）1: 【答案】D【解析】试题分析：设AC与BD的交点为O，根据周长可得AB=BC
2、=2，根据AE=可得BE=1，则ABC为等边三角形，则AC=2，BO=，即BD=2，即AC:BD=1：.考点：菱形的性质、直角三角形.图53（2015四川资阳,第9题3分）如图5，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3 cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是A13cmBcmCcmDcm考点：平面展开最短路径问题.分析：将容器侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求解答：解：如图：高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器
3、底部3cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿3cm与饭粒相对的点A处，AD=5cm，BD=123+AE=12cm，将容器侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=13（Cm）故选：A点评：本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力4. （2015浙江滨州,第10题3分）如图，在直角的内部有一滑动杆.当端点沿直线向下滑动时，端点会随之自动地沿直线向左滑动.如果滑动杆从图中处滑动到处，那么滑动杆的中点所经过的路径是( )A.直线的一部分B.圆的一部分 C.双曲线的一部分
4、D.抛物线的一部分【答案】B【解析】试题分析：根据题意和图形可知AOB始终是直角三角形，点C为斜边上的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可知OC始终等于AB的一半，O点为定点，OC为定长，所以它始终是圆的一部分.故选B考点：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半5. （2015浙江湖州，第9题3分）如图，AC是矩形ABCD的对角线，O是ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OGDG，且O的半径长为1，则下列结论不成立的是( )A. CD+DF=4B. CDDF=23C. BC+AB=2+4D
5、. BCAB=2【答案】A.【解析】试题分析：如图，设O与BC的切点为M,连接MO并延长MO交AD于点N,利用“AAS”易证OMGGCD,所以OM=GC=1, CD=GM=BCBMGC=BC2.又因AB=CD,所以可得BCAB=2.设AB=a，BC=b,AC=c, O的半径为r，O是RtABC的内切圆可得r=（a+bc），所以c=a+b2. 在RtABC中，由勾股定理可得，整理得2ab4a4b+4=0，又因BCAB=2即b=2+a，代入可得2a（2+a）4a4（2+a）+4=0，解得，所以，即可得BC+AB=2+4. 再设DF=x，在RtONF中,FN=，OF=x，ON=,由勾股定理可得，解得
6、，所以CDDF=，CD+DF=.综上只有选项A错误，故答案选A.考点：矩形的性质；直角三角形内切圆的半径与三边的关系；折叠的性质；勾股定理；6. （2015浙江嘉兴，第7题4分）如图，中，AB=5，BC=3，AC=4，以点C为圆心的圆与AB相切，则C的半径为（）（A）2.3 （B）2.4（C）2.5（D）2.6考点：切线的性质；勾股定理的逆定理.分析：首先根据题意作图，由AB是C的切线，即可得CDAB，又由在直角ABC中，C=90，AC=3，BC=4，根据勾股定理求得AB的长，然后由SABC=ACBC=ABCD，即可求得以C为圆心与AB相切的圆的半径的长解答：解：在ABC中，AB=5，BC=3
7、，AC=4，AC2+BC2=32+42=52=AB2，C=90，如图：设切点为D，连接CD，AB是C的切线，CDAB，SABC=ACBC=ABCD，ACBC=ABCD，即CD=，C的半径为，故选B点评：此题考查了圆的切线的性质，勾股定理，以及直角三角形斜边上的高的求解方法此题难度不大，解题的关键是注意辅助线的作法与数形结合思想的应用8. （2015四川乐山,第7题3分）如图，已知ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（ ）A B C D【答案】D 考点：1锐角三角函数的定义；2勾股定理；3勾股定理的逆定理；4格型9, （2015四川眉山，第10题3分）如图，在RtABC中，B=90，A=
8、30，DE垂直平分斜边AC，交AB于D，E是垂足，连接CD若BD=1，则AC的长是（）A2B2C4D4考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质；勾股定理.分析：求出ACB，根据线段垂直平分线的性质求出AD=CD，推出ACD=A=30，求出DCB，即可求出BD、BC，根据含30角的直角三角形性质求出AC即可解答：解：在RtABC中，B=90，A=30，ACB=60，DE垂直平分斜边AC，AD=CD，ACD=A=30，DCB=6030=30，在RtDBC中，B=90，DCB=30，BD=1，CD=2BD=2，由勾股定理得：BC=，在RtABC中，B=90，A=30，BC=，AC=2BC=
9、2，故选A点评：本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，解此题的关键是求出BC的长，注意：在直角三角形中，如果有一个角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半10. （2015浙江省台州市，第8题）如果将长为6cm，宽为5cm的长方形纸片折叠一次，那么这条折痕的长不可能是（ ）A.8cm B.cm C.5.5cm D.1cm二.填空题1、（2015四川自贡,第13题4分）已知，是O的一条直径 ，延长至点，使,与O相切于点，若,则劣弧的长为 .考点：圆的基本性质、切线的性质、直角三角形的性质、勾股定理、弧长公式等.分析：本题劣弧的长关键是求出圆
10、的半径和劣弧所对的圆心角的度数.在连接OD后，根据切线的性质易知,圆的半径和圆心角的度数可以通过Rt获得解决.略解：连接半径OD.又与O相切于点 又 在Rt 在Rt根据勾股定理可知： 解得： 则劣弧的长为. 故应填 2. （2015浙江滨州,第17题4分）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处.若点D的坐标为(10,8），则点E的坐标为 .【答案】（10,3）考点：折叠的性质，勾股定理3. （2015四川省内江市，第22题，6分）在ABC中，B=30，AB=12，AC=6，则BC=6考点：含30度角的直角三角形；勾股定理.
11、分析：由B=30，AB=12，AC=6，利用30所对的直角边等于斜边的一半易得ABC是直角三角形，利用勾股定理求出BC的长解答：解：B=30，AB=12，AC=6，ABC是直角三角形，BC=6，故答案为：6点评：此题考查了含30直角三角形的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键4.（2015江苏泰州,第16题3分）如图， 矩形中，AB=8，BC=6，P为AD上一点， 将ABP 沿BP翻折至EBP， PE与CD相交于点O，且OE=OD，则AP的长为_. 【答案】4.8.【解析】试题分析：由折叠的性质得出EP=AP, E=A=90,BE=AB=8，由ASA证明ODPOEG，得出OP=
12、OG，PD=GE，设AP=EP=x，则PD=GE=6x，DG=x，求出CG、BG，根据勾股定理得出方程，解方程即可.试题解析：如图所示： 四边形ABCD是矩形D=A=C=90，AD=BC=6，CD=AB=8根据题意得：ABPEBP，EP=AP，E=A=90,BE=AB=8，在ODP和OEG中ODPOEGOP=OG，PD=GE，DG=EP设AP=EP=x，则PD=GE=6x，DG=x，CG=8x，BG=8（6x）=2+x根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2即：62+（8x）2=（x+2）2解得：x=4.8AP=4.8.考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理；3.矩形的性质.5.（2015
13、江苏徐州,第17题3分）如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为（）n1考点：正方形的性质.专题：规律型分析：首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题解答：解：四边形ABCD为正方形，AB=BC=1，B=90，AC2=12+12，AC=；同理可求：AE=（）2，HE=（）3，第n个正方形的边长an=（）n1故答案为（）n1点评：该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用6.（2015山东东营,第17题4分）如图，一只蚂蚁沿
14、着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬到点B，如果它运动的路径是最短的，则AC的长为 【答案】. 考点：1.正方体的侧面展开图；2.最值问题；3.勾股定理.7（2015广东广州,第16题3分）如图，四边形ABCD中，A=90，AB=3，AD=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为 3 考点：三角形中位线定理；勾股定理专题：动点型分析：根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN=DB=6，从而求得EF的最大值为3解答：解：ED=
15、EM，MF=FN，EF=DN，DN最大时，EF最大，N与B重合时DN最大，此时DN=DB=6，EF的最大值为3故答案为3点评：本题考查了三角形中位线定理，勾股定理的应用，熟练掌握定理是解题的关键8.（2015泉州第11题4分）如图，在正三角形ABC中，ADBC于点D，则BAD=30解：ABC是等边三角形，BAC=60，AB=AC，ADBC，BAD=BAC=30，故答案为：309(2015湖南株洲,第15题3分)如图是“赵爽弦图”，ABH、BCG、CDF和DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB10，EF2，那么AH等于【试题分析】本题考点为：全等三角形的对应边
16、相等，直角三角形的勾股定理，正方形的边长相等；由全等可知：AHDE，AEAHHE由直角三角形可得：，代入可得答案为：610(2015江苏无锡,第17题2分)已知：如图，AD、BE分别是ABC的线和角平分线，ADBE，AD=BE=6，则AC的长等于_考点：三角形位线定理；勾股定理专题：计算题分析：延长AD至F，使DF=AD，过点F作平行BE与AC延长线交于点G，过点C作CHBE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在直角三角形AGF，利用勾股定理求AG的长，利用SAS证得BDFCDA，利用全等三角形对应角相等得到ACD=BFD，证得AGBF，从而证得四边形EBFG是平行四边形，得到FG=BE=6，
17、利用AAS得到三角形BOD与三角形CHD全等，利用全等三角形对应边相等得到OD=DH=3，得AH=9，然后根据AHCAFG，对应边成比例即可求得AC解答：解：延长AD至F，使DF=AD，过点F作FGBE与AC延长线交于点G，过点C作CHBE，交AF于点H，连接BF，如图所示，在RtAFG，AF=2AD=12，FG=BE=6，根据勾股定理得：AG=6，在BDF和CDA，BDFCDA（SAS），ACD=BFD，AGBF，四边形EBFG是平行四边形，FG=BE=6，在BOD和CHD，BODCHD（AAS），OD=DH=3，CHFG，AHCAFG，=，即=，解得：AC=，故答案为：点评：本题考查了三角
18、形全等的判定和性质，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质以及勾股定理的应用，作辅助线构建直角三角形和平行四边形是解题的关键11（2015湖北省武汉市，第16题3分）如图，AOB30，点M、N分别在边OA、OB上，且OM1，ON3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MPPQQN的最小值是_【解析】作M关于ON对称点M1，点N关于OA的对称点N1，连接M1N1分别交OA、ON于Q，P，此时MP+PQ+NQ的值最小.由对称性质知，M1P=MP，N1Q=NQ，所以MP+PQ+NQ= M1N1.连接ON1、OM1，则M1OP=POM=N1OM=30，所以N1OM1=90.又ON1=ON=3，OM
19、1 =OM=1,所以M1N1=.【指点迷津】线段和的最小值问题，一般都是将几条线段转化为同一条线段长度，根据两点之间线段最短来说明.一般是通过做对称点转化到同一条线段上，根据勾股定理计算最小值.三.解答题1. （2015辽宁大连，24，11分）如图1，在ABC中，C=90，点D在AC上，且CDDA,DA=2.点P、Q同时从D点出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动。过点Q作AC的垂线段QR,使QR=PQ,联接PR.当点Q到达A时，点P、Q同时停止运动。设PQ=x.PQR和ABC重合部分的面积为S.S关于x的函数图像如图2所示（其中0x，xm时，函数的解析式不同）填空：n的值为_;求S关
20、于x的函数关系式，并写出x的取值范围。 图1 图2（第24题）【答案】(1)（2）当0x时，S=，当x4时，S=【解析】解：(1)如答图1当x=时，PQR和ABC重合部分的面积为S就是PQR的面积此时，S=，所以n=.答图1 答图2由图像可知，S的函数表达式有两种情况：当0x时，S=PQRQ=，如答图2Q点运动到A时，x=2AD=4，所以m=4.当x4时，S=由题意AP=2+，AQ=2,因为AQEAQ1R1,，所以QE=设FG=PG=m因为AGFAQ1R1,，所以AG=2+m，所以m=所以S=所以S=故答案为：当0x时，S=，当0)，若点P在射线OP上，满足OPOP=r2，则称点P是点P关于O
21、的“反演点”，如图2，O的半径为4，点B在O上，BOA=60，OA=8，若点A、B分别是点A，B关于O的反演点，求AB的长.【答案】解：O的半径为4，点A、B分别是点A，B关于O的反演点，点B在O上， OA=8，即.点B的反演点B与点B重合.如答图，设OA交O于点M，连接BM，OM=OB，BOA=60，OBM是等边三角形.，BMOM.在中，由勾股定理得.【考点】新定义；等边三角形的判定和性质；勾股定理. 【分析】先根据定义求出，再作辅助线：连接点B与OA和O的交点M，由已知BOA=60判定OBM是等边三角形，从而在中，由勾股定理求得AB的长.4. （2015浙江丽水，第19题6分）如图，已知A
22、BC，C=Rt，ACBC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等.（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若B=37，求CAD的度数.【答案】解：（1）作图如下：（2）ABC中，C=Rt，B=37，BAC=53.AD=BD，B=BAD=37CAD=BACBAD=16.【考点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角的关系；等腰三角形的性质.【分析】（1）因为到A，B两点的距离相等在线段AB的垂直平分线上，因此，点D是线段AB的垂直平分线与BC的交点，据此作图即可.（2）根据直角三角形两锐角互余，求出BAC，根据等腰三角形等边对等角的性质，求出BA
23、D，从而作差求得CAD的度数.5.（2015江苏徐州,第25题8分）如图，平面直角坐标系中，将含30的三角尺的直角顶点C落在第二象限其斜边两端点A、B分别落在x轴、y轴上，且AB=12cm（1）若OB=6cm求点C的坐标；若点A向右滑动的距离与点B向上滑动的距离相等，求滑动的距离；（2）点C与点O的距离的最大值=12 cm考点：相似形综合题.分析：（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，利用含30角的直角三角形的性质解答即可；设点A向右滑动的距离为x，得点B向上滑动的距离也为x，利用三角函数和勾股定理进行解答；（2）过C作CEx轴，CDy轴，垂足分别为E，D，证明ACE与BCD相似，再利用相似三角
24、形的性质解答解答：解：（1）过点C作y轴的垂线，垂足为D，如图1：在RtAOB中，AB=12，OB=6，则BC=6，BAO=30，ABO=60，又CBA=60，CBD=60，BCD=30，BD=3，CD=3，所以点C的坐标为（3，9）；设点A向右滑动的距离为x，根据题意得点B向上滑动的距离也为x，如图2：AO=12cosBAO=12cos30=6AO=6x，BO=6+x，AB=AB=12在AO B中，由勾股定理得，（6x）2+（6+x）2=122，解得：x=6（1），滑动的距离为6（1）；（2）设点C的坐标为（x，y），过C作CEx轴，CDy轴，垂足分别为E，D，如图3：则OE=x，OD=y，ACE+BCE=90，DCB+BCE=90，ACE=DCB，又AEC=BDC=90，ACEBCD，即，y=x，OC2=x2+y2=x2+（x）2=4x2，当|x|取最大值时，即C到y轴距离最大时，OC2有最大值，即OC取最大值，如图，即当CB旋转到与y轴垂直时此时OC=12，故答案为：12点评：此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的性质和勾股定理以及三角函数进行分析解答20