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1、第三讲等积变形1.等积模子等底等高的两个三角形面积相称；两个三角形高相称，面积比即是它们的底之比；两个三角形底相称，面积比即是它们的高之比；如图夹在一组平行线之间的等积变形，如图；反之，假如，那么可知直线平行于等底等高的两个平行四边形面积相称(长方形跟正方形能够看作特别的平行四边形)；三角形面积即是与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相称，面积比即是它们的底之比；两个平行四边形底相称，面积比即是它们的高之比2.鸟头定理两个三角形中有一个角相称或互补，这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比即是对应角(相称角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中，分不是上的点如图(或在的延伸线上
2、，在上)，那么3.蝶形定理恣意四边形中的比例关联(“蝶形定理)：或许蝶形定理为咱们供给理处置不规那么四边形的面积咨询题的一个道路经过结构模子，一方面能够使不规那么四边形的面积关联与四边形内的三角形相联络；另一方面，也能够失掉与面积对应的对角线的比例关联梯形中比例关联(“梯形蝶形定理)：；的对应份数为4.类似模子(一)金字塔模子(二)沙漏模子；所谓的类似三角形，确实是外形一样，巨细差别的三角形(只需其外形不改动，不管巨细怎么样改动它们都类似)，与类似三角形相干的常用的性子及定理如下：类似三角形的所有对应线段的长度成比例，同时那个比例即是它们的类似比；类似三角形的面积比即是它们类似比的平方；衔接三
3、角形双方中点的线段叫做三角形的中位线三角形中位线定理：三角形的中位线长即是它所对应的底边长的一半类似三角形模子，给咱们供给了三角形之间的边与面积关联相互转化的东西在小学奥数里，呈现最多的状况是因为两条平行线而呈现的类似三角形5.共边定理燕尾模子跟鹞子模子共边定理：假定直线AO跟BC订交于D有四种情况，那么有在三角形中，订交于统一点，那么上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手腕，因为跟的外形非常象燕子的尾巴，因而那个定理被称为燕尾定理该定理在很多几多何标题中都有着普遍的应用，它的特别性在于，它能够存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间供给相互联络的道路.1.了解三角形
4、的底、高与面积的关联，会经过火析以上关联解题。2.能在解题中发觉标题中所触及的几多何模子。例1：如图，正方形ABCD的边长为6，1.5，2长方形EFGH的面积为剖析：衔接DE，DF，那么长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍三角形DEF的面积即是正方形的面积减去三个三角形的面积，,因而长方形EFGH面积为33例2：长方形的面积为36，、为各边中点，为边上恣意一点，咨询暗影局部面积是几多？剖析：解法一：寻寻可应用的前提，衔接、，如以下列图：可得：、，而即；而，因而暗影局部的面积是：解法二：特别点法寻的特别点，把点与点重合，那么图形就可酿成右图：如此暗影局部的面积确实是的面积，依照鸟头定理，
5、那么有：例3：如以下列图，长方形内的暗影局部的面积之跟为70，四边形的面积为剖析：应用图形中的包括关联能够先求出三角形、跟四边形的面积之跟，以及三角形跟的面积之跟，进而求出四边形的面积因为长方形的面积为，因而三角形的面积为，因而三角形跟的面积之跟为；又三角形、跟四边形的面积之跟为，因而四边形的面积为另解：从全体下去看，四边形的面积三角形面积三角形面积白色局部的面积，而三角形面积三角形面积为长方形面积的一半，即60，白色局部的面积即是长方形面积减去暗影局部的面积，即，因而四边形的面积为例4：曾经明白为等边三角形，面积为400，、分不为三边的中点，曾经明白甲、乙、丙面积跟为143，求暗影五边形的面
6、积(丙是三角形)剖析：因为、分不为三边的中点，因而、是三角形的中位线，也就与对应的边平行，依照面积比例模子，三角形跟三角形的面积都即是三角形的一半，即为200依照图形的容斥关联，有，即，因而又，因而例5：如图，曾经明白，线段将图形分红两局部，左边局部面积是38，左边局部面积是65，那么三角形的面积是剖析：衔接，依照题意可知，；因而，因而：；可得故三角形的面积是40例6：如图在中，分不是上的点，且，平方厘米，求的面积剖析：衔接，因而，设份，那么份，平方厘米，因而份是平方厘米，份确实是平方厘米，的面积是平方厘米由此咱们失掉一个主要的定理，共角定理：共角三角形的面积比即是对应角(相称角或互补角)两夹
7、边的乘积之比例7：如图在中，在的延伸线上，在上，且，平方厘米，求的面积剖析：衔接，因而，设份，那么份，平方厘米，因而份是平方厘米，份确实是平方厘米，的面积是平方厘米由此咱们失掉一个主要的定理，共角定理：共角三角形的面积比即是对应角(相称角或互补角)两夹边的乘积之比例8：如图，平行四边形，平行四边形的面积是，求平行四边形与四边形的面积比剖析：衔接、依照共角定理在跟中，与互补，又，因而同理可得，因而因而例9：如以下列图的四边形的面积即是几多？剖析：标题中请求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以应用公式直截了当求面积.咱们能够应用扭转的办法对图形施行变更：把三角形绕极点逆时针扭转，使长为的两条边重
8、合，如今三角形将扭转到三角形的地位.如此，经过扭转后所失掉的新图形是一个边长为的正方形，且那个正方形的面积确实是本来四边形的面积.因而，本来四边形的面积为.(也能够用勾股定理)例10：如以下列图，中，认为一边向外作正方形，核心为，求的面积剖析：如图，将沿着点顺时针扭转，抵达的地位因为，因而而，因而，那么、三点在一条直线上因为，因而是等腰直角三角形，且歪边为，因而它的面积为依照面积比例模子，的面积为A1.如以下列图，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几多厘米？_A_B_G_C_E_F_D_A_B_G_C_E_F_D谜底；此题要紧是让先生会应用等底等高的两个平行四边形面积相称(
9、长方形跟正方形能够看作特别的平行四边形)三角形面积即是与它等底等高的平行四边形面积的一半证实：衔接(咱们经过把这两个长方形跟正方形联络在一同)在正方形中，边上的高，(三角形面积即是与它等底等高的平行四边形面积的一半)同理，正方形与长方形面积相称长方形的宽(厘米)2.在边长为6厘米的正方形内任取一点，将正方形的一组对边二平分，另一组对边三平分，分不与点衔接,求暗影局部面积谜底；法1特别点法由因而正方形外部恣意一点，可采纳特别点法，假定点与点重合，那么暗影局部变为如上中图所示，图中的两个暗影三角形的面积分不占正方形面积的跟，因而暗影局部的面积为平方厘米法2衔接、因为与的面积之跟即是正方形面积的一半
10、，因而上、下两个暗影三角形的面积之跟即是正方形面积的，同理可知左、右两个暗影三角形的面积之跟即是正方形面积的，因而暗影局部的面积为平方厘米3.如图，长方形的面积是36，是的三平分点，那么暗影局部的面积为谜底；如图，衔接依照蝶形定理，因而；，因而又，因而暗影局部面积为：4.如图，三角形中，是的5倍，是的3倍，假如三角形的面积即是1，那么三角形的面积是几多？谜底；衔接又，5.如图，三角形ABC被分红了甲(暗影局部)、乙两局部，乙局部面积是甲局部面积的几多倍？谜底；衔接，又，B6.如图，以正方形的边为歪边在正方形内作直角三角形，、交于曾经明白、的长分不为、，求三角形的面积谜底；如图，衔接，以点为核心
11、，将顺时针扭转到的地位那么，而也是，因而四边形是直角梯形，且，因而梯形的面积为：()又因为是直角三角形，依照勾股定理，因而()那么()，因而()7.如以下列图，六边形中，且有平行于，平行于，平行于，对角线垂直于，曾经明白厘米，厘米，请咨询六边形的面积是几多平方厘米？谜底；如图，咱们将平移使得与重合，将平移使得与重合，如此、都重合到图中的了如此就构成了一个长方形，它的面积与原六边形的面积相称，显然长方形的面积为平方厘米，因而六边形的面积为平方厘米8.如图，三角形的面积是，是的中点，点在上，且，与交于点那么四边形的面积即是谜底；办法一：衔接，依照燕尾定理，,设份，那么份，份，份，如图所标因而办法二
12、：衔接，由标题前提可失掉，因而，而因而那么四边形的面积即是9.如图，长方形的面积是平方厘米，是的中点暗影局部的面积是几多平方厘米?谜底；设份，那么依照燕尾定理其余面积如以下列图平方厘米.10.四边形的对角线与交于点(如以下列图)假如三角形的面积即是三角形的面积的，且，那么的长度是的长度的_倍谜底；在此题中，四边形为恣意四边形，关于这种不良四边形，无外乎两种处置办法：应用曾经明白前提，向已有模子聚拢，从而疾速处置；经过画辅佐线来改革不良四边形看到标题中给出前提，这能够向模子一蝶形定理聚拢，因而得出一种解法又不雅看标题中给出的曾经明白前提是面积的关联，转化为边的关联，能够失掉第二种解法，然而第二种
13、解法需求一此中介来改革那个不良四边形，因而能够作垂直于，垂直于，面积比转化为高之比再应用论断：三角形高一样，那么面积之比即是底边之比，得出后果请教师留意比拟两种解法，使先生领会到蝶形定理的上风，从而客不雅上情愿控制并应用蝶形定理处置咨询题解法一：，解法二：作于，于，C11.如图，平行四边形的对角线交于点，、的面积顺次是2、4、4跟6求：求的面积；求的面积谜底；依照题意可知，的面积为，那么跟的面积基本上，因而的面积为；因为的面积为8，的面积为6，因而的面积为，依照蝶形定理，因而，那么12.如图，长方形中，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积谜底；衔接，因为，因而因为，因而平方厘米，因而平方厘米
14、因为，因而长方形的面积是平方厘米13.如图，正方形面积为平方厘米，是边上的中点求图中暗影局部的面积谜底；因为是边上的中点，因而，依照梯形蝶形定理能够明白，设份，那么份，因而正方形的面积为份，份，因而，因而平方厘米14.在以下列图的正方形中，是边的中点，与订交于点，三角形的面积为1平方厘米，那么正方形面积是平方厘米谜底；衔接，依照题意可知，依照蝶形定理得(平方厘米)，(平方厘米)，那么(平方厘米)15.曾经明白是平行四边形，三角形的面积为6平方厘米那么暗影局部的面积是平方厘米谜底；衔接由因而平行四边形，因而，依照梯形蝶形定理，因而(平方厘米)，(平方厘米)，(平方厘米)，暗影局部面积为(平方厘米
15、)1.右图中是梯形，是平行四边形，曾经明白三角形面积如以下列图(单元：平方厘米)，暗影局部的面积是平方厘米谜底：衔接因为与是平行的，因而也是梯形，那么依照蝶形定理，故，因而(平方厘米)2.右图中是梯形，是平行四边形，曾经明白三角形面积如以下列图(单元：平方厘米)，暗影局部的面积是平方厘米谜底：衔接因为与是平行的，因而也是梯形，那么依照蝶形定理，故，因而(平方厘米)另解：在平行四边形中，(平方厘米)，因而(平方厘米)，依照蝶形定理，暗影局部的面积为(平方厘米)3.如图，长方形被、分红四块，曾经明白此中3块的面积分不为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形的面积为_平方厘米谜底：衔接、四边形为梯形，
16、因而，又依照蝶形定理，因而，因而(平方厘米)，(平方厘米)那么长方形的面积为平方厘米，四边形的面积为(平方厘米)4.如图，是等腰直角三角形，是正方形，线段与订交于点曾经明白正方形的面积48，那么的面积是几多？谜底：由因而正方形，因而与平行，那么四边形是梯形在梯形中，跟的面积是相称的而，因而的面积是面积的，那么的面积也是面积的由因而等腰直角三角形，假如过作的垂线，为垂足，那么是的中点，并且，可见跟的面积都即是正方形面积的一半，因而的面积与正方形的面积相称，为48那么的面积为5.以下列图中，四边形基本上边长为1的正方形，、分不是，的中点，假如左图中暗影局部与右图中暗影局部的面积之比是最简分数，那么
17、，的值即是谜底：左、右两个图中的暗影局部基本上不规那么图形，不便利直截了当求面积，不雅看发觉两个图中的空缺局部面积都比拟好求，因而能够先求出空缺局部的面积，再求暗影局部的面积如以下列图所示，在左图中衔接设与的交点为左图中为长方形，可知的面积为长方形面积的，因而三角形的面积为又左图中四个空缺三角形的面积是相称的，因而左图中暗影局部的面积为如上图所示，在右图中衔接、设、的交点为可知且那么三角形的面积为三角形面积的，因而三角形的面积为，梯形的面积为在梯形中，因为，依照梯形蝶形定理，其四局部的面积比为：，因而三角形的面积为，那么四边形的面积为而右图中四个空缺四边形的面积是相称的，因而右图中暗影局部的面
18、积为那么左图中暗影局部面积与右图中暗影局部面积之比为，即，那么1.用三种差别的办法，把恣意一个三角形分红四个面积相称的三角形谜底：办法1：如图，将BC边四平分BD=DE=EF=FC=BC,贯穿连接AD、AE、AF，那么ABD、ADE、AEF、AFC等积。办法2：如图，先将BC二平分，分点D、贯穿连接AD，失掉两个等积三角形，即ABD与ADC等积而后取AC、AB中点E、F，并贯穿连接DE、DF以而失掉四个等积三角形，即ADF、BDF、DCE、ADE等积办法3：如图，先将BC四平分，即BD=BC，贯穿连接AD，再将AD三平分，即AE=EF=FD=AD，贯穿连接CE、CF，从而失掉四个品级的三角形，
19、即ABD、CDF、CEF、ACE等积。2.用三种差别的办法将恣意一个三角形分红三个小三角形，使它们的面积比为及134谜底：办法1：如图，将BC边八平分，取134的分点D、E，贯穿连接AD、AE，从而失掉ABD、ADE、AEC的面积比为134办法2：如图，先取BC的中点D，再取AB的四平分点E，贯穿连接AD、DE，从而失掉三个三角形：ADE、BDE、ACD其面积比为134办法3：如图，先取AB的中点D，贯穿连接CD，再取CD的四平分点E，贯穿连接AE，从而失掉三个三角形：ACE、ADE、BCD其面积比为1343.如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点O，求证：AOB与COD面积相称
20、谜底：证实：ABC与DBC等底等高，SABC=SDBC又SAOB=SABCSBOCSDOC=SDBCSBOCSAOB=SCOD4.如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形谜底：此题有两点请求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相称咱们能够应用三角形等积变形的办法，如右图，把极点A移到CB的延伸线上的A处，ABD与ABD面积相称，从而ADC面积与原四边形ABCD面积也相称如此就把四边形ABCD等积地改成了三角形ADC咨询题是A地位的选择是依照三角形等积变形原那么过A作一条跟DB平行的直线与CB的延伸线交于A点解：贯穿连接BD；过A作BD的平行线，与CB的延伸线交于A贯
21、穿连接AD，那么ACD与四边形ABCD等积5.如右图，曾经明白在ABC中，BE=3AE，CD=2AD假定ADE的面积为1平方厘米求三角形ABC的面积谜底：解法1：贯穿连接BD，在ABD中BE=3AE，SABD=4SADE=4平方厘米在ABC中，CD=2AD，SABC=3SABD=34=12平方厘米解法2：贯穿连接CE，如右图所示，在ACE中，CD=2AD，SACE=3SADE=3平方厘米在ABC中，BE=3AESABC=4SACE=43=12平方厘米6.如下页图，在ABC中，BD=2AD，AG=2CG，BE=EF=FC=BC，求暗影局部面积占三角形ABC面积的几多分之几多？谜底：贯穿连接BG，
22、在ABG中，SADG+SBDE+SCFG7.如右图，ABCD为平行四边形，EF平行AC，假如ADE的面积为4平方厘米求三角形CDF的面积谜底：贯穿连接AF、CE，SADE=SACE；SCDF=SACF；又AC与EF平行，SACE=SACF；SADE=SCDF=4平方厘米8.如右图，四边形ABCD面积为1，且AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD=DH求四边形EFGH的面积谜底：贯穿连接BD，将四边形ABCD分红两个局部S1与S2贯穿连接FD，有SFBD=SDBC=S1因而SCGF=SDFC=2S1同理SAEH=2S2，因而SAEH+SCGF=2S1+2S2=2S1+S2=21=2同理，贯穿连接AC之后，可求出SHGD+SEBF=2因而四边形EFGH的面积为2+2+1=5平地契元9.如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延伸线于F，假定SADE=1，求BEF的面积谜底：贯穿连接AC，AB/CD，SADE=SACE又AD/BC，SACF=SABF而SACF=SACE+SAEF=SABF=SBEF+SAEFSACE=SBEFSBEF=SADE=1