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1、江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三数学第一次联考试题 理 时间：120分钟 总分：150分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合，则( )A. B. C. D. 2. 已知为虚数单位，复数，则复数在复平面上的对应点位于( )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3. 等差数列中，则的值为( )A. B. C. D. 4.的展开式中的系数为( )A. B. C. D. 5. 攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式宋代称为撮尖，清代称攒尖依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角
2、攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑如图所示，某园林建筑为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，且，则侧棱与底面外接圆半径的比为( ) A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，且，则( )A. B. C. D. 7已知直线和函数的图象相交，为两个相邻的交点，若，则( )A. 2 B. 2或6 C. 3或5 D. 3 8. 执行如图所示的程序框图，设所有输出数据构成的集合为，若从集合中任取一个元素，则满足函数在区间内单调递增的概率为( )A. B. C. D. 9. 已知A、B、C、D四点都在表面积为
3、100的球O的表面上，若BC4，BAC120，则球O内接三棱锥ABCD的体积的最大值为( ) A. B. C. D. 10. 已知圆C：，过点P(8，0)的动直线与圆C相交于A，B两点，线段AB的中点为M，则M的轨迹的长度为( )A. 8 B. C. D. 11. 下列大小关系正确的是( ) A. B. C. D. 12. 已知定义在上的函数是奇函数，当时，则不等式的解集为( )A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.若,则的最大值是_. 14. 向量，满足，与的夹角为，则 _.15. 已知双曲线，点是直线上任意一点，若圆与双曲线的右支没有公共点，则双曲线
4、的离心率取值范围为_.16定义：若数列满足，则称该数列为函数的“切线零点数列”.已知函数有两个零点，数列为函数的“切线零点数列”，设数列满足，数列的前项和为，则=_.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本小题满分12分）已知函数.（1）当时，求出函数的最大值，并写出对应的的值；（2）的内角的对边分别为，若，求的最小值.18（本小题满分12分）已知，如图四棱锥中， 为平行四边形， ， 分别是中点，点在棱上.（1）证明：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，
5、求直线与平面所成角的正弦值.19(本小题满分12分) 面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此吉安市在吉州区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送20分，当诚信积分为0时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以1元购1个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：租用时间不超过1小时，免费；
6、租用时间为1小时以上且不超过2小时，扣1分；租用时间为2小时以上且不超过3小时，扣2分；租用时间为3小时以上且不超过4小时，扣3分；租车时间超过4小时除扣3分外，超出时间按每小时扣2分收费（不足1小时的部分按1小时计算）甲、乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过4小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是0.4，0.3；租用时间为1小时以上且不超过2小时的概率分别是0.4，0.5；租用时间为2小时以上且不超过3小时的概率分别是0.1，0.1（1）求甲比乙所扣积分多的概率；（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列和数学期望 20. （本小题满分12分）已知
7、椭圆经过点，且离心率.（1）求椭圆的方程；（2）已知斜率存在的直线与椭圆相交于两点，点总满足，证明：直线过定点.21.（本小题满分12分）已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）已知函数，(其中是的导函数)，若函数有两个极值点，且，求的取值范围.（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点在直线上，点在曲线上，求的最小值.
8、23.选修45：不等式选讲 （本小题满分10分）已知函数的最小值为.（1）求；（2）若正实数，满足，求：的最小值.江西省吉安市“省重点中学五校协作体”2021届高三第一次联考数学理科试卷（答案）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. D 2. D 3. A 4. A 5. A 6. C 7B 8. B 9. C 10. B 11. D 12. D12.D因为函数是定义在上的奇函数，所以函数的图像关于点（2,3）中心对称，且，当时，则，当且仅当时取等号，故，函数在上单调递增，因为函数的图像关于点（2,3）中心对称，所以函数在上单
9、调递增，不等式可化为或，即，解得x2，即，解得，故不等式的解集为二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13. -1 14. 15. 16 16.有两个零点1，2，.由题意得，.又，数列是首项为3，公比为2的等比数列，.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17（本小题满分12分）解：（1）函数，3分，所以，当时，即当 时，函数取最大值；6分（2）由题意，化简得，解得.8分在中，根据余弦定理，得.由时，取最小值为2.12分18（本小题满分12分）解：（
10、1）证明：，又， 为等边三角形，又为中点，又,，.4分（2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，设,，则.5分设平面即平面的法向量为，,由，可取设平面的法向量为，,由，,可取.7分，解得.9分，设与平面所成角为，则.12分19(本小题满分12分) 解：（1）根据题意，分别记“甲扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，它们彼此互斥，且，分别记“乙扣分为0分、1分、2分、3分”为事件，它们彼此互斥，且，由题知，事件与事件相互独立，记甲比乙所扣积分多为事件，则，所以6分（2）根据题的可能取值为：0，1，2，3，4，5，6，则，；9分所以的分布列为：01234560.120.320.270
11、.160.10.020.01的数学期望12分20. （本小题满分12分）解：（1）椭圆C：的离心率.所以又椭圆经过点，代入椭圆方程可得，2分联立方程组可得，解得.4分所以椭圆C的方程为 5分（2）设直线的方程为联立方程组消去得即，7分因为，所以9分即得10分化简得，直线的方程为所以，直线12分另解：当的斜率为0时，满足.当的斜率不为0时，不妨设直线的方程为,联立方程组消去得所以，7分因为，所以所以9分又，所以可得即10分得. 所以，直线的方程为综上可知，直线12分21.（本小题满分12分）解：（1）的定义域为，而，2分令当； 当单调递增；当综上述：当上单调递增，在上单调递减。5分（2），则的定义域为，若有两个极值点，且则方程的判别式，且，得，且.7分所以8分设，则在上恒成立，故在单调递减，从而，所以的取值范围是.12分（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修4 4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）解：（1）直线的普通方程为曲线的极坐标方程化为直角坐标方程为5分（2）设点的坐标为故的最小值为.10分23选修45：不等式选讲 （本小题满分10分）解：（1）.2分时，；时，；时， 综上得，.5分(2)由（1）知，(也可由柯西不等式直接得出) .7分.8分当且仅当，取值最小的最小值为3. .10分6