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1、坐标系考点一伸缩变换1.曲线C:x2+y2=1经过伸缩变换得到曲线C,求曲线C的方程.2.曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2+y2=1,求曲线C的方程.3.将圆x2+y2=1变换为椭圆+=1的一个伸缩变换公式:(,0),求和的值.【解析】1.因为所以代入曲线C的方程得C:+y2=1.2.根据题意,曲线C经过伸缩变换后所得曲线的方程为x2+y2=1,那么(2x)2+(3y)2=1,即4x2+9y2=1,所以曲线C的方程为4x2+9y2=1.3.将变换后的椭圆+=1改写为+=1,把伸缩变换公式:(,0)代入上式,得+=1,即x2+y2=1,与x2+y2=1比拟系数,得所以1.应用伸缩变换时,
2、要分清变换前的点的坐标(x,y)与变换后的坐标(x,y).2.平面上的曲线y=f(x)在变换:的作用下得到的方程的求法是将代入y=f(x),得=f,整理之后得到y=h(x),即为变换之后的方程.考点二极坐标与直角坐标的互化【典例】(2022乌鲁木齐模拟)曲线C1的方程为(x-1)2+y2=1,C2的方程为x+y=3,C3是一条经过原点且斜率大于0的直线.(1)以直角坐标系原点O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,求C1与C2的极坐标方程.(2)假设C1与C3的一个公共点为A(异于点O),C2与C3的一个公共点为B,当|OA|+=时,求C3的直角坐标方程.【解析】(1)曲线C1的方程为(x-1
3、)2+y2=1,整理得x2+y2-2x=0,转换为极坐标方程为=2cos.曲线C2的方程为x+y=3,转换为极坐标方程为cos+sin-3=0,(2)设曲线C3是一条经过原点且斜率大于0的直线,那么极坐标方程为=,由于C1与C3的一个公共点A(异于点O),故,所以|OA|=2cos,C2与C3的一个公共点为B,所以所以|OB|=.由于|OA|+=,所以2cos+cos+sin=,即3cos+sin=sin(+)=,当sin=,cos=时,tan =,故曲线C3的直角坐标方程为y=x.1.极坐标与直角坐标的互化依据是x=cos ,y=sin .2.互化时要注意前后的等价性.在极坐标系下,圆O:=
4、cos +sin 和直线l:sin-=(0,00)相切,求r的值.【解析】直线cos =1转化为x-y-2=0,曲线=r(r0)转化为x2+y2=r2,由于直线和圆相切,那么圆心到直线的距离d=1=r.距离问题【典例】(2022江苏高考)在极坐标系中,两点A,B,直线l的方程为sin=3. (1)求A,B两点间的距离.(2)求点B到直线l的距离.【解析】(1)设极点为O.在OAB中,A,B,由余弦定理,得AB=.(2)因为直线l的方程为sin=3,那么直线l过点,倾斜角为.又B,所以点B到直线l的距离为(3-)sin=2.取值范围问题【典例】(2022黄冈模拟)在平面直角坐标系xOy中,以坐标
5、原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1的极坐标方程为cos=2.点Q为曲线C1上的动点,点P在线段OQ上,且满足|OQ|OP|=4,动点P的轨迹为C2.(1)求C2的直角坐标方程.(2)设点A的极坐标为,点B在曲线C2上,求AOB面积的最大值.【解析】(1)设P的极坐标为(,)(0),Q的极坐标为(1,)(10),由题意知|OP|=,|OQ|=1=.由|OQ|OP|=4得C2的极坐标方程为=2cos(0),化简得=cos +sin ,因此C2的直角坐标方程为+=1,但不包括点(0,0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题意知,|OA|=2,B=2cos,于是AOB的面积S=|OA|BsinAOB=2cos=2.当=0时,S取得最大值.所以AOB面积的最大值为. - 5 -