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1、立体几何中的向量方法课时作业1直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，那么有()Al BlCl与斜交 Dl或l答案B解析因为a(1，3,5)，n(1,3，5)，所以an，an.所以l平面.选B.2两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，那么两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D90答案C解析cosm，n，m，n45.二面角为45或135.应选C.3(2022邯郸模拟)如下图，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是上底面A1B1C1D1和侧面ADD1A1的中心，那么EF和CD所成的角是()A60 B45C30 D135答案B解析
2、以D为原点，分别以射线DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴的非负半轴建立如下图的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，那么D(0,0,0)，C(0,1,0)，E，F，(0,1,0)，cos，135，异面直线EF和CD所成的角是45.应选B.4(2022辽宁沈阳和平区模拟)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB14，那么直线BB1与平面ACD1所成角的正弦值为()A.B.C.D.答案A解析如下图，建立空间直角坐标系Dxyz.那么A(2,0,0)，C(0,2,0)，D1(0,0,4)，B(2,2,0)，B1(2,2,4)，(2,2，0)，(2,0,4)，(0,0,4)设平面
3、ACD1的法向量为n(x，y，z)，那么即取x2，那么y2，z1，故n(2,2,1)是平面ACD1的一个法向量，设直线BB1与平面ACD1所成的角是，那么sin|cosn，|.应选A.5ABC的顶点分别为A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，那么AC边上的高BD等于()A5 B. C4 D2答案A解析A(1，1,2)，B(5，6,2)，C(1,3，1)，(4，5,0)，(0,4，3)点D在直线AC上，设(0,4，3)，由此可得(0,4，3)(4，5,0)(4,45，3)又，40(45)4(3)(3)0，解得.因此(4,45，3).可得|5.6(2022安徽六安一中质检)如图，在
4、直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，2ACAA1BC2.假设二面角B1DCC1的大小为60，那么AD的长为()A. B.C2 D.答案A解析分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，那么C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)，C1(0,0,2)，设ADa，那么点D坐标为(1,0，a)，(1,0，a)，(0,2,2)，设平面B1CD的一个法向量为n(x，y，z)，那么得令z1，得n(a,1，1)，又平面C1DC的一个法向量为m(0，1,0)所以cos60，得，解得a，应选A.7设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，那么点D1到平面A1BD的距
5、离是()A. B. C. D.答案D解析如图建立空间直角坐标系，那么D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0，0,0)，B(2,2,0)，(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)设平面A1BD的法向量为n(x，y，z)，那么令x1，那么n(1，1，1)，点D1到平面A1BD的距离d.8梯形CEPD如下图，其中PD8，CE6，A为线段PD的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB进行折叠，使得平面PABE平面ABCD，得到如下图的几何体当点F满足A(00.依题意，(1,0,0)是平面ADE的一个法向量，又(0,2，h)，可得0，又因为直线BF平面ADE，所以BF平面ADE.(2)依题意
6、，D(0,1,0)，E(0,0,2)，C(1,2,0)，那么(1,1,0)，(1,0,2)，(1，2,2)设n(x，y，z)为平面BDE的法向量，那么即不妨令z1，可得n(2,2,1)因此有cos，n.所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为.(3)设m(x1，y1，z1)为平面BDF的法向量，那么即不妨令y11，可得m.由题意，有|cosm，n|，解得h.经检验，符合题意所以，线段CF的长为.17(2022北京高考)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ADCD，ADBC，PAADCD2，BC3.E为PD的中点，点F在PC上，且.(1)求证：CD平面PAD；(2)求二面角FAEP的
7、余弦值；(3)设点G在PB上，且.判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由解(1)证明：因为PA平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD.又因为ADCD，PAADA，所以CD平面PAD.(2)过点A作AD的垂线交BC于点M.因为PA平面ABCD，所以PAAM，PAAD.建立如下图的空间直角坐标系Axyz，那么A(0,0,0)，B(2，1,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)因为E为PD的中点，所以E(0,1,1)所以(0,1,1)，(2,2，2)，(0,0,2)所以，所以.设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，那么即令z1，那么y1，x1.于是n(1，1,1)又因为
8、平面PAD的一个法向量为p(1,0,0)，所以cosn，p.由题知二面角FAEP为锐角，所以其余弦值为.(3)直线AG在平面AEF内理由：因为点G在PB上，且，(2，1，2)，所以，所以.由(2)知，平面AEF的一个法向量n(1，1,1)，所以n0.所以直线AG在平面AEF内18.(2022厦门模拟)如图，在四棱锥PABCD中，平面ABCD平面PAD，ADBC，ABBCAPAD，ADP30，BAD90，E是PD的中点(1)证明：PDPB；(2)设AD2，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，求二面角MABP的余弦值解(1)证明：BAD90，BAAD，平面ABCD平面PAD，交线
9、为AD，BA平面PAD，又PD平面PAD，BAPD，在PAD中，sinAPD1，APD90，APPD，BAAPA，PD平面PAB，PB平面PAB，PDPB.(2)如图，以P为坐标原点，过点P垂直于平面PAD的射线为z轴，射线PD为x轴，射线PA为y轴，建立空间直角坐标系，AD2，ABBCAP1，PD，P(0,0,0)，A(0,1,0)，B(0,1,1)，C，E，设(01)，那么，M，又，点M在线段PC上且异面直线BM与CE所成角的余弦值为，|cos，|，整理，得9236200，解得或(舍去)，M，设平面MAB的法向量m(x，y，z)，那么取x2，得m(2，0)，由(1)知PD平面PAB，平面PAB的一个法向量为n(1,0,0)，cosm，n.二面角MABP的余弦值为.