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1、2024版新教材高考数学一轮复习第7章立体几何第6节立体几何中的向量方法_证明平行与垂直学案含解析新人教B版202305182184第6节立体几何中的向量方法证明平行与垂直一、教材概念结论性质重现1直线的方向向量与平面的法向量直线的方向向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量，记作0l平面的法向量如果是空间中的一个平面，n是空间中的一个非零向量，且表示n的有向线段所在的直线与平面垂直，则称n为平面的一个法向量，记作n(1)若l是空间一条直线，A，B是l上任意两点，则及与平行的非零向量均为直线l的方向
2、向量(2)设a，b是平面内两个不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为mlnmmn0lnmnm平面，的法向量分别为n，mnmnmnmnm0用向量知识证明立体几何问题，仍然离不开立体几何中的定理如要证明线面平行，只需要证明平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，即化归为证明线线平行，用向量方法证明直线ab，只需证明向量ab(R)即可若用直线的方向向量与平面的法向量垂直来证明线面平行，仍需强调直线在平面外二、基本技能思想活动
3、体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)直线的方向向量是唯一确定的( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行( )(5)若ab，则a所在直线与b所在直线平行( )(6)若空间向量a平行于平面，则a所在直线与平面平行( )2若直线l的方向向量a(1，3,5)，平面的法向量n(1,3，5)，则有()AlBlCl与斜交Dl或lB解析：由an知，na，则有l.故选B.3平面的一个法向量为(1,2，2)，平面的一个法向量为(2，4，k)若，则k等于()A2 B4 C4 D2C解析：因为，所以两平
4、面的法向量平行，所以，所以k4.4若平面，垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是()An1(1,2,1)，n2(3,1,1)Bn1(1,1,2)，n2(2,1,1)Cn1(1,1,1)，n2(1,2,1)Dn1(1,2,1)，n2(0，2，2)A解析：两个平面垂直时其法向量也垂直，只有选项A中的两个向量垂直5两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1(1,0，1)，v2(2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_平行解析：因为v22v1，所以v1v2.又l1与l2不重合，所以l1l2.考点1利用空间向量证明平行问题基础性1如图，平面PAD平面ABCD，四边形ABCD为正方形，PAD是直角三
5、角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点，则平面EFG与平面PBC的位置关系是()A相交B平行C垂直D不能确定B解析：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PAAD，且四边形ABCD为正方形，所以AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，E(0,0,1)，F(0,1,1)，G(1,2,0)因为(0,1,0)，(0,2,0)，所以2，所以BCEF.又因为EF平面PBC，BC平面PBC，所以EF平面PBC，同理可证GFPC，从而得出
6、GF平面PBC.又EFGFF，EF平面EFG，FG平面EFG，所以平面EFG平面PBC.2如图，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，PC2，在四边形ABCD中，ABCBCD90，AB4，CD1，点M在PB上，PB4PM，PB与平面ABCD成30角求证：CM平面PAD.证明：由题意知，CB，CD，CP两两垂直，以C为坐标原点，CB所在直线为x轴，CD所在直线为y轴，CP所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.因为PC平面ABCD，所以PBC为PB与平面ABCD所成的角，所以PBC30.因为PC2，所以BC2，PB4，所以D(0,1,0)，B(2，0,0)，A(2，4,0)，P(0
7、,0,2)，M，所以(0，1,2)，(2，3,0)，.设n(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，由得取y2，得x，z1，所以n(，2,1)是平面PAD的一个法向量因为n2010，所以n.又CM平面PAD，所以CM平面PAD.利用空间向量证明线面、面面平行的方法(1)证明线面平行的常用方法：证明直线的方向向量与平面内的两个不共线的向量共面；证明直线的方向向量与平面内的一个向量平行；证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(2)证明面面平行常用的方法：利用上述方法证明平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行；证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量考点2利用空间向量证明垂
8、直问题综合性如图，在三棱锥PABC中，ABAC，D为BC的中点，PO平面ABC，垂足O落在线段AD上已知BC8，PO4，AO3，OD2.(1)证明：APBC；(2)若点M是线段AP上一点，且AM3.试证明平面AMC平面BMC.证明：(1)如图所示，以O为坐标原点，分别以射线OD，OP为y轴、z轴的正半轴建立空间直角坐标系Oxyz.则O(0,0,0)，A(0，3,0)，B(4,2,0)，C(4，2,0)，P(0,0,4)，所以(0,3,4)，(8,0,0)，所以(0,3,4)(8,0,0)0，所以，即APBC.(2)由(1)知|5，又|3，且点M在线段AP上，所以.又(4，5,0)，所以，则(0
9、,3,4)0，所以，即APBM.由(1)知APBC，且BCBMB，所以AP平面BMC，于是AM平面BMC.又AM平面AMC，故平面AMC平面BMC.利用空间向量证明线面、面面垂直的方法(1)证明线面垂直的常见思路：将线面垂直的判定定理用向量表示；证明直线的方向向量与平面的法向量共线(2)证明面面垂直的常见思路：利用面面垂直的判定定理，证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量；证明两平面的法向量互相垂直1如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM所成的角为_90解析：以A为原点，分别以AB，AD，A
10、A1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(图略)设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M，O，N，O0，所以ON与AM所成的角为90.2如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)AECD；(2)PD平面ABE.证明：以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.设PAABBC1，则P(0,0,1)(1)因为ABC60，所以ABC为正三角形所以C，E.设D(0，y,0)，由ACCD，得0，即y，则D，所以.又，所以0，所以，即AECD.(2)(方法一)由(1)
11、知，D，P(0，0,1)，所以.又(1)0，所以，即PDAE.因为(1,0,0)，所以0.所以PDAB.又ABAEA，AB，AE平面AEB，所以PD平面AEB.(方法二)由(1)知，(1,0,0)，设平面ABE的一个法向量为n(x，y，z)，则令y2，则z，所以n(0,2，)为平面ABE的一个法向量因为，显然n.因为n，所以平面ABE，即PD平面ABE.考点3利用空间向量解决与平行、垂直有关的综合问题应用性考向1存在性问题如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点(1)求证：ACSD；(2)若SD平面PAC，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PA
12、C.若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由(1)证明：连接BD，设AC交BD于点O，则ACBD.由题意知SO平面ABCD.以O为坐标原点，OB，OC，OS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系设底面边长为a，则高SOa，所以S，D，B，C，所以，则0.故OCSD.所以ACSD.(2)解：棱SC上存在一点E使得BE平面PAC，此时SEEC21.理由如下：由已知条件知是平面PAC的一个法向量，且，.设t(0t1)，则t，又0，所以aa0，所以t.即当SEEC21时，.而BE平面PAC，故BE平面PAC.“是否存在”型问题的两种探索方式(1)根据条件做出判断，再进一步论证(
13、2)利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”考向2折叠问题如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把DFC折起，使点C到达点P的位置，且PFBF.(1)证明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值(1)证明：由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解：如图，作PHEF，垂足为H.由(1)得，PH平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，|为单位长度
14、，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE.又PF1，EF2，所以EF2PE2PF2，所以PEPF.所以PH，EH.则H(0,0,0)，P，D，.又为平面ABFD的一个法向量，设DP与平面ABFD所成的角为，则sin |cos，|.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.解决折叠问题的关键是弄清折叠前后的不变量如图1，在RtABC中，C90，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.(1)若M是A1D的中点，求直线CM与平面A1BE所成角的大小；(2)线段BC上是否
15、存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由解：(1)由折叠的性质得CDDE，A1DDE.又CDA1DD，所以DE平面A1CD.又因为A1C平面A1CD，所以A1CDE.又A1CCD，CDDED，所以A1C平面BCDE.建系如图，则C(0,0,0)，D(2,0,0)，A1(0，0,2)，E(2,2,0)，B(0,3,0)，所以(0,3，2)，(2,2，2)设平面A1BE的一个法向量为n(x，y，z)，则所以取z，则x1，y2，所以n(1,2，)为平面A1BE的一个法向量又因为M(1,0，)，所以(1,0，)，所以cos，n.所以CM与平面A1BE所成角的大小为45.(2)假设线段BC上
16、存在点P满足条件，设P点坐标为(0，a,0)，a0,3，所以(0，a，2)，(2，a,0)设平面A1DP的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则取y16，则x13a，z1a，所以n1(3a,6，a)若平面A1DP与平面A1BE垂直，则n1n0，所以3a123a0，即6a12，所以a2.因为0a3，所以a2舍去所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直第7节立体几何中的向量方法求空间角与距离一、教材概念结论性质重现1利用空间向量求距离(1)点到直线的距离如图所示，点A是直线l外一点，若AB是直线l的垂线段，则AB的长度就是点A到直线l的距离，这一距离也等于|A|.(2)点到平面
17、的距离如图所示，一般地，若A是平面外一点，B是平面内一点，n是平面的一个法向量，则点A到平面的距离d.求点到平面的距离，若用向量知识，则离不开以该点为端点的平面的斜线段有时利用等积法求解可能更方便2两条异面直线所成角的求法设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则l1与l2所成的角a与b的夹角范围(0，)求法cos cos 求两异面直线l1，l2的夹角，须求出它们的方向向量a，b的夹角a，b，由于夹角范围不同，有cos |cosa，b|.3直线与平面所成角的求法如果v是直线l的一个方向向量，n是平面的一个法向量，设直线l与平面所成角的大小为，v与n的夹角为，则sin |cos |.求直线
18、l与平面所成的角，可先求出平面的法向量n与直线l的方向向量v的夹角，则sin |cosn，v|.4求二面角的大小(1)如图，AB，CD分别是二面角l的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角的大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)利用平面的法向量求二面角的大小时，求出两半平面，的法向量n1，n2后，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补二、基本技能思想活动体验1判断下列说法的正误，对的打“”，错的打“”(1)两直
19、线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角( )(2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角( )(3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角( )(4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是0，( )(5)若直线l的方向向量与平面的法向量夹角为120，则l和所成角为30.( )(6)若二面角a的两个半平面，的法向量n1，n2所成角为，则二面角a的大小是.( )2已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为()A45B135C45或135D90C解析：cosm，n，即m，n45.所以两平面所成二面角为45或
20、18045135.3若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()A120B60 C30D60或30C解析：设直线l与平面所成的角为，直线l与平面的法向量的夹角为.则sin |cos |cos 120|.又因为090，所以30.4在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为n(2，2,1)，已知点P(1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于()A4B2 C3D1B解析：P点到平面OAB的距离为d2.5在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是CC1，AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值为_解析
21、：以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系则F(1,0,0)，D1(0,0,2)，O(1,1,0)，E(0，2,1)，所以(1,0,2)，(1,1,1)，所以cos，.考点1异面直线所成的角基础性1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A. B. C. D.C解析：以DA，DC，DD1所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D1(0，0，)，A(1,0,0)，D(0,0,0)，B1(1,1，)，所以(1，0，)，(1,1，)设异面直线AD1与DB1所成的角为，所以c
22、os .所以异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.2有公共边的等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，则异面直线AB和CD所成角的余弦值为_解析：设等边三角形的边长为2.取BC的中点O，连接OA，OD.因为等边三角形ABC和BCD所在平面互相垂直，所以OA，OC，OD两两垂直，以O为坐标原点，OD，OC，OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A(0,0，)，B(0，1,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，所以(0，1，)，(，1，0)，所以cos，所以异面直线AB和CD所成角的余弦值为.用向量法求异面直线所成角的一般步骤(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角
23、坐标系(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值考点2直线与平面所成的角综合性(2020新高考全国卷)如图，四棱锥PABCD的底面为正方形，PD底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明：l平面PDC；(2)已知PDAD1，Q为l上的点，QB，求PB与平面QCD所成角的正弦值(1)证明：在正方形ABCD中，ADBC.因为AD平面PBC，BC平面PBC，所以AD平面PBC.又因为AD平面PAD，平面PAD平面PBCl，所以ADl.因为在四棱锥PABCD中，底面
24、ABCD是正方形，所以ADCD，所以lCD，且PD平面ABCD，所以ADPD，所以lPD.因为CDPDD，所以l平面PDC.(2)解：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系因为PDAD1，则有D(0,0,0)，C(0,1,0)，A(1,0，0)，P(0,0,1)，B(1,1,0)设Q(m,0,1)，则有(0,1,0)，(m,0,1)，(1,1，1)因为QB，所以，解得m1.设平面QCD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，则z1，所以平面QCD的一个法向量为n(1,0，1)设PB与平面QCD所成的角为，则有sin |cosn，|.所以直线PB
25、与平面QCD所成角的正弦值为.利用空间向量求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角(2021深圳模拟)已知四棱锥PABCD，底面ABCD为菱形，PDPB，H为PC上的点，过AH的平面分别交PB，PD于点M，N，且BD平面AMHN.(1)证明：MNPC；(2)当H为PC的中点时，PAPCAB，PA与平面ABCD所成的角为60，求AD与平面AMHN所成角的正弦值(1)证明：连接AC，BD且ACBDO，连接PO.因为ABCD为菱形，所
26、以BDAC.因为PDPB，所以POBD.因为ACPOO，且AC，PO平面PAC，所以BD平面PAC.因为PC平面PAC，所以BDPC.因为BD平面AMHN，且平面AMHN平面PBDMN，所以BDMN，MN平面PAC，所以MNPC.(2)解：由(1)知BDAC且POBD.因为PAPC，且O为AC的中点，所以POAC，所以PO平面ABCD，所以PA与平面ABCD所成的角为PAO，所以PAO60，所以AOPA，POPA.因为PAAB，所以BOPA.以O为原点，OA，OD，OP分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系设PA2，所以O(0,0,0)，A(1,0,0)，B，C(1,0,0)，D，P
27、(0,0，)，H，所以，.设平面AMHN的一个法向量为n(x，y，z)，所以即令x2，则y0，z2，所以n(2,0,2)为平面AMHN的一个法向量设AD与平面AMHN所成角为，所以sin |cosn，|.所以AD与平面AMHN所成角的正弦值为.考点3求二面角与空间距离应用性考向1求二面角或二面角的某个三角函数值(2019全国卷)如图，长方体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BEEC1.(1)证明：BE平面EB1C1；(2)若AEA1E，求二面角BECC1的正弦值(1)证明：由已知得，B1C1平面ABB1A1，BE平面ABB1A1，故B1C1BE.又BEEC1，E
28、C1B1C1C1，EC1，B1C1平面EB1C1，所以BE平面EB1C1.(2)解：由(1)知BEB190.由题设知RtABERtA1B1E，所以AEB45，故AEAB，AA12AB.以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系则C(0,1,0)，B(1,1,0)，C1(0,1,2)，E(1，0,1)，(1,0,0)，(1，1,1)，(0,0,2)设平面EBC的一个法向量为n(x，y，z)，则即取y1，则x0，z1，所以n(0，1，1)为平面EBC的一个法向量设平面ECC1的一个法向量为m(x1，y1，z1)，则即取x11，则y11
29、，z10，所以m(1,1,0)为平面ECC1的一个法向量于是cosn，m.所以二面角BECC1的正弦值为.利用空间向量计算二面角大小的常用方法(1)找法向量：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小考向2求空间距离在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AB2，CC12，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为()A2 B CD1D解析：以D为坐标原点，DA，DC，DD
30、1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)，E(0,2，)，则(2,2,0)，(0,2，)易知AC1平面BDE.设n(x，y，z)是平面BDE的一个法向量，则即令y1，得n(1,1，)又(2,0,0)，所以点A到平面BDE的距离是d1.故直线AC1到平面BED的距离为1.求点面距离的一般方法(1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点到平面的距离(2)等体积法(3)向量法其中向量法在易建立空间直角坐标系的规则图形中较简便1设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1B
31、D的距离是_解析：如图建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，所以(2,0,0)，(2,0,2)，(2,2,0)设平面A1BD的一个法向量为n(x，y，z)，则即令x1，可得n(1，1，1)，所以点D1到平面A1BD的距离d.2如图，在四棱锥PABCD中，已知ABBC，AC4，ADDC2，O为AC的中点，PO底面ABCD，PO2，M为棱PC的中点(1)求直线PB与平面ADM所成角的正弦值；(2)求二面角DAMC的正弦值；(3)记棱PD的中点为N，若点Q在线段OP上，且NQ平面ADM，求线段OQ的长解：连接DB，因为ABBC，ADDC，O
32、为AC的中点，所以点O在DB上，且DBAC.又PO平面ABCD，则OB，OC，OP两两垂直故以O为坐标原点，分别以，的方向为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系(如图)由题意得OB1，OD2，则O(0,0,0)，A(0，2,0)，B(1,0,0)，C(0，2,0)，D(2,0,0)，P(0,0,2)，M(0，1,1)(1)依题意可得(2,2,0)，(0,3,1)设n(x，y，z)为平面ADM的一个法向量，则即不妨令y1，则x1，z3，可得n(1,1，3)又(1,0，2)，所以|cos，n|，所以直线PB与平面ADM所成角的正弦值为.(2)由(1)知OBAC.又OBPO，ACPOO.故OB
33、平面AMC，由是平面AMC的一个法向量，(1,0,0)由(1)可知n(1,1，3)是平面ADM的一个法向量，因此cos，n，于是有sin，n，所以二面角DAMC的正弦值为.(3)设线段OQ的长为h(0h2)，则点Q的坐标为(0,0，h)由已知可得点N的坐标为(1,0,1)，所以(1,0，h1)由NQ平面ADM且n(1,1，3)为平面ADM的法向量，得n，所以n0，即13(h1)0，解得h0,2，所以线段OQ的长为.3请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答ABBC，FC与平面ABCD所成的角为，ABC.如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，PA平面ABCD，且PAAB2
34、，PD的中点为F.(1)在线面AB上是否存在一点G，使得AF平面PCG？若存在，指出G在AB上的位置并给以证明；若不存在，请说明理由(2)若_，求二面角FACD的余弦值解：(1)在线段AB上存在点G，使得AF平面PCG，且G为AB的中点证明如下：设PC的中点为H，连接FH，GH，如图，易证四边形AGHF为平行四边形，则AFGH.又GH平面PCG，AF平面PGC，所以AF平面PGC.(2)选择.因为PA平面ABCD，所以PAAB，PAAD.由题意可知，AB，AD，AP两两垂直，故以A为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为PAAB2，所以A(0,0,0)，C(
35、2,2,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，F(0,1,1)，所以(0,1,1)，(2，1,1)设平面FAC的一个法向量为u(x，y，z)，则即令y1，则x1，z1，则u(1,1，1)易知平面ACD的一个法向量为v(0,0,2)，设二面角FACD的平面角为，则cos ，即二面角FACD的余弦值为.选择.设BC中点E，连接AE，取AD的中点M，连接FM，CM，则FM PA，且FM1.因为PA平面ABCD，所以FM平面ABCD，FC与平面ABCD所成的角为FCM，故FCM.在直角三角形FCM中，CM，又因为CMAE，故AE2BE2AB2，所以BCAE，所以AE，AD，AP两两垂直，故以A为坐
36、标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为PAAB2，所以A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，F(0,1,1)，所以(0,1,1)，(，0,1)设平面FAC的一个法向量为u(x，y，z)，则即令x，则y3，z3，则u(，3,3)易知平面ACD的一个法向量为v(0,0,2)设二面角FACD的平面角为，则cos ，即二面角FACD的余弦值为.选择.因为PA平面ABCD，所以PABC.取BC中点E，连接AE.因为底面ABCD是菱形，ABC，所以ABC是正三角形又E是BC的中点，所以BCAE，所以AE，AD，AP两两垂直故以A为坐标原点，
37、的方向分别为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系因为PAAB2，所以A(0,0,0)，C(，1,0)，D(0,2,0)，P(0，0,2)，F(0,1,1)，所以(0,1,1)，(，0,1)设平面FAC的一个法向量为u(x，y，z)，则即令x，则y3，z3，则u(，3,3)易知平面ACD的一个法向量为v(0,0,2)，设二面角FACD的平面角为，则cos ，即二面角FACD的余弦值为.如图，在四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角正弦值的大小四字程序读想算思AB与平面SBC所成
38、角的大小，ABCD，BCCD，ABBC2，CDSD1定义法，借助点到平面的距离，法向量勾股定理、余弦定理、法向量求解多方法、多角度对立体几何知识的掌握及空间向量在解决立体几何中的应用思路参考：利用定义寻找线面角的位置直接求解(1)证明：取AB中点，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DEBC2.连接SE，则SEAB，SE.又SD1，故DE2SE2SD2，所以DSE为直角由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD，SD与两条相交直线AB，SE都垂直，所以SD平面SAB.(2)解：因为CDAB，所以CD与平面SBC所成的角即为AB与平面SBC所成的角如图，取SC的中点M，连接B
39、M，DM.因为DSDC，BSBC，所以SCDM，SCBM，所以SC平面BDM，所以平面BDM平面SBC.作DNBM，垂足为点N，则DN平面SBC，连接CN.CN为CD在平面SBC上的射影，DCN即为CD与平面SBC所成的角因为SDAB ，CDAB，SDCD，|SC|，|BM|，cosDBM，sinDBM，DN，sinDCN.所以AB与平面SBC所成的正弦值为.思路参考：借助点到平面的距离间接求解(1)证明：同解法1.(2)解：VASBCVSABC.过点S作SFDE，则SF平面ABCD.|SF|.VSABCSABC|SF|AB|BC|SF|22.设A到平面SBC的距离为h，取SC中点M，连接BM
40、.因为SDAB，CDAB，SDCD，|SC|，|BM|，VASBCSSBCh|SC|BM|hhh.因为h， 所以h，即A到平面SBC的距离为.又因为AB2，设AB与平面SBC所成的角为，则sin ，所以AB与平面SBC所成的角的正弦值为.思路参考：建立空间直角坐标系利用法向量求解(1)证明：同解法1.(2)解：如图，以C为坐标原点，CD，CB所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的空间直角坐标系则D(1,0,0)，A(2,2,0)，B(0,2,0)因为平面SDE平面ABCD，CD1，DF，SF，所以S.设平面SBC的一个法向量为n(x，y，z)，(0,2,0)，故取z2，得x，y0，所以平面SBC的一个法向量为n(，0,2)又(2,0,0)，cos，n.故AB与平面SBC所成角的正弦值为.思路参考：变换建系的方法，空间直角坐标系中各点坐标会发生变化，但求角的方法是不变的证明：(1)同解法1.(2)解：如图，以D为坐标原点，射线DE为x轴正半轴，射线DC为y轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,0,0)，A(2，1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)因为平面SDE平面ABCD，点S在xOz平面内，DF，SF，所以S.设平面SBC的一个法向量为n(