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1、【考纲下载考纲下载】1. 了解向量的实际背景了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义了解向量线性运算的性质及其几何意义.第第1 1讲讲 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算第四知识第四知识 平面向量平面向量第一页，编辑于星期五：五点 五分。向量的有关概念
2、向量的有关概念(1)向量：既有向量：既有 又有又有 的量，向量的大小叫做的量，向量的大小叫做 向量的向量的 ( (或模或模) )(2)(2)零向量：长度为零向量：长度为 的向量，其方向是的向量，其方向是 的的(3)(3)单位向量：长度等于单位向量：长度等于 的向量的向量(4)(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的 向量向量(5)(5)相等向量：长度相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量(6)(6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量大小大小方向方向长度长度 0任意任意1个单位长度个单位长度相同相同相反相反非零非零相等相等相同相同相等相等相反相反1提示：平行向量也
3、叫共线向量，这里的提示：平行向量也叫共线向量，这里的“平行与两直线平行与两直线(或线段或线段)平行的意平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同第二页，编辑于星期五：五点 五分。2向量的加法与减法向量的加法与减法 (1)加法加法 法那么：服从三角形法那么，平行四边形法那么法那么：服从三角形法那么，平行四边形法那么 性质：性质：a. ab (交换律交换律)； b(ab)ca(bc)(结合律结合律)； ca00a . baa(2)减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法那么减法：减法与加法互为逆运算，
4、服从三角形法那么第三页，编辑于星期五：五点 五分。提示：提示：(1)向量表达式中的零向量写成向量表达式中的零向量写成0，而不能写成，而不能写成0.(2)要注意三角形法那么和平行四边形法那么适用的条件，运用平行四边形法那么时要注意三角形法那么和平行四边形法那么适用的条件，运用平行四边形法那么时两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线两个向量的起点必须重合，和向量与差向量分别是平行四边形的两条对角线所对应的向量所对应的向量(3)运用三角形法那么时两个向量必须首尾相接，否那么就要把向量进行平移，使运用三角形法那么时两个向量必须首尾相接，否那么就要把向量进行平移，使之符合条件
5、之符合条件第四页，编辑于星期五：五点 五分。实数与向量的积实数与向量的积(1)|a| .(2)当当 时，时，a与与a的方向相同；当的方向相同；当 时，时，a与与a的方向相反；的方向相反；当当0时，时，a .(3)运算律：设运算律：设，R，那么：，那么：a(a) ；b()a ；c(ab) .00()a|a|aaab03第五页，编辑于星期五：五点 五分。4两个向量共线定理两个向量共线定理 向量向量b与非零向量与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数共线的充要条件是有且只有一个实数，使得，使得 .ba【思考思考】 如何用向量法证明三点如何用向量法证明三点A、B、C共线？共线？第六页，编辑于星期五
6、：五点 五分。1假设假设O、E、F是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是是不共线的任意三点，那么以下各式中成立的是()答案：答案：B第七页，编辑于星期五：五点 五分。2. 如图，在平行四边形如图，在平行四边形ABCD中，以下结论中错误的选项是中，以下结论中错误的选项是()答案：答案：C第八页，编辑于星期五：五点 五分。3平面向量平面向量a，b共线的充要条件是共线的充要条件是() Aa，b方向相同方向相同 Ba，b两向量中至少有一个为零向量两向量中至少有一个为零向量 CR，ba D存在不全为零的实数存在不全为零的实数1、2，使，使1a2b0 解析：解析：A忽略了方向相反的情况，忽略了方向相反
7、的情况，B只考虑了特例，只考虑了特例，C没有包含没有包含a是零向是零向 量而量而b是非零向量的情形，是非零向量的情形，D是充要条件是充要条件 答案：答案：D第九页，编辑于星期五：五点 五分。4给出以下命题：给出以下命题： 与向量与向量 的长度相等；向量的长度相等；向量a与向量与向量b平行，那么平行，那么a与与b的方向相同或相反；两个有共同起点的相等向量，其终点必相同；的方向相同或相反；两个有共同起点的相等向量，其终点必相同；其中错误的命题序号是其中错误的命题序号是_中假设中假设a a或或b b为零向量，那么满足为零向量，那么满足a a与与b b平行，但平行，但a a与与b b的方向不一定相同的
8、方向不一定相同或相反，或相反，此命题错误此命题错误它们的长度相等，它们的长度相等， 此命题正确此命题正确第十页，编辑于星期五：五点 五分。由相等向量的定义知，假设两向量为相等向量，且起点相同，那么其终点也由相等向量的定义知，假设两向量为相等向量，且起点相同，那么其终点也必定相同，必定相同，该命题正确该命题正确由共线向量知，假设两个向量仅有相同的终点，那么不一定共线，由共线向量知，假设两个向量仅有相同的终点，那么不一定共线，该命题错误该命题错误共线向量是方向相同或相反的向量，共线向量是方向相同或相反的向量，在一条直线上在一条直线上该命题错误该命题错误答案：答案：第十一页，编辑于星期五：五点 五分
9、。正确理解向量有关概念及运算法那么，注意区分向量运算与实数运算的异同是解答该正确理解向量有关概念及运算法那么，注意区分向量运算与实数运算的异同是解答该类题型的关键类题型的关键第十二页，编辑于星期五：五点 五分。 【例【例1】 给出以下六个命题：给出以下六个命题： 两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同；两个向量相等，那么它们的起点相同，终点相同； 假设假设|a|b|，那么，那么ab；假设假设m mn n，n np p，那么，那么m mp p；假设假设abab，bcbc，那么，那么ac.ac.其中不正确的个数是其中不正确的个数是( () )A A2 2 B B3 3 C C4 4 D D5
10、5第十三页，编辑于星期五：五点 五分。第十四页，编辑于星期五：五点 五分。变式变式1：判断以下命题是否正确，不正确的说明理由：判断以下命题是否正确，不正确的说明理由(1)假设向量假设向量a与与b同向，且同向，且|a|b|，那么，那么ab；(2)假设假设|a|b|，那么，那么a与与b的长度相等且方向相同或相反；的长度相等且方向相同或相反；(3)假设假设|a|b|，且，且a与与b的方向相同，那么的方向相同，那么ab；(4)由于零向量由于零向量0方向不确定，故方向不确定，故0不能与任意向量平行不能与任意向量平行 解：解：(1) 不正确因为向量是不同于数量的一种量，它由两个因素来确定，不正确因为向量是
11、不同于数量的一种量，它由两个因素来确定， 即大即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确小与方向，所以两个向量不能比较大小，故不正确(2)不正确由不正确由|a|b|只能判断两向量长度相等，不能判断方向只能判断两向量长度相等，不能判断方向(3)正确正确|a|b|，且，且a与与b同向，由两向量相等的条件可得同向，由两向量相等的条件可得ab.(4)不正确由零向量性质可得不正确由零向量性质可得0与任一向量平行，可知不正确与任一向量平行，可知不正确.第十五页，编辑于星期五：五点 五分。在求向量时，要尽可能地将其转化到平行四边形或三角形中去，选用从同一顶点出发的在求向量时，要尽可能地将其转化到平行四
12、边形或三角形中去，选用从同一顶点出发的根本向量或首尾相接的向量，运用向量的加减法及数乘运算来求解根本向量或首尾相接的向量，运用向量的加减法及数乘运算来求解.第十六页，编辑于星期五：五点 五分。思维点拨：结合图形性质，准确灵活运用三角形法那么和平行四边形思维点拨：结合图形性质，准确灵活运用三角形法那么和平行四边形法那么是向量加减运算的关键法那么是向量加减运算的关键第十七页，编辑于星期五：五点 五分。第十八页，编辑于星期五：五点 五分。第十九页，编辑于星期五：五点 五分。1.证明三点证明三点A、B、C共线，借助向量，只需要证明由这三点共线，借助向量，只需要证明由这三点A、B、C所所组成的向量组成的
13、向量中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数中有两个向量共线，即这两个向量之间存在一个实数，使，使ab(b0)即可即可2在求与一个向量在求与一个向量a共线的向量时，可设所求向量为共线的向量时，可设所求向量为a(R)，然后结，然后结合其合其他条件列出关于他条件列出关于的方程，求出的方程，求出的值后代入的值后代入a即可得到欲求向量即可得到欲求向量第二十页，编辑于星期五：五点 五分。第二十一页，编辑于星期五：五点 五分。第二十二页，编辑于星期五：五点 五分。【方法规律方法规律】1向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有
14、代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又可将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用将几何问题转化为代数问题，故向量能起数形结合的桥梁作用2能否正确理解和牢固掌握共线向量、相等向量的概念很重要，它关系到我能否正确理解和牢固掌握共线向量、相等向量的概念很重要，它关系到我们今后在解决相关问题时能否灵活应用的问题们今后在解决相关问题时能否灵活应用的问题3将向量用其他向量将向量用其他向量(特别是基向量特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式
15、的根底也是向量坐标形式的根底4首尾相连的假设干向量之和等于以最初的向量起点为起点，最后的向首尾相连的假设干向量之和等于以最初的向量起点为起点，最后的向量终点为终点的向量；假设这两点重合，那么和为零向量量终点为终点的向量；假设这两点重合，那么和为零向量.第二十三页，编辑于星期五：五点 五分。第二十四页，编辑于星期五：五点 五分。【阅卷实录阅卷实录】第二十五页，编辑于星期五：五点 五分。【教师点评教师点评】第二十六页，编辑于星期五：五点 五分。【标准解答】【标准解答】第二十七页，编辑于星期五：五点 五分。【状元笔记状元笔记】点击此处进入点击此处进入 作业手册作业手册第二十八页，编辑于星期五：五点 五分。