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1、实际问题与一元二次方程（三）实际问题与一元二次方程（三）面积问题面积问题一、复习引入一、复习引入 1直角三角形的面积公式是什么？直角三角形的面积公式是什么？ 一般三角形的面积公式是什么呢？一般三角形的面积公式是什么呢？ 2正方形的面积公式是什么呢？正方形的面积公式是什么呢？ 长方形的面积公式又是什么？长方形的面积公式又是什么？ 3梯形的面积公式是什么？梯形的面积公式是什么？ 4菱形的面积公式是什么？菱形的面积公式是什么？ 5平行四边形的面积公式是什么？平行四边形的面积公式是什么？ 6圆的面积公式是什么？圆的面积公式是什么？ 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中
2、正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的依题知正中央的矩形两边之比也为矩形两边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得21274379 xx解得解得 2331x),(2332舍去不合题意x故上下边衬的宽度为故上下
3、边衬的宽度为:左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:8 . 143275422339272927 x4 . 143214222337212721 x 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设应如何设计四周边衬的宽度计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的正中央的矩形两边之比也为矩形两边
4、之比也为9:7,由此判断上下边由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm，根据题意得，根据题意得212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336x(以下同学们自己完成以下同学们自己完成)方程的哪个根合方程的哪个根合乎实际意义乎实际意义?为什么为什么?例例1. 学校为了美化校园环境，在一块长学校为了美化校园环境，在一块长40米、宽米、宽20米的长米的长方形空地上计划新建一块长方形空地上计划新建一块长9米、宽米、宽7米的长方形花圃米的长方形花圃.（1）若请你在这块
5、空地上设计一个长方形花圃，使它的）若请你在这块空地上设计一个长方形花圃，使它的面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多面积比学校计划新建的长方形花圃的面积多1平方米，请平方米，请你给出你认为合适的三种不同的方案你给出你认为合适的三种不同的方案.（2）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，）在学校计划新建的长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃的面积能否增加长方形花圃的面积能否增加2平方米？如果能，请求出长平方米？如果能，请求出长方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由方形花圃的长和宽；如果不能，请说明理由.解解: (1) 方案方案1：长为：长为 米，宽为米，宽为7米米;719方案方案2：长为
6、：长为16米，宽为米，宽为4米米; 方案方案3：长：长=宽宽=8米米;注：本题方案有无数种注：本题方案有无数种（2）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花）在长方形花圃周长不变的情况下，长方形花圃面积不能增加圃面积不能增加2平方米平方米.由题意得长方形长与宽的和为由题意得长方形长与宽的和为16米米.设长方形花圃设长方形花圃的长为的长为x米，则宽为（米，则宽为（16-x）米）米.x(16-x)=63+2， x2-16x+65=0，046514)16(422acb此方程无解此方程无解.在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能在周长不变的情况下，长方形花圃的面积不能增加增加2平方米平方米1.1.用用
7、20cm20cm长的铁丝能否折成面积为长的铁丝能否折成面积为30cm30cm2 2的矩形的矩形, ,若能够若能够, , 求它的长与宽求它的长与宽; ;若不能若不能, ,请说明理由请说明理由. .解解:设这个矩形的长为设这个矩形的长为xcm,则宽为则宽为 cm,)220(x30)220( xx即即x2-10 x+30=0这里这里a=1=1,b= =1010,c=30=30,0203014)10(422acb此方程无解此方程无解.用用20cm长的铁丝不能折成面积为长的铁丝不能折成面积为30cm2的矩形的矩形.例例2 2：某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米
8、的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(232(xx化简得，化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了
9、原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，分析：此题的相等关系是分析：此题的相等关系是 矩形面积减去道路面积等矩形面积减去道路面积等于于540540米米2 2. .解法一解法一: : 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 . .20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列的方程是不是32 20(3220 )540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不
10、是3220 xx米米2 2. .(2)而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米米. .122,50 xx解法二：解法二： 我们利用我们利用“图形经过移动
11、，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)横向路面横向路面 ，如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，32x32x米米2 2纵向路面面积为纵向路面面积为 . .20 x20 x米米2 2草坪矩形的长（横向）为草坪矩形的长（横向）为 ，草坪矩形的宽（纵向）草坪矩形的宽（纵向） . .相等关系是：草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20
12、-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：212521000,50,2xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1 1相同相同. .1.如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则570)220)(2
13、32(xx化简得，化简得，035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.例例3. 如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度最大可用长度a为为10米），围成中间隔有一道篱笆的米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽长方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S米米2，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析
14、】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件, ,得得 -3x -3x2 2+24x=45+24x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），
15、两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx 例例4某林场计划修一条长某林场计划修一条长750m，断面为，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m2， 上上口宽比渠深多口宽比渠深多2m，渠底比渠深多，渠底比渠深多0.4m （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2
16、）如果计划每天挖土）如果计划每天挖土48m3，需要多，需要多少天才能把这条渠道挖完？少天才能把这条渠道挖完？分析：分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为设渠深为xm，则上口宽为，则上口宽为x+2， 渠底为渠底为x+0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建，那么，根据梯形的面积公式便可建模模解：（解：（1）设渠深为）设渠深为xm 则渠底为（则渠底为（x+0.4）m，上口宽为（，上口宽为（x+2）m依题意，得：依题意，得：6 . 1)4 . 02(21xxx整理，得：整理，得：5x2+6x-8=0 解得：解得：x1=0.8m，x2=-2（不合题意（不合题意,舍
17、去）舍去）上口宽为上口宽为2.8m，渠底为，渠底为1.2m（天）25487501.6(2)答：渠道的上口宽与渠底深各是答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m和和1.2m；需要需要25天才能挖完渠道天才能挖完渠道1.如图，宽为如图，宽为50cm的矩形图案由的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，个全等的小长方形拼成，则每个小长方形的面积为【则每个小长方形的面积为【 】 A400cm2 B500cm2 C600cm2 D4000cm22. 在一幅长在一幅长80cm，宽，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图纸边，制成一幅矩形
18、挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为，设金色纸边的宽为xcm，那么，那么x满足满足的方程是【的方程是【 】Ax2+130 x-1400=0 Bx2+65x-350=0Cx2-130 x-1400=0 Dx2-65x-350=03.如图，面积为如图，面积为30m2的正方形的四个角是面积为的正方形的四个角是面积为2m2的小正的小正方形，用计算器求得方形，用计算器求得a的长为（保留的长为（保留3个有效数字）【个有效数字）【 】A2.70m B2.66m C2.65m D2.60m80cmxxxx50cmaABC1 1、如果、如果a ,b ,c a ,b ,
19、c 分别表示百位数字、十位数分别表示百位数字、十位数字、个位数字，这个三位数能不能写成字、个位数字，这个三位数能不能写成abcabc形式？为什么？形式？为什么？例例1 1、两个连续奇数的积是、两个连续奇数的积是323323，求这两个数。，求这两个数。100a+10b+c100a+10b+c解：设较小的一个奇数为解：设较小的一个奇数为x，则另一个为，则另一个为x+2, 根据题意得：根据题意得：x(x+2)=323 整理后得：整理后得：x2+2x-323=0 解这个方程得：解这个方程得：x1=17 x2=-19 由由x1=17 得：得：x+2=19 由由 x2=-19 得：得：x+2=-17 答：
20、这两个数奇数是答：这两个数奇数是17，19，或者，或者-19，-17。问：如果设这两个数奇数中较小的一个为问：如果设这两个数奇数中较小的一个为x-1, x-1, 另一个为另一个为x+1,x+1,这道题该怎么解？这道题该怎么解？例例1 1、两个连续奇数的积是、两个连续奇数的积是323323，求这两个数。，求这两个数。,112xx.618.0251ABAC黄金比.1, 1xCBxACAB则设ABC. 012xx即得解这个方程 ,.251x).,(251,25121舍去不合题意xx如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果 那么称线段AB被点C黄金分割(golden section),点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比称为黄金比.,ACBCABAC黄金分割数黄金分割数找出已知量、未知量，哪些是要求的未知找出已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所涉及的基本数量关系、相等关系；量和所涉及的基本数量关系、相等关系；审审设元：设未知数，并用所设的未知数的代设元：设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其他的相关量；数式表示其他的相关量；设设列方程列方程(一元二次方程一元二次方程)；解方程；解方程；列列检验并作答：注意根的准确性及是检验并作答：注意根的准确性及是否符合实际意义。否符合实际意义。解解验并答验并答