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1、等差数列的前等差数列的前 n n 项和项和教学案例设计教学案例设计一、教学内容分析一、教学内容分析本节课教学内容是普通高中课程标准实验教科书数学（5） （人教 A 版）中第二章的第三节“等差数列的前 n 项和”（第一课时） 本节课主要研究如何应用倒序相加法求等差数列的前 n 项和以及该求和公式的应用等差数列在现实生活中比较常见，因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题同时，求数列前 n 项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一般的研究问题方法二、学生学习情况分析二、学生学习情况分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯
2、算法有所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教学中可适当渗透函数思想高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍三、设计思想三、设计思想建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构在教学过程中，根据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前 n 项和的求法通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和启发学生获得
3、公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习同时根据我校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的四、教学目标四、教学目标1. 理解等差数列前 n 项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前 n 项和公式；了解倒序相加法的原理；2. 通过公式的推导过程，体验从特殊到一般的研究方法，渗透函数思想与方程（组）思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、独立思考等良好的个性品质五、教学重点和难点五、教学
4、重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前 n 项和公式，学会用公式解决一些实际问题；难点是等差数列前 n 项和公式推导思路的获得六、教学过程设计六、教学过程设计（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？体展示三角形图案） 设计意图设计意图 情境学习理论认为：数学学习总是与一定的知识背景，即“情境” 相联系从实际问题入手，图中蕴含算数，能激发学生学习新知识的兴趣，并且可引导学生共同探讨高斯算法更一
5、般的应用，为新课的讲解作铺垫知识链接知识链接 高斯，德国著名数学家，被誉为“数学王子” 。200 多年前，高斯的算术教师提出了下面的问题：123+100？据说，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案：（1100）（299）（5051）101505050.学情预设学情预设高斯的算法蕴涵着求等差数列前 n 项和一般的规律性教学时，应给学生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三
6、道由易到难的问题（二）由易到难，在自主探究与合作中学习（二）由易到难，在自主探究与合作中学习问题 1 图案中，第 1 层到第 51 层一共有多少颗宝石？该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现学情预设学情预设 学生可能出现以下求法方法 1：原式（12350）51方法 2：原式0125051方法 3：原式（12252751）26以上方法实际上是用了“化归思想” ，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师应进行充分肯定与表扬设计意图设计意图 这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，借此渗透化归思想问题 2：求图案中从第 1 层到第 n 层（1n
7、100，nN*）共有多少颗宝石？学情预设学情预设 学生通过激烈的讨论后，发现 n 为奇数时不能配对，可能会分 n 为奇数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键设计意图设计意图 从求确定的前 n 个正整数之和到求一般项数的前 n 个正整数之和，让学生领会从特殊到一般的研究方法，旨在让学生对“首尾配对求和”这一算法的改进启发：（多媒体演示）如右图，在三角形图案右侧倒放一个全等的三角形与原图补成平行四边形设计意图设计意图 借助几何图形的直观性，能启迪思路，唤醒学生记忆深处的东西，并为倒序相加法的出现提供了一个直接的模型通过以上启发学生再自主探究，相信容易得出解法：1 + 2
8、+ 3 +（n1） + nn +（n1）+ （n2）+ + 2 + 1_(n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1)1+2+3+n=n（ n+1（ 2问题 3： 在公差为 d 的等差数列an中，定义前 n 项和Sn=a1+a2+an，如何求 Sn？由前面的大量铺垫，学生应容易得出如下过程：Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)dSn=an + (and) +（an2d）+an(n1)d1112()()()nnnnnSaaaaaa 个(公式 1)1() 2n nn aaS组织学生讨论：在公式 1 中若将 an=a1+（n1）d 代入又可
9、得出哪个表达式?即：（公式 2）1(1) 2nn nSnad（三）设置典例，促进学生对公式的应用（三）设置典例，促进学生对公式的应用对于以上两个公式，初学的学生在解决一些问题时，往往不知道该如何选取教师应通过适当的例子引导学生对这两个公式进行分析，根据公式各自的特点，帮助学生恰当地选择合适的公式例 1 为了参加冬季运动会的 5000m 长跑比赛，某同学给自己制定了 7 天的训练计划（单位：m）如下表：5000550060006500700075008000 问这个同学 7 天一共将跑多长的距离？设计意图设计意图 该例题是将课本 P53 习题 2.3A 组第 3 题改编成表格形式，可以锻炼学生处
10、理数据信息的能力和选用公式的能力。学生可以从首项、末项、项数出发，选用公式 1；也可以从首项、公差、项数出发，选用公式 2，通过两种方法的比较，引导学生在解题时注意选择适当的公式，以便于计算例 2 已知等差数列 5，42 7 ，34 7 ，求(1)数列an的通项公式；(2)数列an的前几项和为？125 7(3)Sn 的最大值为多少？并求出此时相应的 n 的值。设计意图设计意图 通项公式与求和公式中共有 a1、d、n、an、Sn五个基本元素，如果已知其中三个，就可求其余两个，主要是训练学生的方程（组）思想。第（3）小题是让学生初步接触用函数观点解决数列问题，为以后函数与数列的综合打下基础 知识链
11、接知识链接 （1）由若令2 11(1)() ,222nn nddSnadnan,2dA可知当时，点是在常数项为 0 的1,2daB2,AnBnn则S0d ( ,)nn S二次函数图象上，可由二次函数的知识解决的最值问题；nS（2）若数列的前 n 项和（） ，则数列na2AnBnnSBAR、一定是等差数列；na（3）由，可知，点在直线上；2AnBnnSSnAnBn,nSnn（4）在等差数列中，当时，最大，当na10,0kkaakS时，最小。10,0kkaakS（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握（四）反馈调控，实现学生对知识的掌握练习 1 已知等差数列an的前 10 项和是 310，前 20 项
12、的和是 1220，求前 n 项和 Sn.练习 2 等差数列an中，a1= 4， a8= 18， n=8，求公差 d 及前 n 项和 Sn.选做题 已知函数 f（x）= ，则 f（-5）+f（-4）x1 2 + 2+f（0）+f（5）+f（6）的值为 设计意图设计意图 分层练习使学生在完成必修教材基本任务的同时，拓展自主发展的空间，让每一个学生都得到符合自身实践的感悟，使不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，从而实现“以人为本”的教育理念（五）回顾反思，深化知识（五）回顾反思，深化知识组织学生分组共同反思本节课的教学内容及思想方法，小组之间互相补充完成课堂小结，实现对等差数列前 n
13、 项和公式的再次深化1.从特殊到一般的研究方法；2.体会倒序相加的算法，掌握等差数列的两个求和公式，领会方程（组）思想；3. 前 n 项和公式的函数意义4、用梯形面积公式记忆等差数列的前 n 项和公式；知识链接知识链接 （六）布置作业（六）布置作业1.课本 P52习题 23，第 1 题（1） （3） ，第 2 题（3） （4） ，第 5 题2.探索题（1）数列1 n(n+1)的前 n 项和=1 12+ 1 23+ 1 34+ nS+ 1 n(n+1)，求；nS（2）若公差为 d(d0）的等差数列中，=1 a1a2 + 1 a2a3 + nanT1 a3a4+ 1 an-1an，你能否由题（1）
14、的启发，得到的表达式？nT七、教学反思七、教学反思“等差数列前 n 项和”的推导不只一种方法，本节课是通过介绍高斯的算法，探究这种方法如何推广到一般等差数列的求和该方法反映了等差数列的本质，可以进一步促进学生对等差数列性质的理解，而且该推导过程体现了人类研究、解决问题的一般思路本节课教学过程的难点在于如何获得推导公式的“倒序相加法”这一思路为了突破这一难点，在教学中采用了以问题驱动的教学方法，设计的三个问题体现了分析、解决问题的一般思路，即从特殊问题的解决中提炼方法，再试图运用这一方法解决一般问题在教学过程中，通过教师的层层引导、学生的合作学习与自主探究，尤其是借助图形的直观性，学生“倒序相加
15、法”思路的获得就水到渠成了点评点评本节课以故事引课，增强学生的好奇心，激发学生的学习欲望和热情。以问题为纽带，通过三个问题组织学生讨论，由特殊（自然数的前 51 项和）到一般（自然数的前几项和） ，再到一类（等差数列前几项和） ，循序渐进。通过类比 Causs 配对求和方法，借助几何直观，启发学生独立思考，讨论交流，对问题进行层层递进的探究，使学生从不同的思维角度掌握了等差数列的前几项和公式，从中深刻领会推导过程所蕴涵的逻辑推理方法和数学思维方法，培养了学生思维的深刻性、尖锐性和批判性。通过精选例题，分层次练习，使学生既巩固了知识又形成了技能。在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养学生自主学习、合作学习的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质。必须指出的是，在用 Causs 配对法得到前几项和公式后，如能对此方法做更深入分析，指出其实质是等差数列的重要性质等距性（即N ,m+n=k+l,则,knmlam+an=a +a ）的应用，在作业中的探索题中如能加上：数列an是kl等差数列，求 sn=a1a2+a2a3+anan+1则可得到一类问题（由等差连续项或连续项倒数）组成的数列求和问题的解决，深化学生对相关问题的理解。