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1、直直 角角 三三 角角 形形本章内容第第1章章直角三角形的性质直角三角形的性质 和判定（和判定（）本课内容本节内容1.1 在前面，我们已经学习了三角形边与边，边在前面，我们已经学习了三角形边与边，边与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为与角，角与角之间的一些性质，直角三角形作为一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质一种特殊的三角形，除了具有一般三角形的性质外，它还具有哪些特殊性质呢？外，它还具有哪些特殊性质呢？ 如图如图1-1，在，在RtABC中，中， C=90，两锐角的和等两锐角的和等于多少呢？于多少呢？说一说说一说图图1-1 在在RtABC中，因为中，因为 C=90，由三角形内角和
2、由三角形内角和定理定理，可得可得A +B=90.结论结论直角三角形的两个锐角互余直角三角形的两个锐角互余.由此得到：由此得到：议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议议一议有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？有两个锐角互余的三角形是直角三角形吗？ 如图如图1-2，在，在ABC中，中， A +B=90 ， 那么那么ABC是直角三角形吗？是直角三角形吗？ 在在ABC中，因为中，因为 A +B +C=180， 又又A +B=90，所以所以C=90. 于是于是ABC是直角三角形是直角三角形.图图1-2结论结论有两个角互余的三角形是直角三角形有两个角互余的三角形是直角三角形.
3、由此得到：由此得到：探究探究 如图如图1-3，画一个，画一个RtABC， 并作出斜边并作出斜边AB上的中上的中线线CD，比较线段，比较线段CD 与线段与线段AB 之间的数量关系，你能之间的数量关系，你能得出什么结论？得出什么结论？图图1-3我测量后发现我测量后发现CD = AB.12线段线段CD 比线段比线段AB短短.图图1-3是否对于任意一个是否对于任意一个RtABC，都有，都有 CD = 成立呢？成立呢？12AB图图1-4 如图如图1-3， 如果中线如果中线CD = AB，则有，则有DCA = A .由此受到启发由此受到启发，在图在图1-4 的的RtABC中，过直角顶点中，过直角顶点C作作
4、射线射线 交交AB于于 ，使，使 ，12CD =ADD = AD CA则则 .CD图图1-3A +B=90 ，又又 90D CA+D CB，BD CB. CD =BD .故得故得12CD =AD =BD = AB.D 点点 是斜边上的中点，即是斜边上的中点，即 是斜边是斜边 的中线的中线.ABCDCD从而从而CD与与 重合，且重合，且CDAB.12图图1-4结论结论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.由此得到：由此得到：举举例例例例1 已知：如图已知：如图1-5，CD是是ABC的的AB边上的中边上的中 线，且线，且 . 求证：求证：ABC是直角三角形是直角
5、三角形.12CDAB 图图1-5证明：证明：因为因为 ，所以所以 1=A，( (等边对等角等边对等角) ) 2=B .12CDAB=BD=AD 图图1-5根据三角形内角和性质，有根据三角形内角和性质，有 A+B+ACB =180，即得即得A+B+1+2=180， 2( (A+B) )=180.所以所以 A+B =90.根据直角三角形判定定理，所以根据直角三角形判定定理，所以ABC是直角三角形是直角三角形.练习练习 1.在在RtABC中，斜边上的中线中，斜边上的中线CD=2.5cm ，则斜边，则斜边 AB的长是多少？的长是多少？解解AB=2CD=22.5=5(cm). 2.如图，如图，ABCD，
6、BAC和和ACD的平分线相交于的平分线相交于H点，点，E为为AC的中点，的中点，EH=2. 那么那么AHC是直角三是直角三角形吗？为什么？若是，求出角形吗？为什么？若是，求出AC的长的长.解解 因为因为 ABCD，所以，所以 BAC+DCA=180.又又 ， ，所以所以所以所以AHC是直角三角形是直角三角形.在在RtAHC中，中，EH为斜边上的中线，为斜边上的中线，所以有所以有 ，由由EH=2易知易知AC=4.12CAHBAC 12ACHDCA 1902CAH+ACHBAC+DCA =()()12EHAC 如图如图1-6，在，在RtABC中，中，BCA=90，如果如果A=30，那么直角边，那么
7、直角边BC与斜边与斜边AB 有什么关系呢有什么关系呢? ?动脑筋动脑筋图图1-6如图如图1-6，取线段，取线段AB的中点的中点D，连接，连接CD. BDC为等边三角形为等边三角形. B=60.图图1-6 CD是是RtABC斜边斜边AB上的中线，上的中线，CDABBD.12 BCA=90，且且A=30，12BCBD=AB. 在直角三角形中，如在直角三角形中，如果一个锐角等于果一个锐角等于30，那，那么它所对的直角边等于斜么它所对的直角边等于斜边的一半边的一半. 如图如图1-7，在，在RtABC中，中，BCA=90，如，如果果 ，那么，那么A=30吗？吗？动脑筋动脑筋12BCAB= =图图1-7
8、如图如图1-7，取线段，取线段AB的中点的中点D，连结，连结CD， 即即CD为为RtABC斜边上的中线斜边上的中线，则有则有CDABBD.12又已知又已知 ，BCAB 12所以所以CD=BD=BC，即，即BDC为等边三角形为等边三角形.所以所以B=60.所以所以A=30.又又A+B=90，图图1-7举举例例如图如图1-8所示，在所示，在A岛周围岛周围20海里海里( (1海里海里=1852m) ) 水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到水域内有暗礁，一轮船由西向东航行到O处时，处时，发现发现A岛在北偏东岛在北偏东60的方向，且与轮船相距的方向，且与轮船相距 海里，若该船继续保持航向不变，有触暗礁的海
9、里，若该船继续保持航向不变，有触暗礁的危险吗？危险吗？30 3图图1-8例例2 解解 轮船在航行过程中，轮船在航行过程中， 如果与如果与A岛的距离始终大于岛的距离始终大于20海里，海里， 则轮船就不会触暗礁则轮船就不会触暗礁.在图在图1-8中，过中，过A点作点作ADOB，垂足为，垂足为D.北北东东BD6030 3 图图1-8所以轮船不会触礁所以轮船不会触礁.在在RtAOD中，中， 海里，海里，AOD=30.于是于是 =30 3AO1= 2= 130 3225.98ADAO . ( )( )海海里里 20（海里海里）练习练习1. .如图是某商店营业大厅电梯示意图如图是某商店营业大厅电梯示意图.电
10、梯电梯AB的的倾斜角为倾斜角为30，大厅两层之间的距离，大厅两层之间的距离BC为为6米米.你能算出电梯你能算出电梯AB的长度吗？的长度吗？解：解：在在RtABC中中,BC=6 , BAC=30, AB=2BC=26=12( (m).). 故电梯故电梯AB的长度为的长度为12m.ABC2. 如图，在如图，在RtABC中，中，ACB = 90，CD垂直于垂直于 AB，垂足为点，垂足为点D， ，求，求A的度数的度数.12DBBC= =又在又在RtABC中，中，ACB=90，解：解： 在在RtBDC中，中，BDC= 90， ， BCD=30.12DB =BC A= 90- - 60= 30. B= 60.中考中考 试题试题例例 如图所示，在锐角三角形如图所示，在锐角三角形ABC中，中，CD，BE分别是分别是AB，AC边上的高，且边上的高，且CD，BE交于一点交于一点P，若，若A=50，则，则BPC的度的度数是数是（ ）. . A. .150 B.130 C.120 D.100因为因为BE，CD是是ABC的高，的高，所以所以BDP=90，BEA=90.又又A=50 ，所以所以ABE=90- -A=90- -50= 40.所以所以BPC =ABE +BDP = 90 + 40= 130.故应选择故应选择B.解解B结结 束束