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1、推推 理理合情推理合情推理（或然性推理）（或然性推理）演绎推理演绎推理（必然性推理）（必然性推理）归纳归纳（部分到整体、（部分到整体、特殊到一般）特殊到一般）类比类比（特殊到特殊）（特殊到特殊）三段论三段论（一般到特殊）（一般到特殊）本节知识结构本节知识结构问题提出问题提出 1. 1.推理是人们思维活动的过程，在日推理是人们思维活动的过程，在日常活动和科学研究中，我们必须要通过常活动和科学研究中，我们必须要通过推理来思考问题推理来思考问题. . 2. 2.推理是根据一个或几个已知的判断推理是根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程，在一来确定一个新的判断的思维过程，在一定的条件和背
2、景下，我们常通过定的条件和背景下，我们常通过推理推理提提出问题，发现结论，引出性质出问题，发现结论，引出性质. .已知已知判断判断前提前提新新判断判断结论结论实例实例1: 1:前提前提 矩形的对角线的平方等于长和宽的平矩形的对角线的平方等于长和宽的平方和方和.结论结论 长方体的对角线的平方等于长、宽、长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和。高的平方和。实例实例2：前提前提所有的树都是植物，所有的树都是植物，梧桐是树。梧桐是树。梧桐是植物。梧桐是植物。结论结论 思考思考1：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥肺呼吸的，海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼
3、吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜴是用肺呼吸的，蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的蜥蜴都是爬行动物，所以，所有的爬行动物都是用肺呼吸的。爬行动物都是用肺呼吸的。探究（一）：探究（一）： 思考思考2 2：我们知道，三角形的内角和为我们知道，三角形的内角和为180180，四边形的内角和为，四边形的内角和为360360，五边，五边形的内角和为形的内角和为540540，由此归纳猜想，由此归纳猜想，n n边形的内角和为多少度？边形的内角和为多少度？(n(n2)1802)180 思考思考3:3:观察下图观察下图, ,可以发可以发现现1+3+(2n1)=n21+3=4=22，1+3+5=9=32，1+3+
4、5+7=16=42，1+3+5+7+9=25=52问：在逻辑上，上述推理称为归纳推理问：在逻辑上，上述推理称为归纳推理（简称归纳），那么归纳推理的含义是什（简称归纳），那么归纳推理的含义是什么？么？归纳推理归纳推理 由某类事物的由某类事物的部分对象部分对象具有某种性质具有某种性质, ,推推出该类事物的出该类事物的全部对象全部对象都具有这种性质都具有这种性质, ,或者由或者由个别事实个别事实概括出概括出一般性的结论一般性的结论, ,这这样的推理称为样的推理称为归纳推理归纳推理( (简称简称归纳归纳). ). 你能举出归纳推你能举出归纳推理的例子吗理的例子吗? ?问：问：归纳推理的思维过程大致分哪
5、归纳推理的思维过程大致分哪几个步骤？几个步骤？实验、观察实验、观察概括、推广概括、推广猜测一般结论猜测一般结论.例例1 1 观察观察下列等式下列等式3+7=103+7=10， 3+17=203+17=20，13+17=3013+17=30，归纳出归纳出一个规律：一个规律：偶数偶数=奇质数奇质数+ +奇质数奇质数 通过更多通过更多特例的检验特例的检验, ,从从6 6开始开始, ,没有出现反例没有出现反例. .大胆猜想大胆猜想: 任何一个任何一个不小于不小于6 6的的偶数都等于两个奇偶数都等于两个奇质数的和质数的和. .10=3+7 10=3+7 ， 20=3+1720=3+17，30=13+17
6、.30=13+17.) 3,(221nNnppn3212pppn陈氏定理陈氏定理19661966年，我国数学家陈景润证明了年，我国数学家陈景润证明了“每一个充分大的偶数都能够表示每一个充分大的偶数都能够表示为一个素数及一个不超过两个素数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和的乘积之和”（简称（简称“1 12”2”）这）这一结论十分接近歌德巴赫的解，被一结论十分接近歌德巴赫的解，被国际上称为国际上称为“陈氏定理陈氏定理”歌德巴赫猜想：歌德巴赫猜想：任何大于任何大于4的偶数都可以表示为两个的偶数都可以表示为两个素数的和（简称素数的和（简称1+1）6=3+3,8=3+5, 10=3+7,12=5+
7、7,14=7+7, 16=3+13, 18=7+11,20=3+17猜想：猜想：练习练习: :前提前提:当当n=0时时,21111;nn- -+ += =当当n=1时时,21111;nn- -+ += =当当n=2时时,21113;nn- -+ += =当当n=3时时,21117;nn- -+ += =当当n=4时时,21123;nn- -+ += =当当n=5时时,21131;nn- -+ += =11,11,13,17,23,31都是质数都是质数.结论：结论：对于所有的自然数对于所有的自然数n,211nn- -+ +都是质数都是质数.归纳推理的主要特点：归纳推理的主要特点：（1）归纳推理的
8、前提是几个已知的特殊现象，）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是未知的一般现象，该结论超归纳所得的结论是未知的一般现象，该结论超越了前提所包含的范围。越了前提所包含的范围。（2）结论的真实性还有待证明或否定。）结论的真实性还有待证明或否定。（3）归纳推理是一种具有创造性的推理。）归纳推理是一种具有创造性的推理。例如：欧拉多面体公式的发现：例如：欧拉多面体公式的发现：应用归纳推理可以应用归纳推理可以发现新事实发现新事实, ,获得新结论获得新结论! ! 从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次（后人称鲁班，被认
9、为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子桩倒霉事却使他发明了锯子. .他的思路是这样的：他的思路是这样的：茅草是齿形的茅草是齿形的；茅草能割破手茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的它也可以是齿形的.情景创设情景创设1 1：火星火星地球地球相似点相似点: :绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变绕太阳运转、绕轴自转、有大气层、有季节变换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的换、大部分时间的温度适合地球上的某些已知生物的生存等。生存等。地球上有生命地球上有
10、生命火星上可能有生命火星上可能有生命上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）上述推理是怎样的一个过程呢？（步骤）情景创设情景创设2 2：猜想猜想 地球地球 火星火星 行星、围绕太阳运行、行星、围绕太阳运行、绕轴自转绕轴自转行星、围绕太阳运行、行星、围绕太阳运行、绕轴自转绕轴自转 有大气层有大气层 有大气层有大气层一年中有季节的变更一年中有季节的变更温度适合生物的生存温度适合生物的生存一年中有季节的变更一年中有季节的变更大部分时间的温度适合地大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存球上某些已知生物的生存有生命存在有生命存在可能有生命存在可能有生命存在类比推理类比推理: 根据两类不同事物之间具有某
11、些类似根据两类不同事物之间具有某些类似或一致性或一致性,推测其中一类事物具有与另推测其中一类事物具有与另一类事物类似或相同的性质的推理，一类事物类似或相同的性质的推理，叫做叫做类比推理类比推理.思维过程思维过程:观察、比较观察、比较联想、类比联想、类比猜测新的结论猜测新的结论举例举例（1）人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞行原理，发明了飞机；行原理，发明了飞机；（2）仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原）仿照鱼类的外形和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水艇；等等理，发明了潜水艇；等等. 特点特点：1、是由特殊到特殊的推理。、是由特殊到特殊的推理。2、类比推理具有猜
12、测性，不一定可靠。、类比推理具有猜测性，不一定可靠。3、类比是从人们已经掌握了的事物的、类比是从人们已经掌握了的事物的属性属性,推测正在研究的事物的属性推测正在研究的事物的属性,是以是以旧有的认识为基础旧有的认识为基础,类比出新的结果类比出新的结果.例例2 2：类比圆的特征，下表中球的相关特征分类比圆的特征，下表中球的相关特征分别是什么？别是什么？ 球的方程球的方程(x(xx x0 0) )2 2(y(yy y0 0) )2 2(z(zz z0 0) )2 2r r2 2与球心距离相等的两截面积相与球心距离相等的两截面积相等，与球心距离不等的两截面等，与球心距离不等的两截面积不等，距球心较近的
13、截面积积不等，距球心较近的截面积较大较大.球心与截面（非大圆）圆心的球心与截面（非大圆）圆心的连线垂直于截面连线垂直于截面球的体积球的体积球的面积球的面积圆的方程为圆的方程为(x(xx x0 0) )2 2 (y(yy y0 0) )2 2r r2 2与圆心距离相等的两弦相与圆心距离相等的两弦相等，与圆心距离不等的两等，与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦弦不等，距圆心较近的弦较长较长. .圆心与弦（非直径）中点圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦的连线垂直于弦圆的面积圆的面积圆的周长圆的周长球的类似概念和性质球的类似概念和性质圆的概念和性质圆的概念和性质3 34 4V = RV = R3
14、 32 2S = 4RS = 4R S = 2RS = 2R2 2S =RS =R12)nnaadn（()nmaanm d11()2(1)2nnn aaSn nnad1:2)nnaaq n（n mnmaa q11(1)(1)(1)1nnnaqSaqqq1(1)naand11nnaa q22nmn maaa 22nmn maaa 2baab232,mmmmmSSSSS232,mmmmmSSSSS归纳总结；归纳总结；常见的类比思想：常见的类比思想：正方形正方形正方体正方体长方体长方体球球三棱锥三棱锥长方形长方形圆圆三角形三角形空间向量空间向量复数复数平面向量平面向量实数实数.练习练习1 1、试根据
15、等式的性质试根据等式的性质猜想猜想不等式的性质不等式的性质. .等等 式式不等式不等式(1) a=b a+c=b+cab a+cb+c(2) a=b ac=bcab acbcab a2b2(3) a=b a2=b2等等等等解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：解：等式与不等式有不少相似的属性，例如：问：这样猜想出的结论是否一定正确？问：这样猜想出的结论是否一定正确？猜想猜想猜想猜想猜想猜想数学应用：DABC2222BCDABCACDAD BSSSS 小结作业小结作业 1.1.归纳推理是由部分到整体，由个别归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理，应用归纳推理可以发现到一般的推理，应用归纳推
16、理可以发现某类事物的一般规律，获得新结论，但某类事物的一般规律，获得新结论，但它不能作为数学证明的方法它不能作为数学证明的方法. . 2.2.类比推理是由特殊到特殊的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理，它可以由已经解决的问题和获得的结论它可以由已经解决的问题和获得的结论出发，通过类比而提出新问题和作出新出发，通过类比而提出新问题和作出新发现，但它也不能作为数学证明的方法发现，但它也不能作为数学证明的方法. . . 3. 3.由归纳推理和类比推理得到的结论由归纳推理和类比推理得到的结论只是一种猜想，所得的结论不一定正确，只是一种猜想，所得的结论不一定正确，但可以为我们的研究提供一种思路和方但可以
17、为我们的研究提供一种思路和方向向. . 3个面两两垂直的四面体个面两两垂直的四面体C903个边的长度个边的长度a，b，c 2条直角边条直角边a，b和和1条斜边条斜边cPDFPDEEDF90 4个面的面积个面的面积S1，S2，S3和和S 3个个“直角面直角面” S1，S2，S3和和1个个“斜面斜面” S巩固练习巩固练习2.2.利用平面几何的基本定理类利用平面几何的基本定理类比比得到得到空间几何的基本定理空间几何的基本定理. .平面内平面内平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行（空间）（空间）平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线的两条直线平行平面内平面内垂至于同一条
18、直线的两条直线平行垂至于同一条直线的两条直线平行（空间）（空间）垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行巩固练习巩固练习3.3.平面上有平面上有n n（nNnN*，n2n2）条直线，其中任意两条都相交，任意三条直线，其中任意两条都相交，任意三条不共点，试推测：这条不共点，试推测：这n n条直线一共有多条直线一共有多少个交点少个交点. .(1)2n n- 巩固练习巩固练习4.在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,A(x1,y1),B(x2,y2)两点之间的距离两点之间的距离 公式为公式为:|AB|=221221)()(yyxx在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)两点之间的距离两点之间的距离 公式为公式为:|AB|=221221221)()()(zzyyxx推广到空间，相应结论是：推广到空间，相应结论是：5.已知三角形的面积为已知三角形的面积为 其中其中a、b、c 为三角形边长，为三角形边长，r 为内为内 切圆的半径。利用类比推理写出四面体切圆的半径。利用类比推理写出四面体 的体积公式。的体积公式。rcbaS)(21rssssV)(314321