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1、v主讲老师 潘学国第三课时第三课时组合与组合数公式组合与组合数公式问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天名去参加某天的一项活动，其中的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1 1名同学名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天名去参加某天的一项活动，有多少种不同的选法？的一项活动，有多少种不同的选法？情境创设情境创设思考：思考：这两个问题有什么区别与联系？这两个问题有什么区别与联系？6 6= =A
2、 A2 23 3甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3种种从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素, ,合成一组合成一组. .问题问题2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 , ,按照一定按照一定的顺序排的顺序排成一列成一列. .问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序新知探究新知探究 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素合成一组合成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有
3、什么共同点与不同点？同点与不同点？ 组合定义组合定义新知探究新知探究组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个个元素元素合成一组合成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个元素的一个个组合组合排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m 个元素的一个个元素的一个排列排列. .共同点共同点: : 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个
4、元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. .新知探究新知探究思考一思考一: :ab与与ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二: :两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点? ?两个相同的组合呢两个相同的组合呢? ?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同 构造排列分成两步完成，先取后排；而构造构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤组合就是其中一个步骤.思考三思考三: :组合与排列有联系吗组合与排列有联
5、系吗? ?新知探究新知探究判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有个元素的子集有多少个多少个? ?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组, ,共有共有多少种分法多少种分法? ?组合问题组合问题
6、(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手共需握手多少次多少次? ?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个游览个游览, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个, ,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序, ,有多少种不同的方法有多少种不同的方法? ?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果是选择后再排序的结果.练习巩固练习巩固 从从n个
7、不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .mnC如如: :从从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是组合个数是: :组合数定义组合数定义 是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC新知探究新知探究323=C写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc ， abd ， acd ， bcd .bc
8、ddcbacd新知探究新知探究434=C 前面已经提到，组合与排列有相互前面已经提到，组合与排列有相互关系，我们能否利用这种关系，通过排关系，我们能否利用这种关系，通过排列数列数 来求组合数来求组合数 呢？呢？mnAmnC 如从如从a,b,c,d 四个元素中任取三个四个元素中任取三个元素的所有组合数元素的所有组合数 ，如何通过排，如何通过排列数列数 来计算呢？来计算呢？ 34C34A新知探究新知探究组合组合排列排列abcabdacdbcdabc bac cabacb bca cbaabd bad dabadb bda dbaacd cad dacadc cda dcabcd cbd dbcbd
9、c cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了你发现了什么什么?新知探究新知探究可分两步考虑：求P34PPC333434 34A求可分两步考虑：mnC如何计算如何计算: :新知探究新知探究3344 CA根据分步计数原理，根据分步计数原理， = ,34C第一步，第一步， （=4）个）个；33A第二步，第二步， （=6）个；）个；A33334343ACA从而从而 = .组合数公式组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：因此：因此： 一般地，求从一般地
10、，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下2步：步： nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素个元素的组合数的组合数 mnCnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mmAmmmmnmnACA=()()()! !mm1 1+ +mm- -n n 2 2- -n n1 1- -n nn n= =A AA A= =C Cmmmmmmn nmmn n 这里这里 ，且，且 ，这个公式叫做，这个公式叫做 * Nnm、nm 新知探究新知探究组合数公式组合数公式: : 从
11、从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 新知探究新知探究mmmnmnACA=()()()! !mm1 1+ +mm- -n n 2 2- -n n1 1- -n nn n= =A AA A= =C Cmmmmmmn nmmn n)!( !mnmnCmn-=01.nC我们规定：=例例1：.CCmnmnmnm1-1:+=求证,! - :）（！证明mnmnCmn=)!()!(!1-1 -1-11mnmnmnmmnmCmn+=+)!)(!)!(1- 11mnmnnmm+=.! )( !Cmnmnmn= - 典例剖析典例剖析计算：计算： 47C 710C32(3) , nnn
12、CA已知求(4)求求38-n3n3n21+nC+C的值.练习巩固练习巩固=典例剖析典例剖析120310=C解：（1）120710=C（2）思考一思考一:为何上面两个不同的组合数其结果相同？为何上面两个不同的组合数其结果相同？ 这这一结果的组合的意义是什么？一结果的组合的意义是什么？ 从从1010个元素中取出个元素中取出7 7个元素后，还剩下个元素后，还剩下3 3个元素，个元素，就是说，从就是说，从1010个元素中每次取出个元素中每次取出7 7个元素的一个组合，个元素的一个组合，与剩下的与剩下的3 3个元素的组合是一一对应的个元素的组合是一一对应的. .因此，从因此，从1010个个元素中取元素中
13、取7 7个元素的组合，与从这个元素的组合，与从这1010个元素中取出个元素中取出3 3个个元素的组合是相等的元素的组合是相等的. .731010CC 即即：新知探究新知探究=又如又如:在在5个元素个元素a、b、c、d、e中中取取3 3个元素个元素的组合：的组合：取取2 2个元素个元素的组合：的组合：abcabeaceabdbcecdeadebcdbdeacddece cdbebd ae ad ab ac bc 从从5个不同元素中个不同元素中每次取出每次取出3个元素的一个组合，个元素的一个组合，总与剩下的二个元素的组合之间构成一一对应。总与剩下的二个元素的组合之间构成一一对应。因此因此从从5个不
14、同元素中每次取出个不同元素中每次取出3个元素的组合数，与从中个元素的组合数，与从中取出剩余取出剩余2个元素的组合数是相等的个元素的组合数是相等的.3255CC 即即新知探究新知探究= 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素后，剩下个元素后，剩下n-m个元素因为从个元素因为从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的每个元素的每一个组合，一个组合，与剩下的与剩下的n-m个元素的每一个组合一一对个元素的每一个组合一一对应，应，所以从所以从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合数，等个元素的组合数，等于从这于从这n个元素中取出个元素中取出n -m个元素的组合数个元
15、素的组合数. 即即另一证明：另一证明：根据组合数公式有根据组合数公式有新知探究新知探究mnnmnCC-=)!( !mnmnCmn-=!)!(!)!()!(!mmnnmnnmnnCmnn-=+=mnnmnCC-= (1) (1) 当当m 时时, , 计算计算 可改为计算可改为计算 2nCmn注：注：(2) 规定规定组合数性质组合数性质1 1：新知探究新知探究mnnmnCC-=mnnC-10=nC练习练习1 1：计算：计算97100C161700190练习巩固练习巩固练习练习2 2：已知：已知 ，求，求x的值。的值。725225+=xxCCX=6或或7练习练习3 3：已知：已知 ，求，求 。414
16、ttCC=tC20从上例可以发现一个结论：从上例可以发现一个结论：对上面的发现对上面的发现(等式等式)一般性结论应怎样？证明你的猜想一般性结论应怎样？证明你的猜想?证明证明: :从从n+1+1个元素中取出个元素中取出m个元素的组合，可以看成个元素的组合，可以看成从从n+1+1个元素中分两类抽取，其中个元素中分两类抽取，其中一类是含一类是含元素元素 时时抽取抽取m-1-1个即个即 ，另一类是不含另一类是不含元素元素 时抽取时抽取m个即个即 ，由分类计数原理有：，由分类计数原理有： . .1a1amnC新知探究新知探究372738CCC+=1-1mnmnmnCCC+=+1-mnC1-1mnmnmn
17、CCC+=+注注:1 公式特征：下标相同而上标差公式特征：下标相同而上标差1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数较大的相同的一个组合数 2 此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要应用时，我们会看到它的主要应用CCCmnmnmn11-+=+组合数性质组合数性质2 2：新知探究新知探究1、计算、计算9897100100CC3、计算、计算1666501666492002练习巩固练习巩固=2、计算、计算=+ +2100252423CCCC=+ +913261504CCCC课时小结课时小结: :排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系1： P25 练习练习1、5、62： P27 A组组 23：资料：资料作业布置作业布置