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1、v主讲老师 潘学国 在在1.1节的例节的例9中我们看到，用分中我们看到，用分步乘法计数原理解决这个问题时，步乘法计数原理解决这个问题时，因做了一些重复性工作而显得繁琐。因做了一些重复性工作而显得繁琐。能否对这一类计数问题给出一种简能否对这一类计数问题给出一种简捷的方法呢捷的方法呢?第一课时第一课时排列与排列数公式排列与排列数公式问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项名参加一项活动，其中活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参名同学参加上午的活动，另名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？加下午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2：从从1，2，3，4这
2、这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？ 上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的上面两个问题有什么共同特征？可以用怎样的数学模型来刻画？数学模型来刻画？ 为了寻求简便的计数方法，我们先来分为了寻求简便的计数方法，我们先来分析这类问题的两个简单例子。析这类问题的两个简单例子。探究：探究：问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项名参加一项活动，其中活动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？加下午的活动，有
3、多少种不同的选法？分析：分析：把题目转化为从甲、乙、丙把题目转化为从甲、乙、丙3 3名同学中选名同学中选2 2名，名，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，求一共有多少种不同的排法？顺序排列，求一共有多少种不同的排法？ 上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙甲丙甲丙甲乙甲乙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙第一步：确定参加上午活动的同学即从第一步：确定参加上午活动的同学即从3 3名中任名中任 选选1 1名，有名，有3 3种选法；种选法；第二步：确定参加下午活动的同学，有第二步：确定参加下午活动的同学，有
4、2 2种方法。种方法。根据分步计数原理：根据分步计数原理：3 32=6 2=6 即共即共6 6种方法。种方法。 把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素，于于是问题就可以叙述为：是问题就可以叙述为： 从从3 3个不同的元素个不同的元素a,b,ca,b,c中任取中任取2 2个，然后按个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？列方法？ab, ac, ba, bc, ca, cb问题问题1 1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1 1名同学参加上午的活动，
5、另名同学参加上午的活动，另1 1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？问题问题2:从从1，2，3，4这这4个数字中，每次取出个数字中，每次取出3个个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？第步，确定百位上的数字，有第步，确定百位上的数字，有4种方法种方法第步，确定十位上的数字，有第步，确定十位上的数字，有3种方法种方法第步，确定个位上的数字，有第步，确定个位上的数字，有2种方法种方法 根据分步乘法计数原理，共有根据分步乘法计数原理，共有 43224 种不同种不同的排法。如下图所示的排法。如下图所示12
6、34443322444333111244431112224333111222由此可写出所有的三位数：由此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143; 213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342; 412，413，421，423，431，432。 同样，问题可以归结为：同样，问题可以归结为：从个不同的元素从个不同的元素a，b，c，d中任取个，然中任取个，然后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排后按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？列方法？abc，abd，acb，acd，adb，adc; bac，bad
7、，bca，bcd，bda，bdc;cab，cad，cba，cbd，cda，cdb;dab，dac，dba，dbc，dca，dcb.问题问题2:从从1，2，3，4这这4个数字中，每次取出个数字中，每次取出3个个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？思考？思考？ 上述问题上述问题1、2的共同特点是什么？你能将的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？它们推广到一般情形吗？(1)有顺序的；有顺序的；(2)不论是排列之前，还是之后，所有的元素不论是排列之前，还是之后，所有的元素都不相同。都不相同。基本概念基本概念思考：思考：你能归纳一下排列的特征吗
8、？你能归纳一下排列的特征吗？1、元素不能重复。、元素不能重复。n个中不能重复，个中不能重复，m个中也不能重复。个中也不能重复。2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。而且元素的排列顺序也完全相同。4、mn时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，mn时的排列叫全排列。时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，最好采用、为了使写出的所有排列情况既不重复
9、也不遗漏，最好采用“树形图树形图”。 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素个不同元素中取出中取出m个元素的一个个元素的一个 练习练习1 1：下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3）从）从2,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4）从）从2,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5）20位同学互通一次电
10、话位同学互通一次电话（6）20位同学互通一封信位同学互通一封信（7 7）以圆上的）以圆上的1010个点为端点作弦个点为端点作弦（8）以圆上的）以圆上的10个点中的某一点为起点，作过另一个点的射个点中的某一点为起点，作过另一个点的射线，共可以作多少条射线？线，共可以作多少条射线？（9）有）有10个车站，共需要多少种车票？个车站，共需要多少种车票？（10）有）有10个车站，共需要多少种不同的票价？个车站，共需要多少种不同的票价？是是是是是是是是是是否否否否否否否否否否练习练习2：写出写出（1）从）从4个不同个不同 元素元素a、b、c、d中任取中任取2个个元素的所有排列；元素的所有排列；（2）从）从
11、5个不同个不同 元素元素a、b、c、d、e中任中任取取2个元素的所有排列；个元素的所有排列；ab，ac，ad，bc，bd，cd，ba，ca，da，cb，db，dcab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，deba，ca，da，ea，cd，db，eb，dc，ec，ed思考？思考？ 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素，）个元素，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？排列方法？ 从从n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n个不同的元素中个不同的元素
12、中取出取出m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。mmn nA A“排列排列”和和“排列数排列数”有什么区别和联系？有什么区别和联系？排列数，而不表示具体的排列。排列数，而不表示具体的排列。所有排列的个数，是一个数；所有排列的个数，是一个数；mn“排列数排列数”是指从是指从 个不同元素中，任取个不同元素中，任取个元素的个元素的mnA所以符号所以符号只表示只表示nm“一个排列一个排列”是指：从是指：从个不同元素中，任取个不同元素中，任取按照一定的顺序排成一列，不是数；按照一定的顺序排成一列，不是数；个元素个元素问题中是求从个不同元素中取出个元素的排问题中是求从个不同元素中取出
13、个元素的排列数，记为列数，记为 ,已经算得已经算得 .23A问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的排列数，个元素的排列数，记为，已经算出记为，已经算出 .34A探究：探究：从从n个不同元素中取出个不同元素中取出2个元素的排列数个元素的排列数 是多少？是多少？2nA6 6= =2 2 3 3= =A A2 23 32424= =2 2 3 3 4 4= =A A3 34 4()1 1- -n nn n= =A A2 2n n第第1 1位位第第2 2位位nn-1呢呢？mnA呢呢？3nA 第第1位位第第2位位第第3位位第第m位位n种种(n-1)种种(n-2)种种(n-
14、m+1)种种()()2 2- -n n1 1- -n nn n= =A A3 3n n()() ()1 1+ +mm- -n n. . . .2 2- -n n1 1- -n nn n= =A Ammn n第第1 1位位第第2 2位位第第3 3位位n-2nn-1n n) ) mmN N* *, , n n( (mm, , 1 1) )+ +mm- -( (n n2 2) )- -1 1) )( (n n- -n n( (n n= =A Ammn n （1）第一个因数是第一个因数是n，后面每一个因数比它，后面每一个因数比它前面一个因数少前面一个因数少1（2）最后一个因数是最后一个因数是nm1（3
15、）共有共有m个因数个因数观察观察排列数公式有何特征：排列数公式有何特征：就是说，个不同元素全部取出的排列数，等就是说，个不同元素全部取出的排列数，等于正整数到的连乘积，正整数到的连乘积，于正整数到的连乘积，正整数到的连乘积，叫做叫做的阶乘的阶乘，用，用!表示。表示。个不同元素全部取出的一个排列，叫做个个不同元素全部取出的一个排列，叫做个元素的一个全排列，这时公式中的，即有元素的一个全排列，这时公式中的，即有另外，我们规定另外，我们规定 0!0!1 11 12 23 32 2) )- -1 1) )( (n n- -n n( (n n= =A An nn n 例例1: 计算计算; ; A A(
16、(1 1) )4 41 10 01 10 02 28 81 16 60 0= =1 12 21 12 21 13 31 12 21 13 31 17 71 18 8= = A AA A( (3 3) )1 13 31 13 31 18 81 18 8. . ( (3 3) )A AA A1 13 31 13 31 18 81 18 8； ( (2 2) ) A A5 51 18 8; ; 5 50 04 40 0= =7 78 89 91 10 0= = ( (1 1) ) A A4 41 10 0解解: 1 10 02 28 81 16 60 0= =1 14 41 15 51 16 61
17、17 71 18 8= = ( (2 2) ) A A5 51 18 8你发现什么了吗？你发现什么了吗？公式变形：公式变形：mm) )! !( (n nn n! != =A Ammn n-说明：说明：1、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用、排列数公式的第一个常用来计算，第二个常用来证明。来证明。2、对于、对于 这个条件要留意，往往是解方程时的这个条件要留意，往往是解方程时的隐含条件。隐含条件。nm 由（由（2 2）（）（3 3）我们看到，）我们看到， 。那么，。那么，这个结果有没有一般性呢？这个结果有没有一般性呢？1 13 31 13 31 18 81 18 85 51 18 8A A
18、A A= =A A例例2 2：解方程解方程2 2x x3 32 2x x1 10 00 0A A= =A A解：原方程可化为解：原方程可化为2x(2x-1)(2x-2)=100 x(x-1) x0,x1 2x-1=25解得解得x=13 经检验经检验x=13 是原方程的根。是原方程的根。 例例3 3：若若 ，则则14174 4 5 5 1 15 5 1 16 6 1 17 7= =A Ammn nm=_，n=_.例例6：化简：化简：1!22!+33!+nn!例例4 4：求证求证1 1- -mmn nmmn nmm1 1n n+ +mmA A+ +A A= =A A例例5:5:求求 的值的值. .
19、1 1n n+ +4 43 3n n+ +2 2n nA A+ +A A 例例7 7：某年全国足球甲级某年全国足球甲级A A组联赛共有组联赛共有1414个队参个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？共进行多少场比赛？解：解：14个队中任意两队进行个队中任意两队进行1次主场比赛与次主场比赛与1次次客场比赛，对应于从客场比赛，对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是一个排列，因此，比赛的总场次是1821314214=A例例2 2：(1)(1)从从5 5本不同的书中选本不同的书中选3
20、3本送给本送给3 3名同学，每人名同学，每人各各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？ (2)(2)从从5 5种不同的书中买种不同的书中买3 3本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？ = 5= 54 43= 603= 60A 35被选元素可重复选取，不是排列问题！被选元素可重复选取，不是排列问题！5 55 55= 1255= 125“从从5个不同元素中选出个不同元素中选出3并按顺序排列并按顺序排列”练习练习2 2：310A38A1.1.计算：（计算：（1 1）；（；（2 2）；(3)(3). . A A- -
21、A A2 28 84 48 82 2计算下面的阶乘数，并填入下表中：计算下面的阶乘数，并填入下表中：n n2 23 34 45 56 67 78 8n!n!3.3.若若, ,则则用排列数符号表示用排列数符号表示_6969= =n n+ +且55且55, ,N N n n* *n)n)- -n)(69n)(69- -(68(68n)n)- -n)(56n)(56- -(55(55 课时小结课时小结: : 排列问题，是取出排列问题，是取出m个元素后，还要按一定个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的的顺序排成一列，取出同样的m个元素，只要个元素，只要，就视为完成这件事的两种不同的方，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）法（两个不同的排列） 由排列的定义可知，由排列的定义可知，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所题当元素较少时，可以根据排列的意义写出所有的排列有的排列 1： P20 练习练习1、2、3、42： P27 A组组 1、33：资料：资料作业布置作业布置