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1、1.2.1函数的概念函数的概念1.函数的定义函数的定义:3.求函数定义域求函数定义域(1)自然定义域自然定义域:使函数解析式有意义的自变量使函数解析式有意义的自变量的一切值的一切值; (2)限定定义域限定定义域:受某种条件制约或有附加条件受某种条件制约或有附加条件的定义域应用问题、几何问题中的函数定义的定义域应用问题、几何问题中的函数定义域域,要考虑自变量的实际意义和几何意义要考虑自变量的实际意义和几何意义.2.2.函数的三要素函数的三要素: :定义域、值域、对应关系定义域、值域、对应关系. . 判断函数是否相同判断函数是否相同只需看其定义域和只需看其定义域和对应关系是否一致对应关系是否一致1
2、.2.1函数的概念函数的概念若若f( (x) )是整式是整式, ,则函数的定义域为则函数的定义域为R; ;若若f( (x) )是分式是分式, ,函数的分母不为零函数的分母不为零; ;偶次根式的被开方数非负偶次根式的被开方数非负; ;零的零次方没有意义零的零次方没有意义; ;组合型函数的定义域是各个初等函数定组合型函数的定义域是各个初等函数定 义域的交集义域的交集. .当函数当函数y=f(x)是用表格给出时是用表格给出时,函数的定义函数的定义域是指表格中实数的集合域是指表格中实数的集合.当函数当函数y=f(x)是用图象给出时是用图象给出时,函数的定义域函数的定义域是指图象在是指图象在x轴上投影所
3、覆盖的实数的集合轴上投影所覆盖的实数的集合.如何确定函数的定义域如何确定函数的定义域?1.2.1函数的概念函数的概念0 xy2210 xy21210 xy2120 xy2121【1】设】设 |02, |12.AxxBxy 下图表示从下图表示从A到到B的函数是的函数是( ).A AD DC CB BD D1.2.1函数的概念函数的概念f(f(1)=_f(a)=_;(1)二次函数二次函数f (x) = x2+x- -2, 当当 x=0时的函数值时的函数值, 表示为表示为 x=- -2时的函数值时的函数值,表示为表示为- -2a2+a - -2=-=-2.0例例3.求函数值求函数值(2)已知已知h(
4、x)=sinx , 则则(30 )_;h (45 )_;h (60 )_.h 122232f(0)=_;f(- -2)=_;f(0) 1.2.1函数的概念函数的概念 注意注意:函数值函数值f(a)表示当表示当x=a时函数时函数(x)的值的值,是一个常数是一个常数;而而f(x)是自变量的函数是自变量的函数,它是一个变它是一个变量量.1,4( ),000,0,xxxxxf （）已已知知. .则则fff(-1)=_.+1例例3.求函数值求函数值(3)已知已知23( ),34xf xx 则则(0)_,f ( 2)_.f 34 1101.2.1函数的概念函数的概念(设设a, b为实数为实数,且且ab)闭
5、区间闭区间: :满足满足axb的实数的实数x的集合的集合,记作记作 a,b开区间开区间: :满足满足axb的实数的实数x的集合的集合,记作记作 (a , b)“”不是一个不是一个 数数,表示无限大的变化趋势表示无限大的变化趋势,因此因此作为端点作为端点, 不用方括号不用方括号.半开半闭区间半开半闭区间: :满足满足axb或或axb的实数的实数x 的集合的集合,分别记作分别记作(a, b,a, b).实数集实数集R R记作记作 (- -,+),1.2.1函数的概念函数的概念(设设a，b为实数为实数, ,且且ab) )不等式不等式集合集合区间区间名称名称axbaxbaxbaxbRxaxbxaxb
6、x | a x b x | a x b x | a x b x | a x b x | xR x | x a x | x b x | x a x | x b ( a , b )( a , b a , b ) a , b (- - , + ) a , + )( , b ( a , + )( , b )开区间开区间半开半闭区间半开半闭区间闭区间闭区间1.2.1函数的概念函数的概念【1】把下列不等式写成区间表示】把下列不等式写成区间表示1. - -2x4 4,记作记作:_；(4, +)3. 5x7,记作记作: ；5,74. 2x5,记作记作: ；2,5)5. 1x3,记作记作: _；(1, 36.
7、x- -10,记作记作:_；(- -,- -107.7.x3,3,记作记作:_:_； 8.8.x- -6,6,记作记作:_ :_ ；(- -, - -6)3,+)10. x|- -2x6x|36x|- -5x14 记作记作_;_;14, 6(- -2,81.2.1函数的概念函数的概念(1) y=2x1(3y 5) ;例例1.求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：解解：矩：矩形的形的另另一一边边长长为为(2) 将长为将长为a的铁丝折成矩形的铁丝折成矩形,求矩形面积求矩形面积y关于关于矩形一边长矩形一边长x的解析式的解析式,并写出此函数的定义域并写出此函数的定义域.2,2ax 22axyx 21
8、2xax 所以所以函数的函数的定义域为定义域为1|0.2xxa|23.xx213,215,xx x此函数有人为限制此函数有人为限制,已知值域反过来求定义域已知值域反过来求定义域.1.2.1函数的概念函数的概念DCABEO2Rxx1、解：设腰长、解：设腰长AD = BC = x， 连结连结BD，则，则ADB是直角。是直角。 作作 DEAB，垂足为，垂足为E，在在Rt ABD中中 AD 2 = AEAB， RxAE22 CD = AB2AE = 2R Rx2周长周长 y 满足的关系式满足的关系式 y = 2R + 2x + ( 2R ) Rx2所求函数式为所求函数式为 y = + 2x + 4RR
9、x2 000CDADAE由由题题 0200222RxRxRxRx20 定义域为定义域为)2, 0(R1.2.1函数的概念函数的概念值域为值域为 _.值域为值域为 _;例例2.2.求下列函数的值域：求下列函数的值域：值域为值域为 _R- -1, 0, 1 (,0 )(0, + )0, + )(1)12 ;yx (2)| 1, 2, 1,0,1,2;yxx 值域为值域为 _2(3);2yx (4)2yx 直接法直接法:由函数解析式直接看出由函数解析式直接看出.1.2.1函数的概念函数的概念例例2.2.求下列函数的值域：求下列函数的值域：720,25x 1.2y 故函数的值域为故函数的值域为11(,
10、)(,).22 解：由解：由17(25)2225xyx 522721 x1(5);25xyx 分离常数法分离常数法:可将其分离出一个常数可将其分离出一个常数.1.2.1函数的概念函数的概念14223xyx 21133xyx 21;31x 72.23x 22(, )( ,).33 (, 2)( 2,). 2(23)723xx 1.2.1函数的概念函数的概念(6)y = x22x+3(1x2)解解: 由由y = ( x 1 ) 2 + 2, 1 x 2,xyo11234561234 由图知由图知:2:2y66.故函数的值域为故函数的值域为 2,6.配方法配方法1.2.1函数的概念函数的概念 【3】
11、已知已知y=2=2x2- -x+5(0+5(0 x1515),求值域求值域.225yxx 解解：39,440.8y 23912().48x1.2.1函数的概念函数的概念(7)1yxx 解：设解：设 1,tx 则则 x = 1- - t 2 且且 t 0. y = 1- - t 2 + t 251().24t tyo由图知：由图知：5.4y 5(,.4 故函数的值域为故函数的值域为换元法换元法:利用换元化单一函数利用换元化单一函数1.2.1函数的概念函数的概念423413.yxx 134 x解：设解：设 t = 04132 ttx且且则则tty 3213227212 tt3)1(212 t xy
12、o由图知：由图知：7.2y 故函数的值域为故函数的值域为),27 1.2.1函数的概念函数的概念(8) y=|x+1|1x|解：由解：由 y = | x + 1 | | x 1 |当当x1时时,y=(x+1)+(x1)=2;当当1 1x 1 1时时,y=(,y=(x+1)+(+1)+(x-1) = 2-1) = 2x; ;当当x1时时,y=(x+1)(x1 )=2. 222xy1111 xxxxy1122o由图知由图知:2y2.故函数的值域为故函数的值域为2, 2 .数形结合法数形结合法:利用图象利用图象1.2.1函数的概念函数的概念利用观察法；利用观察法；分离常数法；分离常数法；求函数的值域
13、，常用以下方法：求函数的值域，常用以下方法：数形结合法；数形结合法；利用配方法；利用配方法；换元法；换元法；(1)已知已知 y= =2x2 2- -x+5(0+5(0 x1515),求值域求值域.(2) y = | 2x+1 | + | x 2 | 1(3) 25xyx (4) y=2-3413xx 1.2.1函数的概念函数的概念(1)已知已知y=f(2x+1)的定义域为的定义域为- -1,1,求求:f(x)的定义域；的定义域； 解解: - -1x1, - -12x+13. 函数函数f(x)的定义域为的定义域为:- -1,3.(3) f(x)的定义域为的定义域为(- -2,3,求求f(2x- -1)的定义域的定义域.(2)(2)已知已知f( (x) )的定义域为的定义域为0,2,0,2,求求f(2(2x) )的定义域的定义域. .解解: :由题由题02x2, 0 x1.故故f(2x)的定义域为的定义域为0,1.(4)已知已知y= =f(x+3)的定义域为的定义域为 1,3 ,求求:f(x)的定义域的定义域. 令令t= =2x+ +1,则则- -1t3. f(t)的的定义域为定义域为 - -1,3.1(3) (,22 (4) 4,6例例3.求下列函数的定义域求下列函数的定义域.