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1、1.2.1 1.2.1 函数的概念函数的概念1.在初中我们学习了哪几种基本函数？其在初中我们学习了哪几种基本函数？其函数解析式分别是什么？函数解析式分别是什么？问题提出2.2.初中对函数概念是怎样定义的？初中对函数概念是怎样定义的？ 在一个变化过程中，如果有两个变量在一个变化过程中，如果有两个变量x x与与y y，并且，并且对于对于x x的每一个确定的值，的每一个确定的值，y y都有都有唯一确定唯一确定的值与的值与其对应，那么我们就说其对应，那么我们就说x x是自变量是自变量，y y是是x x的函数的函数. . 一次函数： ；二次函数： ； 反比例函数：)0( kxky)0(2acbxaxy)
2、0( kbkxy知识探究（一）知识探究（一） 一枚炮弹发射后，经过一枚炮弹发射后，经过26s26s落到地面击中落到地面击中目标目标. .炮弹的射高为炮弹的射高为845m845m，且炮弹距离地面，且炮弹距离地面的高度的高度h h（单位：（单位：m m）随时间）随时间t t（单位：（单位：s s）变）变化的规律是：化的规律是：h h130t-5t130t-5t2 2. . 思考：这里的变量思考：这里的变量t t的变化范围是什么？变量的变化范围是什么？变量h h的变化范围的变化范围是什么？试用集合表示？是什么？试用集合表示？At|0t26，Bh|0h845知识探究（二）知识探究（二）近几十年来，大气
3、层中的臭氧迅速减少，因而近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题出现了臭氧层空洞问题. . 下图中的曲线显示了下图中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从南极上空臭氧层空洞的面积从1979197920012001年的年的变化情况变化情况. . S（106km2）15t（年）51979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 200101020253026思考思考1 1：根据曲线分析，时间根据曲线分析，时间t t的变化范围是什的变化范围是什么？臭氧层空洞面积么？臭氧层空洞面积S S的变化范围是什么？试的变化范围是什么
4、？试用集合表示？用集合表示？At|1979t2001；Bs|0s26思考思考2 2：时间变量时间变量t t与臭氧层空洞面积与臭氧层空洞面积S S之间的对之间的对应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？应关系是否为函数？若是，其自变量是什么？思考思考3 3：这里表示函数关系的方式与上例有什么这里表示函数关系的方式与上例有什么不同？不同？知识探究（三）知识探究（三）国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质国际上常用恩格尔系数反映一个国家人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高. .下表下表是是“八五八五”计划以来我国城镇居民恩格尔系数变计划以来我国城
5、镇居民恩格尔系数变化情况化情况. .时间时间（年）（年）19911992199319941995199619971998199920002001恩格尔恩格尔系数系数（%）53.852.950.149.949.948.646.444.541.939.237.9总支出食物支出恩格尔系数 思考思考1 1：用：用t t表示时间，表示时间，r r表示恩格尔系数，那表示恩格尔系数，那么么t t和和r r的变化范围分别是什么？的变化范围分别是什么？ A=1991，1992，2001，B=53.8，52.9,50.1，49.9，48.6，46.4，44.5，41.9，39.2，37.9思考思考2 2：时间变量
6、：时间变量t t与恩格尔系数与恩格尔系数r r之间的对应之间的对应关系是否为函数？关系是否为函数？ 知识探究（四）知识探究（四）思考思考1 1：从集合与对应的观点分析，上述三个：从集合与对应的观点分析，上述三个实例中变量之间的关系都可以怎样描述？实例中变量之间的关系都可以怎样描述？ 对于数集数集A中的每一个x，按照某种对按照某种对应关系应关系f，在数集数集B中都有唯一确定唯一确定的y和它对应，记作 f：AB.思考2：上述三个实例中变量之间的关系都是函数，上述三个实例中变量之间的关系都是函数，那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定那么从集合与对应的观点分析，函数还可以怎样定义？义？ 设设A
7、 A，B B是是非空的数集非空的数集，如果按照某种，如果按照某种确定的对确定的对应关系应关系f，使对于集合，使对于集合A A中的中的任意任意一个数一个数x，在，在集合集合B B中都有中都有唯一确定唯一确定的数的数f( (x) )和它对应，和它对应， 那么就称那么就称f：ABAB为从集合为从集合A A到集合到集合B B的一个函的一个函数，记作数，记作 y= =f( (x) )，xAA. . 其中其中，x叫做叫做自变量自变量，与，与x值相对应的值相对应的y值叫做值叫做函数值函数值. .解释定义 A,B是非空的数集是非空的数集。 对应关系对应关系 思考：思考：“按照某种确定的对应关系按照某种确定的对
8、应关系 ”是什么意思？是什么意思？f f 可以看作是对“x”施加的某种运算或法则。例如： ，f 就是对自变量x求平方。2)(xxf)(xfy 思考：如何理解思考：如何理解“ ”“ ”？符号y=f(x)表示“ y是变量是变量x的函数的函数”，它仅仅是函数符号函数符号，并不表示并不表示y y等于等于f与与x的乘积。的乘积。的区别和联系。为常数与)()()(aafxf思考：思考：当当a为常数时为常数时，f(a)表示的是自变量x=a时对应的函数值，是一个常数常数。自变量的取值范围自变量的取值范围A A叫做函数的定义域；叫做函数的定义域；函数值的集合函数值的集合 f( (x)|)|xA 叫做函数的值域叫
9、做函数的值域. . 思考思考3 3：在从集合在从集合A到集合到集合B B的一个函数的一个函数f：AB中，集合中，集合A是函数的定义域，集合是函数的定义域，集合B是是函数的值域吗？怎样理解函数的值域吗？怎样理解f( (x)=1)=1，xRR？例如：例如：xxfBAfBA2)(:,5 , 4 , 2 , 0,2 , 1 , 0定义域为定义域为0,1,2，值域为，值域为0,2,4思考思考4 4：一个函数由哪几个部分组成？如果给：一个函数由哪几个部分组成？如果给定函数的定义域和对应关系，那么函数的值定函数的定义域和对应关系，那么函数的值域确定吗？两个函数相等的条件是什么？域确定吗？两个函数相等的条件是
10、什么？定义域、对应关系、值域；定义域、对应关系、值域；定义域相同，对应关系完全一致定义域相同，对应关系完全一致,则两个函数则两个函数相等相等.函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；函数的值域由函数的定义域和对应关系所确定；下列可作为函数下列可作为函数y= f (x)的图象的是的图象的是xxxxyyyyOOOOabaabb0 x0 x0 x)()(图图象象的的是是的的数数下下列列图图象象中中不不能能作作为为函函xfy BxyoxyoxyoxyoBACD2. 函数的三要素函数的三要素:r 定义域定义域A；r 值域值域f(x)|xA；r 对应法则对应法则f.(1)函数符号函数符号yf (x) 表
11、示表示y是是x的函数，的函数， f (x)不是表示不是表示 f 与与x的乘积；的乘积；(2) f 表示对应法则，不同函数中表示对应法则，不同函数中f 的具的具 体含义不一样；体含义不一样；反比例函数反比例函数一次函数一次函数二次函数二次函数a 0a 0图像图像定义域定义域值域值域(0)kyxk(0)yax ba2 (0)yaxbx ca |0 x xRRR |0y yR24 |4ac by ya24 |4ac by ya2ba244acba244acba2baBack3.已学函数的定义域和值域已学函数的定义域和值域实数集实数集R R 使分母不等于使分母不等于0 0的实数的集合的实数的集合使根号
12、内的式子大于或等于使根号内的式子大于或等于0 0的实数的集合的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合使各部分式子都有意义的实数的集合( (即各集合的交集即各集合的交集) )使实际问题有意义的实数的集合使实际问题有意义的实数的集合 (3)(3)如果如果y=f (x)是二次根式，则定义域是是二次根式，则定义域是(4)(4)如果如果y=f (x)是由几个部分的式子构成的，则定义域是是由几个部分的式子构成的，则定义域是(1)(1)如果如果y=f (x)是整式，则定义域是是整式，则定义域是(2)(2)如果如果y=f (x)是分式，则定义域是是分式，则定义域是(5)(5)如果是实际问题，是如果是实际问
13、题，是例例1 求下列函数的定义域：求下列函数的定义域：例题讲解例题讲解.211)(xxxf xxxfxxfxxf211)()3(23)()2(21)() 1 (2x 解:(1)要使函数有意义，只需02 x即 ，所以函数 的定义域为 。21)(xxf2|xx).1()2(aff，).1(),2(),3(, 253)(22afffxxxf求已知函数例2222(3)3 35 3 2 14(2)3 (2)5 (2)28 5 2(1)3 (1)5(1)23fff aaaaa 解：解：2( )32(1)(2),( 2),(2)( 2)(2)( ),(),( )()f xxxfffff afaf afa已知
14、函数、求、求(2)3 2612( )3636()3 ()63()6( ( )3( )63(36)6924ff aaaf mnmnmnf f xf xxx 解：.)(, )(, )(, )2(,63)(5xffnmfaffxxf求已知函数例xxyxyxyxyxy22332)4()3()2()(13）（是同一个函数？下列哪个函数与例解：（1） 这个函数与函数2()(0),yxx x()yx xR虽然对应关系相同，但是定义域不相同。所以这个函数与函数 不相等。()yx xR（2） ,这个函数与函数这个函数与函数33()yxx xR()yx xR不仅对应关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数不仅对应
15、关系相同，而且定义域也相同，所以这个函数与函数与函数 相等。相等。()yx xR例例4 下列各组中的两个函数是否为相同的下列各组中的两个函数是否为相同的函数？函数？52)()52()()3() 1)(1(11)2(53)5)(3() 1 (2xxfxxfxxyxxyxyxxxy与与与（1 1）定义域不同。）定义域不同。（2 2）定义域不同。）定义域不同。（3 3）定义域和值域都不同）定义域和值域都不同。02222(1) ( )(1) ,( )1(2) ( );( )(3) ( );( )(1)(4) ( );( )f xxg xf xxg xxf xxg xxf xxg xx 练习：判断下列函
16、数练习：判断下列函数f(x)与与g(x)是否表示相是否表示相等的函数，并说明理由？等的函数，并说明理由？设设a,b是两个实数，而且是两个实数，而且ab, 我们我们规定规定：(1)、满足不等式、满足不等式axb的实数的实数x的集合叫做的集合叫做闭区间闭区间，表示为表示为 a,b(2)、满足不等式、满足不等式axb的实数的实数x的集合叫做的集合叫做开区间开区间，表示为表示为 (a,b)(1)、满足不等式、满足不等式axb或或aa ,x b, xb的实数的集的实数的集合分别表示为合分别表示为a, +)、(a, +)、(-,b、(-,b).试用区间表示下列实数集试用区间表示下列实数集 （1）x|5 x
17、6 （2） x|x 9 （3） x|x -1 x| -5 x2（4） x|x -9x| 9 x0时，求时，求f(a),f(a-1)的值的值 。 变式变式1：已知函数f(x)的定义域为(2,5，求函数f(x+3)的定义域。 变式变式2：已知函数f(x+3)的定义域为(-1,2，求函数f(x)的定义域。 解：解：(1) 因为因为f(x)的定义域为的定义域为(2,5，所以，所以2x+35， 得得-1x2。所以函数。所以函数f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2。 （2）因为）因为f(x+3)的定义域为的定义域为(-1,2，所以，所以-1x2， 得得2x+35，所以，所以f(x)的定义域为的定义域为(2,5。 1.已知函数f(x)的定义域为-1,1，求函 数f(2x+1)的定义域。 2.已知函数f(2x-1)的定义域为-3,3,求函数f(x)的定义域。 1.已知函数f(2x-1)的定义域为0,1)，求 f(1-3x)的定义域。 2.已知函数f(x)的定义域为0,1，求 的定义域。 3.若函数f(x+3)的定义域为-5,-2,求F(x)=f(x+1)+f(x-1)的定义域。) 1(2xf