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1、 2.5 平面向量应用举例2.5.1 平面几何中的向量方法1.1.能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题能运用向量的知识解决一些简单的平面解析几何问题; ;2.2.利用数量积解决长度、角度、垂直等问题利用数量积解决长度、角度、垂直等问题; ;3.3.建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、建立直角坐标系利用向量坐标运算解决长度、角度、垂直等问题垂直等问题. .( (重点、难点）重点、难点） 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景景, ,平面几何图形的许多性质平面几何图形的许多性质, ,如平移、全等、相似、长度、如平移、全等、
2、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过可用向量方法解决平面几何中的一些问题，下面我们通过几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用几个具体实例，说明向量方法在平面几何中的运用. .1.1.长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？对角线长度的平方对角线长度的平方= =两邻边的平方和两邻边的平方和. .平行四边形有类似的数量关系吗？平行四边形有类似的数量关系吗？探究一（长度问题）探究一（长度问题） 思考思考1 1 如图
3、，在平行四边形如图，在平行四边形ABCDABCD中，已知中，已知AB=2AB=2， AD=1AD=1，BD=2BD=2，那么对角线，那么对角线ACAC的长是否确定？的长是否确定？确定确定A AB BC CD D思考思考2:2:在平行四边形在平行四边形ABCDABCD中，设向量中，设向量 则则向量向量 等于什么？向量等于什么？向量 等于什么？等于什么？ ABa ，ADbACDB DBab,ACab. 2222222,4,24,24,1.2abababaa bbaa bba b 由得=4即（）:2,1,-23,? aba ba bAC利用如何求思考等于多少？22222|()226.ACababaa
4、 bbaa bb 例例1.1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型，如图如图2.5-12.5-1， 你能发现平行四边你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系吗？A AB BC CD DACAB AD,DBAB AD, ,.ABa ADbACab DBab 设，则图图2.5-12.5-1222() ()2(1)ACAC ACababa aa bb ab baa bb 2222(2)DBaa bb 同理222222(1)(2)2()2(). 得 ACDBabABAD注意这种求注意这种求模的方法
5、模的方法 平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平方和的两倍的平方和的两倍. . 如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？如果不用向量方法，你能证明上述结论吗？ （1 1）建立平面几何与向量的联系，用）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；平面几何问题转化为向量问题；（2 2）通过向量运算，研究几何元素之）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；间的关系，如距离、夹角等问题；（3 3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素成几何元素. .用
6、向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：提升总结提升总结几何问题向量化几何问题向量化 向量运算关系化向量运算关系化向量关系几何化向量关系几何化例例2.2.如图如图2.5-22.5-2，ABCDABCD中，点中，点E E、F F分别是分别是ADAD、DCDC边的边的中点，中点，BEBE、BFBF分别与分别与ACAC交于交于R R、T T两点，你能发现两点，你能发现ARAR、 RTRT、TCTC之间的关系吗？之间的关系吗？A AB BD DE EF FR RT TC C猜想：猜想：AR=RT=TCAR=RT=TC图图2.5-22.5-2ABa,ADb,ARr,ACa
7、b. 解设：则由于由于 与与 共线，故设共线，故设因为因为ARA C rn(a b),nR，又因为又因为 共线，共线，所以设所以设EREB 与1ERmEBm(ab).2 因为因为 所以所以ARAEER ，11rbm (ab).221122()()因此，n abbm ab 1EBABAEab,2 m1(nm)a(n)b0.2即a, b 向 量不 共 线 ,nm0m1n0 .2，nm.1解得：=3111ARAC,TCAC,RTAC.333ATRTTC. 所以同理于是故 利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基利用待定系数法，结合向量共线定理和平面向量基本定理，将问题转化为求本定理，将问题转化为
8、求m m、n n的值，是处理线段长度关的值，是处理线段长度关系的一种常用手段系的一种常用手段. .提升总结提升总结例例3.3.若正方形若正方形OABCOABC的边长为的边长为1 1，点，点D D、E E分别为分别为ABAB、BCBC的的中点，试求中点，试求cosDOE.A AB BC CO Oxy解：解：以以O O为坐标原点，以为坐标原点，以OAOA、OCOC所在所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系，坐标系，分析：分析：建立坐标系，利用向量的坐建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角标运算求夹角.探究二（角度问题）探究二（角度问题）E ED D11(1),(,
9、1)2211(1),(,1)22DEODOE 则，cos1111422.55522OD OEDOEOD OE 建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁可使解题思路明确，过程简洁. .提升总结提升总结1.ABCDAB BC=0AB=DCABCD .A. B.C. D. 在四边形中，且，则四边形是（）平行四边形矩形菱形正方形BAB=DCABCDAB BC=0ABBCABC=90.ABCD. 由可知，四边形为平行四边形，又，即四边形解：为矩形析OBOC) OBOC-2OA)=0(OBOAOC-OA)0CB (ABAC)0CB (2
10、AM)0(MBCCBAMABC. (，CB，解，为的中点)，为等腰：三角形析2 22OABC(OBOC) (OBOC2OA)0ABCA.B.C.D. .( 01济南高一检测)是三角形内一点，且则三角形的形状为（ ）等腰三角形 等边三角形直角三角形 以上皆错A AABCO3.3.如图所示，已知如图所示，已知O O，ABAB为直径，为直径，C C为为O O上任意一点上任意一点. .求证求证ACB=90ACB=90. .分析：分析：要证要证ACB=90ACB=90，只需证向，只需证向 量量 ，即，即 ACCB AC CB 0. 证明：证明：设设 则则 由此可得：由此可得：AOa,OCb, ACab,CBa b. AC CBabab 2222abab220rr即即 ，ACB=90ACB=90. .0AC CB abABCO（r r是圆的半径）是圆的半径）. .1.1.用向量方法证明几何问题时用向量方法证明几何问题时, ,首先选取恰当的基底首先选取恰当的基底, ,用来表示待研究的向量用来表示待研究的向量, ,在此基础上进行运算在此基础上进行运算, ,进而解进而解决问题决问题. .2.2.要掌握向量的常用知识要掌握向量的常用知识共线；垂直；模；夹共线；垂直；模；夹角；向量相等角；向量相等. .一年之计，莫如树谷：十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。长才靡入用，大厦失巨楹。 邵谒