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1、 想一想：向量可以解决哪些常见的几何问题？想一想：向量可以解决哪些常见的几何问题？(2) 解决直线平行、垂直、三点共线、解决直线平行、垂直、三点共线、 三线共点三线共点 等位置关系。等位置关系。共线向量定理：共线向量定理：)0(/bbaba，使存在唯一实数01221yxyx向量模的公式向量模的公式:22yxa(1) 解决有关夹角、长度等的计算或度量问题。解决有关夹角、长度等的计算或度量问题。aaaa22例例1：平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图，如图， 你能发现平行四边你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？形对角线的长度
2、与两条邻边长度之间的关系吗？,ACABAD ,DBABAD 猜想：猜想：1.矩矩形对角线的长度形对角线的长度与两条邻边长度之间与两条邻边长度之间有何关系？有何关系？2.类比猜想，平行四类比猜想，平行四边形有相似关系吗？边形有相似关系吗？ 探究（一）：推断线段长度关系探究（一）：推断线段长度关系 ADCB ABCDADCBab基底法：基底法： 还可以选择还可以选择其它基底吗？其它基底吗？选择两个不共线的向量作为基底选择两个不共线的向量作为基底用基底表示相关向量用基底表示相关向量 把几何问题把几何问题转化转化为只含有基底向量的为只含有基底向量的运算运算 探究（一）：推断线段长度关系探究（一）：推断
3、线段长度关系 把向量关系把向量关系翻译翻译成几何关系成几何关系 xyO( ) 探究（一）：推断线段长度关系探究（一）：推断线段长度关系 ADCBij建立适当的坐标系建立适当的坐标系 用坐标表示向量用坐标表示向量 把几何问题把几何问题转化转化为向量的坐标为向量的坐标运算运算 坐标法：坐标法： (b,0)(x0 ,y0)把向量关系把向量关系翻译翻译成几何关系成几何关系 解：解：)|(|2)|(|2|AC|)2() 1 ()2(|2|a|DB|) 1 (|2|)()(|222222222222ADABbaDBbbabbaababaACACAC得同理即：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边即：平行
4、四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方的两倍；平方的两倍； 用向量表示问题中涉及的几何元用向量表示问题中涉及的几何元素，几何问题转化为向量问题素，几何问题转化为向量问题通过向量运算研究几何元素之间通过向量运算研究几何元素之间的关系的关系 把运算结果把运算结果“翻译翻译”成几何关系成几何关系转化转化翻译翻译运算运算用向量方法（用向量方法（基底法、坐标法基底法、坐标法）解决平面几何问题的）解决平面几何问题的“三步曲三步曲”： 探究（二）：三点共线问题探究（二）：三点共线问题 例例2：在平行四边形：在平行四边形ABCD中，已知中，已知 求证：求证：A、E、F三点共线。三点共线。DBDFABDE41
5、,31分析：分析：第一步：转化第一步：转化第二步：运算第二步：运算（基底法）（基底法） 第三步：翻译第三步：翻译DCABFEabAFAE/解：解：三点共线、即FEAAEAFabABADABDAADDBADDFADAFabABADDEADAE4341434143)(41413131课堂小结：课堂小结：1向量方法解决平面几何问题的向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”是：是：几何问题向量化；向量运算代数化；向量结果几何化几何问题向量化；向量运算代数化；向量结果几何化. 简述：形到向量简述：形到向量 向量的运算向量和数到形向量的运算向量和数到形2运用向量法的过程中，可分为基底法和坐标法，而向量能
6、够运用向量法的过程中，可分为基底法和坐标法，而向量能够用坐标表示的，优先选择建立直角坐标系，通过坐标表示，转用坐标表示的，优先选择建立直角坐标系，通过坐标表示，转化成代数运算化成代数运算. 3用向量方法解决平面几何问题的优点：向量能够运算，因此用向量方法解决平面几何问题的优点：向量能够运算，因此在解决某些问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个在解决某些问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，从而降低了思考问题的难度算法过程，从而降低了思考问题的难度.它能比较轻松地解决平它能比较轻松地解决平面几何中的距离（线段长度）、夹角、平行、垂直以及三点共面几何中的距离（线段长度）、夹角、平行、垂直以及三点共线等问题线等问题.