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1、平面向量应用举例用向量的方法研究平面几何用向量的方法研究平面几何例例1 1例例1、证明平行四边形四边平、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形已知：平行四边形ABCD。求证求证：分析：因为平行四边形对边平行且相等，分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设故设 ,其它线段对应向量用它们其它线段对应向量用它们表示。表示。例题例题ABDC解解:设设 ，则，则 例题例题证明直径所对的圆周角是直角证明直径所对的圆周角是直角ABCO 如图所示，已知如图所示，已知 O，AB为直径，为直径，C为为 O上任意一点。求证上任意一点。求证ACB=90分析：要证分析：
2、要证ACB=90，只须证，只须证向量向量 即即 解：设解：设 则则 ，由此可得由此可得：即即 ，ACB=90 练习练习用向量法解平面几何问题的基本思路用向量法解平面几何问题的基本思路（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面
3、几何问题的“三步曲三步曲”：简述：简述：形到向量形到向量 向量的运算向量的运算 向量和数到形向量和数到形 想一想想一想你能从数学的角度解释你能从数学的角度解释这种现象吗？这种现象吗？在日常生活中，你是否有这样的经验：在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。越省力。例例1 1例例2 2解：解：|v|=（km/h），所以），所以 t=60=3.1（min）.答：行答：行驶驶航程最短航程最短时时，所用，所用时间时间是是3.1min.分析：如果水是静
4、止的，则船只要取垂直于河岸的分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短，考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水流速度的合速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸，如图必须垂直于对岸，如图（1）行驶航程最短行驶航程最短,是否就是航程时间是否就是航程时间最短呢最短呢?（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果）把运算结果“翻译翻译”成几何元素。成几何元素。用向量方法解决平面几何问题的用向量方法解决平面几何问题的“三步曲三步曲”：小结小结物理问题物理问题(实际问题）实际问题）向量问题向量问题(数学模型数学模型)数学问题数学问题的解决的解决解释和验证相解释和验证相关物理现象关物理现象 小结小结