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1、2.1.1椭圆的标准方程椭圆的标准方程椭圆形的尖嘴瓶椭圆形的餐桌椭圆形的精品汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆.把一个圆压扁了,也像椭圆思考怎样判定它们就是椭圆呢?椭圆定义的文字表述：椭圆定义的文字表述：椭圆定义的符号表述：椭圆定义的符号表述：1222MFMFac1222MFMFac4如何建立适当的直角坐标系？如何建立适当的直角坐标系？ 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单； ( (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。在的直线作为坐标轴。) )yxoF1F2P探讨化化 简简列列 式式设设
2、 点点建建 系系F1F2xy 以以F1、F2 所在直线为所在直线为 x 轴，线段轴，线段 F1F2的垂直平分线为的垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系轴建立直角坐标系P( x , y )设设 P( x，y )是椭圆上任意一点是椭圆上任意一点设设F1F=2c，则有，则有F1(-c，0)、F2(c，0)- , 0c , 0cF1F2xyP( x , y )- , 0c , 0c 椭圆上的点满足椭圆上的点满足PF1+PF2为定值，设为为定值，设为2a，则，则2a2c则：则：2222+-+= 2xcyx cya2222+= 2 -+xcyax cy2222222+= 4-4-+-+xcyaax cyx
3、cy222-c =-+axax cy22222222-+=-acxa yaac设设222-= 0acbb得得即：即：2222+=1 0 xyababOxyOF1F2Pb2x2+a2y2=a2b2PF2F1以直线以直线F F1 1F F2 2为为y y轴，线段轴，线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为x x轴，建立坐标系轴，建立坐标系。设设P(x,y)P(x,y)为椭圆上的任意一点，为椭圆上的任意一点，FF1 1F F2 22c(c0),2c(c0),则：则：F F1 1(0(0，-c)-c)、F F2 2(0(0，c)c)axcyxcy2)()(2222a2y) cx(y)
4、cx(2222 )0(12222babxay方程的推导 PF PF1 1+PF+PF2 2=2a=2a)0(12222babyax)0(12222babxay焦点在焦点在x轴上轴上焦点在焦点在y轴上轴上椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是椭圆标准方程的形式：左边是两个分式的平方和，右边是常数常数1 1。椭圆的标准方程中三个参数椭圆的标准方程中三个参数 满足满足 。 cba,222cba由椭圆的标准方程可以求出三个参数由椭圆的标准方程可以求出三个参数 的值。的值。cba,椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定，椭圆的标准方程中，焦点的位置由分母的大小来确定，分分母哪个大，焦
5、点就在哪个轴上母哪个大，焦点就在哪个轴上。椭圆的标准方程由三个参数椭圆的标准方程由三个参数 及焦点的位置唯一确定，及焦点的位置唯一确定，即只要知道了即只要知道了 的值就可以写出椭圆的标准方程。的值就可以写出椭圆的标准方程。cba,cba,1.求适合下列条件的椭圆方程1.a a4 4，b b3 3，焦点在，焦点在x x轴上；轴上；2.b=1， ，焦点在y轴上15c191622yx4a11622 xy3 3、若椭圆满足、若椭圆满足: : a5 , c3 , , 求它的标准方程。求它的标准方程。1162522 yx1251622 yx焦点在焦点在x x轴上轴上181. 025. 222 yx)0(
6、12222 babyax解：以两焦点所解：以两焦点所在直线为在直线为X轴，线段轴，线段 的垂直平分线为的垂直平分线为y轴轴,建立建立平面直角坐标系平面直角坐标系xOy。则这个椭圆的标准方程为则这个椭圆的标准方程为:根据题意根据题意:2a=3,2c=2.4,所以：所以：b2=1.52-1.22=0.81因此，这个椭圆的方程为：因此，这个椭圆的方程为：21FF2, 1FFxyF1F20M 两个焦点分别是 (-2，0)， (2，0)，且过点P1F2F),62 , 3(例例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：法一: c=2法二: c=2 设椭圆标准方程为:12222b
7、yax2a=P +P 2F1F4 4、求下列椭圆的焦点坐标、求下列椭圆的焦点坐标19) 1 (22 yx1123)2(22yx42)3(22 yx144916)4(22 yx0 ,22,0 ,22)3 , 0(),3, 0( 0 ,2,0 ,27, 0,7, 0 2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪个大，焦点就在哪个轴上分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点平面内到两个定点F1，F2的距离的和等的距离的和等于常数（大于于常数（大于F1F2）的点的轨迹）的点的轨迹12- , 0 , 0，FcFc120,-0,，FcFc标准方程标准方程相相 同同 点点焦点位
8、置的判断焦点位置的判断不不 同同 点点图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 的关系的关系根据所学知识完成下表根据所学知识完成下表xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2POa2=b2+c2思考题它表示椭圆？满足什么条件时，对于方程122nymx解：解：例例3 ：将圆将圆 = 4 = 4上的点的横坐标保持不变，上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程，并说明它是什么曲线？并说明它是什么曲线？yxo22yx 设所的曲线上任一点的坐标为（x，y）,圆 上的对应点的坐标为（x，y），由题意可得：22yx yyxx/22yx因为所以4422yx即1422 yx1 1）将圆按照某个方向均匀地压缩）将圆按照某个方向均匀地压缩（拉长），可以得到椭圆（拉长），可以得到椭圆。2 2）利用中间变量求点的轨迹方程）利用中间变量求点的轨迹方程的方法是解析几何中常用的方法；的方法是解析几何中常用的方法；