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1、两角和与差的三角函数两角和与差的三角函数课例背景课例背景 本节课是北京市第本节课是北京市第22次重点中学数学教学次重点中学数学教学研讨会上的一节研究课研讨会上的一节研究课.研究的主题是如何研究的主题是如何使用课本内容培养学生的探索与创新精神使用课本内容培养学生的探索与创新精神,把重点放在研究策略的选择上把重点放在研究策略的选择上,使用的数学使用的数学素材是两角和与差的三角函数素材是两角和与差的三角函数.景山学校是景山学校是北京市重点中学北京市重点中学,授课班级为该校高一数学授课班级为该校高一数学试验班试验班. 提出学习课题提出学习课题 教师教师:前面我们学习了单角的三角函数前面我们学习了单角的
2、三角函数,在研究三角函在研究三角函数时还常常遇到这样的问题数时还常常遇到这样的问题:“已知任意角已知任意角、的三角的三角函数值函数值,求求+、-、2的三角函数值的三角函数值”,今天我们就今天我们就来研究这个问题来研究这个问题.(板书课题板书课题) 我们把刚才的问题具体化我们把刚才的问题具体化,即已知任意角即已知任意角、的三角的三角函数值函数值,来推导以下三组公式来推导以下三组公式:(大屏幕显示三组大屏幕显示三组9个公个公式的左端式的左端)?)tan(?)cos(?)sin(?)tan(?)cos(?)sin(?2tan?2cos?2sin确定研究方案确定研究方案 教师教师:我们要研究的共有三组
3、九个公式我们要研究的共有三组九个公式,任务很艰巨任务很艰巨.从哪个从哪个公式开始进行研究呢公式开始进行研究呢?是否需要对每一个公式进行单独的是否需要对每一个公式进行单独的研究研究,一一进行推导一一进行推导?请同学们思考并提出研究的方案请同学们思考并提出研究的方案. 学生学生1:我认为不需要我认为不需要,因为如果知道因为如果知道+的三角函数公式的三角函数公式,用用-代替代替就可以得到就可以得到-的三角函数公式的三角函数公式. 教师教师:很好很好,也就是说也就是说,如果和角公式有了如果和角公式有了,差角公式就很容易差角公式就很容易求得求得.那么二倍角公式又如何呢那么二倍角公式又如何呢? 学生学生1
4、:可以让和角公式中的可以让和角公式中的等于等于便可便可. 教师教师:用用-代替代替的过程用到了什么数学方法的过程用到了什么数学方法? 学生学生2:换元的方法换元的方法. 教师教师:那么让和角公式中的那么让和角公式中的等于等于又用到什么数学方法呢又用到什么数学方法呢? (学生思考片刻、犹豫学生思考片刻、犹豫) 教师教师:(提示提示)实际上是使实际上是使取了一个特殊值取了一个特殊值. 学生学生3:好像是特殊化的方法好像是特殊化的方法.研究方案研究方案 教师教师:非常好非常好!下面我们一起来看一下刚才两位同下面我们一起来看一下刚才两位同学提出的研究方案学提出的研究方案. (大屏幕显示研究方案大屏幕显
5、示研究方案)确定方案确定方案(续续) 教师教师:可见可见,我们可以先研究和角公式我们可以先研究和角公式,那么在和角公式中又先研那么在和角公式中又先研究谁呢究谁呢? 学生学生4:可先推出可先推出+的正、余弦公式的正、余弦公式,两者相除便可得正切公式两者相除便可得正切公式. 教师教师:这又用到什么数学方法这又用到什么数学方法? 学生学生4:化切的方法化切的方法. 教师教师:那正、余弦又先研究谁呢那正、余弦又先研究谁呢? 学生学生5:当然是正弦当然是正弦. 学生学生6:不一定不一定,我认为先研究余弦也可以我认为先研究余弦也可以,因为正弦和余弦互为余因为正弦和余弦互为余函数函数. 教师教师:若知道若知
6、道+的正的正(余余)弦弦,如何求余如何求余(正正)弦弦? 学生学生7:利用同角关系中的平方关系利用同角关系中的平方关系. 教师教师:可以可以,不过同角关系要涉及开方不过同角关系要涉及开方,还有其他思路吗还有其他思路吗? 学生学生6:还可以利用诱导公式还可以利用诱导公式.研究方案研究方案(续续) 教师教师:能说得详细些吗能说得详细些吗? 学生学生6:例如已知例如已知 ,利用利用 便可得便可得 . 教师教师:我们一起来看一下这个研究思路我们一起来看一下这个研究思路. (大屏幕显示研究方案大屏幕显示研究方案)sin()(2sin)cos()cos(?)tan(?)cos( ?)sin( 化切诱导公式
7、确定研究方案确定研究方案(续二续二) 教师教师:通过刚才的分析通过刚才的分析,我们现在得到了一个完整的研究方案我们现在得到了一个完整的研究方案,同同时我们应该得到一个启示时我们应该得到一个启示,也就是我们在研究问题的时候也就是我们在研究问题的时候,应该应该讲究策略讲究策略,应该抓住问题的主要矛盾应该抓住问题的主要矛盾,下面我们就集中精力来解下面我们就集中精力来解决这个主要矛盾决这个主要矛盾,即研究即研究+的正的正(余余)弦公式弦公式. 教师教师:研究研究+的正弦或余弦公式的正弦或余弦公式,我们用什么做工具呢我们用什么做工具呢? (学生思考学生思考) 教师教师:(提示提示)回顾一下我们前面研究同
8、角关系和诱导公式的时候回顾一下我们前面研究同角关系和诱导公式的时候,利用了什么工具利用了什么工具? 学生学生8:利用直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线利用直角坐标系中的单位圆及单位圆中的三角函数线. 教师教师:还有其他工具吗还有其他工具吗? 学生学生9:还可以利用直角三角形作为研究的工具还可以利用直角三角形作为研究的工具,初中我们主要用初中我们主要用这种方法这种方法. 学生学生8:我认为利用直角三角形作为研究工具有一定的局限性我认为利用直角三角形作为研究工具有一定的局限性,它它只能研究锐角三角函数只能研究锐角三角函数,对于任意角的情形还需要加以推广对于任意角的情形还需要加以推广.小组研
9、究学习小组研究学习 教师教师:以上两位同学说的都很有道理以上两位同学说的都很有道理.下面就请同学根下面就请同学根据我们提出的方案据我们提出的方案,按照我们课前分好的小组在组内进按照我们课前分好的小组在组内进行研究行研究,重点是推导第一个公式重点是推导第一个公式,有时间的小组可以推出有时间的小组可以推出所有的公式所有的公式.各组将推导的方法和过程写在白纸上各组将推导的方法和过程写在白纸上,一会一会儿我们进行交流儿我们进行交流. 将全班划分为将全班划分为10个小组个小组,在各小组内进行在各小组内进行.教师引导教师引导,学学生自主探究生自主探究,合作学习合作学习,交流研究方法和研究成果交流研究方法和
10、研究成果.各组各组组内展开讨论组内展开讨论,提出方法并自主探索公式提出方法并自主探索公式,教师在学生探教师在学生探索的过程中进行巡视索的过程中进行巡视,了解学生的进展情况了解学生的进展情况.发现有的组发现有的组在探索的过程中遇到了困难在探索的过程中遇到了困难,老师根据实际情况进行了老师根据实际情况进行了引导引导,并参与了某些组的讨论并参与了某些组的讨论.在整个过程中在整个过程中,同学们都同学们都能积极思考问题能积极思考问题,参与的热情很高参与的热情很高,提出了很多解决的思提出了很多解决的思路路 班级讨论研究班级讨论研究 要求各小组简述解决方案以及解决的思维要求各小组简述解决方案以及解决的思维过
11、程并展示研究结果过程并展示研究结果. 教师教师:我们的研究到此先暂告一个段落我们的研究到此先暂告一个段落.下面下面请各组的同学来展示一下你们的研究成果请各组的同学来展示一下你们的研究成果.要求用实物投影打出你们的推导过程要求用实物投影打出你们的推导过程,简述简述你们的解决方法、思维过程你们的解决方法、思维过程,语言要尽量简语言要尽量简练练.研究结果一研究结果一 第一小组第一小组:(由学生由学生9代表第一代表第一小组发言小组发言) 学生学生9:我们的方法主要是通我们的方法主要是通过构造直角三角形先推导出过构造直角三角形先推导出正弦的和角公式正弦的和角公式. 推导过程推导过程:如图如图1. sin
12、coscossin )sin(OEOFOFFGEFEHOEEFOEFGOEEHOEFGEHOEHDEHOEED研究结果一研究结果一(续续) 同理可以推导出余弦的和角公式同理可以推导出余弦的和角公式(略略). (同学们和教师一起鼓掌同学们和教师一起鼓掌) 教师教师:非常精彩非常精彩,通过巧妙构造直角三角形来通过巧妙构造直角三角形来推导推导. 学生学生9:不过我们只研究了不过我们只研究了、及及+为锐为锐角的情况角的情况,还需将其推广到任意角的情形还需将其推广到任意角的情形. 教师教师:希望你们能进一步完成你们的研究希望你们能进一步完成你们的研究.研究结果二研究结果二 第二小组第二小组:(由学生由学
13、生10代表第二小组发言代表第二小组发言) 学生学生10:我们主要是通过在单位圆中构我们主要是通过在单位圆中构造三角形全等进而得到线段相等造三角形全等进而得到线段相等,在此在此基础上先推出余弦的和角公式基础上先推出余弦的和角公式cos(+)=coscos-sinsin. 推导过程推导过程:如图如图2,由由P1OP3 P4OP2得得|P1P3|=|P2P4|,再由两点间距离公式再由两点间距离公式,得得 cos(+)-12+sin2(+)=cos-cos(-)2+sin-sin(-)2, 两边平方后两边平方后,解得解得 cos(+)=coscos-sinsin.研究结果二研究结果二(续续) 然后在此
14、公式的基础上推出了其他的然后在此公式的基础上推出了其他的8个公个公式式(投影略投影略). (同学与教师鼓掌同学与教师鼓掌) 教师教师:这组同学的推导也很有特点这组同学的推导也很有特点,而且他们而且他们已经推出了所有的公式已经推出了所有的公式,效率非常高效率非常高,能说说能说说你们的经验吗你们的经验吗 学生学生10:我们在推出第一个公式后进行了分我们在推出第一个公式后进行了分工工,一人推导一组一人推导一组,另有一人专门整理最后的另有一人专门整理最后的结论结论.教师教师:统筹安排统筹安排,效果果然不一样效果果然不一样.研究结果三研究结果三 第三小组第三小组:(由学生由学生11代表第三小代表第三小组
15、发言组发言) 学生学生11:在在P2OP4中使用余弦定中使用余弦定理推出理推出cos(+),如图如图3. |P2P4|2=|OP2|2+|OP4|2-2|OP2|OP4|cos(+), cos(-)2+sin-sin(-)2=1+1-2cos(+), 整理整理,得得 cos(+)=coscos-sinsin.研究结果三研究结果三(续续) 教师教师:第二、第三小组的方法有无类似之处第二、第三小组的方法有无类似之处? 学生学生12:都是借助直角坐标系中的单位圆构都是借助直角坐标系中的单位圆构造三角形造三角形,利用线段相等或三角形中的边角利用线段相等或三角形中的边角关系构造出以关系构造出以(+)为未
16、知数的方程为未知数的方程. 教师教师:其他小组有无不同的方法其他小组有无不同的方法,没有推出来没有推出来的小组可以讲讲思路的小组可以讲讲思路.研究结果四研究结果四 学生学生13:我们的方法与第三小组方法类似我们的方法与第三小组方法类似,如图如图4,在在P2OP3中使用余弦定理中使用余弦定理 |P2P3|2=|OP2|2+|OP3|2-2|OP2|OP3|cos, cos-cos(+)2+sin-sin(+)2 =1+1-2cos, 得得cos=coscos(+)+sinsin(+). 学生学生13:到此到此,我们用我们用、+的三角函数表的三角函数表示出了示出了的余弦的余弦.但是我们不知道该怎么
17、推但是我们不知道该怎么推出余弦的和角出余弦的和角(差角差角)公式公式.(表情很困惑表情很困惑)研究结果四研究结果四(续续) 教师教师:(提示提示)你们想想你们想想,角角能用能用,+来表示吗来表示吗? 学生学生13:=(+)-. 教师教师:那你们觉得自己是否已经推导出余弦的和角或差那你们觉得自己是否已经推导出余弦的和角或差角公式角公式? 学生学生13:(先是疑惑先是疑惑,后恍然大悟、兴奋后恍然大悟、兴奋)已经出来了已经出来了,因因为为 cos(+)-=coscos(+)+sinsin(+), 令令+=,=,则有则有 cos(-)=coscos+sinsin. 教师教师:再一次用到了换元的方法再一
18、次用到了换元的方法. 研究结果五研究结果五 学生学生14:我们还没有完全推出来我们还没有完全推出来,不过不过受第一小组同学的启发受第一小组同学的启发,我们认为已我们认为已经有了思路经有了思路.如图如图5:由由P1OP4 P3OP2得得|P1P4|=|P2P3|.(过程略过程略) 教师教师:以上五个小组的同学上来展示以上五个小组的同学上来展示了他们的研究成果了他们的研究成果,都非常的精彩都非常的精彩,有有的方法是老师也没有想到的的方法是老师也没有想到的,说明同说明同学们进行了认真的思考和讨论学们进行了认真的思考和讨论.由于由于时间的关系时间的关系,我们的展示先到这里我们的展示先到这里.没没有完成
19、的小组课下继续完成所有公有完成的小组课下继续完成所有公式的推导式的推导.课堂小结课堂小结 教师教师:我们这节课主要推导了我们这节课主要推导了+、-、2的三角公式的三角公式,在推导公式前在推导公式前,我们首先理清了我们首先理清了这些公式间的发展脉络这些公式间的发展脉络,找出了解决问题的找出了解决问题的出发点出发点,同学们能否画出这些公式的一个结同学们能否画出这些公式的一个结构图构图?(由学生由学生15用投影展示自己的结构图用投影展示自己的结构图) 教师教师:我这里也画了一个我这里也画了一个,供同学们参考供同学们参考.希希望每位同学回去自己也画一个望每位同学回去自己也画一个,可以跟老师可以跟老师的
20、不一样的不一样.(大屏幕显示大屏幕显示(略略)课堂小结课堂小结(续续) 教师教师:在我们推导公式的过程中都用到了那些数学的思想在我们推导公式的过程中都用到了那些数学的思想方法方法? 学生学生16:通过建立坐标系和单位圆来解决问题通过建立坐标系和单位圆来解决问题. 教师教师:这种通过建立坐标系来解决问题的方法叫坐标法这种通过建立坐标系来解决问题的方法叫坐标法(解解析法析法),是平面解析几何是平面解析几何(高二学习高二学习)中非常重要的一种方法中非常重要的一种方法. 学生学生17:各种方法都利用了图形的直观作用各种方法都利用了图形的直观作用. 教师教师:实际上就是数形结合的思想实际上就是数形结合的
21、思想. 学生学生12:二、三、四、五小组的推导过程都用了方程的思二、三、四、五小组的推导过程都用了方程的思想想. (教师用大屏幕投影教师用大屏幕投影)公式推导中用到的数学思想方法公式推导中用到的数学思想方法:数形数形结合、方程的思想、坐标法、换元等结合、方程的思想、坐标法、换元等.课堂小结课堂小结(续二续二) 教师教师:有没有体会到解决问题的其他一般方法呢有没有体会到解决问题的其他一般方法呢? 学生学生8:要注意新旧知识之间的联系要注意新旧知识之间的联系? 学生学生18:在分析和解决问题时要学会抓住问题的主要矛盾在分析和解决问题时要学会抓住问题的主要矛盾,学会选择策略学会选择策略.教师教师:很好很好,在小组学习中有无其他的体会在小组学习中有无其他的体会. 学生学生19:与同学一起讨论问题与同学一起讨论问题,可以互相启发可以互相启发,取长补短取长补短,加加快解决问题的思路快解决问题的思路. 学生学生20:能够增进同学间的交流能够增进同学间的交流,另外比一个人闷头想要强另外比一个人闷头想要强. 学生学生21:自己推导的公式自己推导的公式,觉得特别清楚觉得特别清楚. 教师教师:同学们的体会都很深刻同学们的体会都很深刻,这对于我们今后的学习是有这对于我们今后的学习是有帮助的帮助的.课后大家要注意落实今天的知识课后大家要注意落实今天的知识,下课下课.