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1、第4讲二次函数1通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义2会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质3会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题4会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解考点 1 二次函数1二次函数的概念yax2bxc形如_(a，b，c 是常数，a0)的函数，叫做二次函数表达式法数表法2二次函数的三种表示方法_、图象法和_函数 yax2bxc(a0)a 的值a0a 时，y 随 x 的增大而 2a增大b当 x0两个不相等的实数根_0_一个0)或向下(k0)平移|k|个单位y a(x h)2
2、k 的图象上左考点4二次函数的综合运用1从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数的最值问题解决实际问题中的最值问题2二次函数综合几何图形，要充分抓住几何图形的特点并结合二次函数图象的特点才能有效解决问题二次函数综合动点问题，要弄清楚在动的过程中，什么变了，什么没变动中求静才能有效解决问题【学有奇招】1通过配方，可以确定顶点坐标，对称轴，进而可以找出抛物线的平移规律，所以掌握配方法非常重要2二次函数的图象性质及单调性的规律：确定抛物线的对称轴及开口方向当抛物线开口向下的时候离对称轴越近，对应的函数值就越大；当抛物线开口向上的时候离对称轴越近，对应的函数值就越小1以 P(2，6)为顶点的二次函
3、数是()CAy5(x2)26Cy5(x2)26By5(x2)26Dy5(x2)262把抛物线 y2x2 向上平移 1 个单位，得到的抛物线是()CAy2(x1)2Cy2x21By2(x1)2Dy2x213若 a0，b0，c0，则抛物线 yax2bxc 的大致图象为()B4抛物线 y2x26x1 的对称轴为_，图象有最_(填“高”或“低”)点，其坐标为_x32高 _；当 x_时，y 随 x 的增大而减小5140 时，x 的取值范围图 3-4-2【试题精选】3(2013 年贵州遵义节选)如图3-4-3，已知抛物线yax2bxc(a0)的顶点坐标为，且与 y 轴交于点 C(0,2)，与 x 轴交于
4、A，B 两点(点 A 在点 B 的左边)求抛物线的解析式及 A，B 两点的坐标 图 3-4-324,3名师点评：求二次函数的解析式，要根据问题中所给的条件，合理地选择二次函数的三种表达式(一般式、顶点式、两点式)进行假设，对快速解决问题有很大的帮助二次函数的综合运用例题：(2012 年江苏连云港)如图 3-4-4(1)，抛物线 yx2bxc 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF2，EF3.(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求ABD 的面积；(3)将AOC
5、绕点C逆时针旋转90，点A的对应点为点G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由(1)(2)图3-4-4解：(1)四边形OCEF为矩形，OF2，EF3，点C 的坐标为(0,3)，点E 的坐标为(2,3)把C(0,3)，E(2,3)分别代入yx2bxc，得c3，42bc3，解得b2，c3.抛物线所对应的函数解析式为yx22x3.ABD的面积448.(2)yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为D(1,4)ABD 中AB 边的高为 4.令 y0，得x22x30，解得x11，x23.AB3(1)4.12(3)如图3-4-4(2)，AOC 绕点C逆时针旋转90，CO落在CE 所在的直线上，由(1)
6、(2)可知 OA1，OC3，点 A 的对应点 G 的坐标为(3,2)当 x3 时，y3223302，点 G 不在该抛物线上【试题精选】4(2013 年湖北天门)2013 年 5 月 26 日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图 3-4-5)若不考虑外力因素，羽毛球行进高度 y(单位：米)与水平距离 x(单位：为_米图 3-4-55与直线 yx2 交5如图 3-4-6，抛物线yx2bxc12于 C，D 两点，其中点 C 在 y 轴上，点 D 的坐标为点 P 是 y 轴右侧的抛物线上一动点，过点P 作 PEx 轴于点 E，交
7、 CD 于点 F.(1)求抛物线的解析式；(2)若点 P 的横坐标为 m，当 m为何值时，以 O，C，P，F 为顶点的四边形是平行四边形？请说明理由图 3-4-673,.21(2013 年广东湛江)抛物线 yx21 的最小值是_2(2013 年广东深圳)已知二次函数 ya(x1)2c 的图象)A如图 3-4-7，则一次函数 yaxc 的大致图象可能是(1图 3-4-73(2012 年广东珠海)如图 3-4-8，二次函数 y(x2)2m的图象与 y 轴交于点 C，点 B 是点 C 关于该二次函数图象的对称轴对称的点已知一次函数 ykxb 的图象经过该二次函数图象上的点 A(1,0)及点 B.(1
8、)求二次函数与一次函数的解析式；(2)根据图象，写出满足 kxb(x2)2m 的 x 的取值范围图 3-4-8(2)点 A，B 坐标分别为(1,0)，(4,3)，当 kxb(x2)2m 时，直线 yx1 的图象在抛物线y(x2)21 的图象上方或相交，此时 1x4.4(2013 年广东佛山)如图 3-4-9(1)，已知抛物线 yax2bxc 经过点 A(0,3)，B(3,0)，C(4,3) .(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线的顶点坐标和对称轴；(3)把抛物线向上平移，使得顶点落在 x 轴上，直接写出两条抛物线、对称轴和 y 轴围成的图形的面积 S图 3-4-9(2)中阴影部分(1)
9、(2)图3-4-9解：(1) 抛物线 y ax2 bx c 经过点 A(0,3) ，B(3,0) ，C(4,3)， c3， 9a3bc0， 16a4bc3， a1，解得 b4， c3.抛物线的函数表达式为 yx24x3.(2)yx24x3(x2)21，抛物线的顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线 x2.(3)如图 10，抛物线的顶点坐标为(2，1)，PP1.阴影部分的面积等于平行四边形 AAPP的面积，平行四边形 AAPP的面积122，阴影部分的面积为 2.图 105(2013年广东广州)已知抛物线y1ax2bxc(a0，ac)过点 A(1,0)，顶点为 B，且抛物线不经过第三象限(1)使用 a
10、，c 表示 b；(2)判断点 B 所在象限，并说明理由；(3)若直线 y22xm 经过点 B，且于该抛物线交于另一点，求当 x1 时，y1 的取值范围x11，x2，ac，解：(1)抛物线过点 A(1,0)，则有 abc0，即 bac.(2)点 B 在第四象限理由如下：ca抛物线与 x 轴有两个交点抛物线不经过第三象限，a0，且顶点在第四象限点 B 在第四象限又ac8，则有 c(8c2)24.解得 c4 或 c6.当 c4 时，a8c4，又 ac，故舍去；当 c6 时，a8c2.画图易知(如图 11)，点 C 在点 A 的右侧，当 x1 时，y14acb24a2.图 116(2012 年广东茂名
11、)如图 3-4-10，抛物线yax2xc经过原点 O 和 A(4,2)，与 x 轴交于点 C，点 M，N 同时从原点O 出发，点 M 以 2 个单位/秒的速度沿 y 轴正方向运动，点 N以 1 个单位/秒的速度沿 x 轴正方向运动，当其中一个点停止运动时，另一点也随之停止(1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标；(2)在点 M，N 运动过程中，若线段 MN 与 OA 交于点 G，试判断 MN 与 OA 的位置关系，并说明理由；图 3-4-1032若线段 MN 与抛物线相交于点 P，探索：是否存在某一时刻 t，使得以 O，P，A，C 为顶点的四边形是等腰梯形？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请
12、说明理由 .(2)MNOA.理由如下：过点 A 作 ABx 轴于点 B，则 OB4，AB2.由已知，可得OM OB 2ON AB 1RtMONRtOBA.NMOAOB，MNOOAB.又AOBOAB90，AOBMNO90.OGN90，MNOA.存在理由如下：设点 P 的坐标为(x，y)，依题意可知，当点 P 是点 A 关于抛物线对称轴的对称点时，四边形 APOC 为等腰梯形则点 P 坐标为(2,2)，及 M(0,2t)，N(t,0)设直线 MN 的解析式为 ykx2t，将点 N，P 的坐标代入，得kt2t0，2k2t2，解得t10，k11，(不合题意舍去)或t23，k22.当 t3 秒时，四边形 OPAC 是等腰梯形