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1、第4讲二次函数1.通过对实际问题情境的分析，体会二次函数的意义.2.会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象了解二次函数的性质.3.会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为 ya(xh)2 k(a0)的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标、开口方向， 画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题.4.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.知识点内容二次函数的定义形如yax2bxc(a，b，c是常数，a0)的函数，叫做二次函数二次函数的图象和性质图象开口向上向下对称轴_顶点坐标(续表)增大减小小知识点内容系数 a，b，c 和的符号与几何意义系数 aa 的符号决定抛物线的开口方向当 a0 时
2、，抛物线开口向上；当 a0 时，抛物线开口向下系数 cc 的符号决定抛物线与y 轴的交点在正半轴或负半轴或原点当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在正半轴上；当 c0 时，抛物线经过原点；当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在负半轴上(续表)(续表)知识点内容系数a，b，c和的符号与几何意义系数a，ba，b的符号决定对称轴的位置当a，b同号，对称轴在y轴左边；当b0时，对称轴为y轴；当a，b异号，对称轴在y轴右边ax2bxc0(a0)的根的个数b24ac0，两个不相等的实数根；b24ac0，两个相等的实数根；b24ac0，不存在抛物线yax2bxc(a0)与x轴的交点个数b24ac0，有两个交
3、点；b24ac0，有一个交点；b24ac0，有零个交点(续表)向左向上yax2的图象_ya(xh)2的图象_10 ya(xh)2k的图象知识点内容二次函数的综合运用(1)从实际问题中抽象出二次函数，并能利用二次函数的最值公式解决实际问题中的最值问题.(2)二次函数综合几何图形，要充分抓住几何图形的特点并结合二次函数图象的特点才能有效解决问题.二次函数综合动点问题，要弄清楚在动的过程中，什么变了，什么没变，动中求静才能有效解决问题(续表)二次函数的图象和性质图 3-4-1例1：二次函数yax2bxc(a0)的图象如图3-4-1，下列结论：b24ac0；4ac2b；(ac)2b2；ax2bxab.
4、其中结论正确的是_.答案：【试题精选】1.(2015年贵州黔南州)二次函数yx22x3的图象如图3-4-2，下列说法中错误的是()A.函数图象与 y 轴的交点坐标是(0，3)B.顶点坐标是(1，3)C.函数图象与 x 轴的交点坐标是(3,0)，(1,0)图 3-4-2D.当 x0 时，y 随 x 的增大而减小答案：B2.(2013 年湖北鄂州)小轩从如图 3-4-3 所示的二次函数 yax2bxc(a0)的图象中，观察得出了下面信息：ab0；其中正确信息的个数有()图 3-4-3A.2 个B.3 个C.4 个D.5 个答案：D名师点评：本类题考查的是二次函数的系数符号，先看 a，c，的符号，再
5、结合对称轴推出 b 的符号；同时含有a，b，c的代数式，尽量找到特殊点；此外，还可以把图中的已知点代入帮助解题.确定二次函数的关系式例 2：(2015 年黑龙江龙东地区)如图 3-4-4，抛物线 yx2bxc 交 x 轴于点 A(1,0)，交 y 轴于点 B，对称轴是 x2.(1)求抛物线的解析式；(2)点 P 是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点 P，使PAB 的周长最小？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由.图 3-4-4思路分析(1)根据抛物线经过点A(1,0)，对称轴是x2 列出方程组，解方程组求出 b，c 的值即可.(2)因为点 A 与点 C 关于 x2 对称，根据轴对
6、称的性质，连接BC 与x2 交于点P，则点P 即为所求，求出直线BC 与x2 的交点即可.解：(1)由题意，得抛物线的解析式为yx24x3.(2)点 A 与点 C 关于 x2 对称，连接 BC 与 x2 交于点P，则点P 即为所求(如图3-4-5).根据抛物线的对称性可知，点C的坐标为(3,0)，yx24x3 与 y 轴的交点为(0,3)，图3-4-5设直线 BC 的解析式为 ykxb，由此可得直线 BC 的解析式为 yx3.则直线 BC 与 x2 的交点坐标为(2,1).点 P 的交点坐标为(2,1).【试题精选】3.(2015年广东茂名模拟)已知二次函数yx2的图象向右平移 3 个单位后，
7、得到的二次函数解析式是()B.y(x3)2D.yx23A.y(x3)2C.yx23答案：A4.已知二次函数的图象如图 3-4-6，根据图中的数据：(1)求二次函数的解析式；(2)设此二次函数的顶点为 P，求ABP 的面积.图 3-4-6名师点评求二次函数的解析式，要根据问题中所给的条件，合理地选择二次函数的三种表达式(一般式、顶点式、交点式)进行假设，对快速解决问题有很大的帮助.易错陷阱注意掌握抛物线的平移规律，即“上加下减，左加右减”， 此规律容易记混.二次函数的综合运用例3：如图3-4-7(1)，抛物线yx2bxc与x轴交于A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 O 为坐标原点，点 D 为
8、抛物线的顶点，点 E 在抛物线上，点 F 在 x 轴上，四边形 OCEF 为矩形，且 OF2，EF3.(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求ABD 的面积；(3)将AOC绕点C逆时针旋转90，点A的对应点为点G，问点 G 是否在该抛物线上？请说明理由.(1)(2)图 3-4-7解：(1)四边形 OCEF 为矩形，OF2，EF3，点 C 的坐标为(0,3)，点 E 的坐标为(2,3).把C(0,3)，E(2,3)分别代入yx2bxc，得抛物线所对应的函数解析式为 yx22x3.(2)yx22x3(x1)24，抛物线的顶点坐标为 D(1,4).ABD 中AB 边的高为 4.令y0，得x22x3
9、0，解得x11，x23.AB3(1)4.(3)如图3-4-7(2)，AOC绕点C逆时针旋转90，CO落在CE 所在的直线上，由(1)(2)，可知：OA1，OC3.点 A 的对应点 G 的坐标为(3,2).当 x3 时，y3223302，点 G 不在该抛物线上.【试题精选】5.(2014 年广东广州节选) 已知平面直角坐标系中两定点A(1,0)，B(4,0)，抛物线 yax2bx2(a0)过点 A，B，顶点为 C，点 P(m，n)(n0)为抛物线上一点.(1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标；(2)当APB 为钝角时，求 m 的取值范围.(2)如图 D10，以 AB 为直径作圆 M，则抛物线在
10、圆内的部图 D10P 是抛物线与 y 轴交点，OP2.P 关于抛物线对称轴的对称点为(3，2).当1m0 或 3m4 时，APB 为钝角.1.(2014年广东)二次函数yax2bxc(a0)的大致图象)如图 3-4-8，关于该二次函数，下列说法错误的是(图 3-4-8A.函数有最小值D.当1x2 时，y0答案：D(1)求 c 的取值范围；(2)试确定直线 ycx1 经过的象限，并说明理由.3.(2013年广东)已知二次函数yx22mxm21.(1)当二次函数的图象经过坐标原点 O(0,0)时，求二次函数的解析式；(2)如图 3-4-9，当 m2 时，该抛物线与 y轴交于点 C，顶点为点 D，求
11、 C，D 两点的坐标；(3)在(2)的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PCPD 最短？若点 P 存在，求出点 P 的坐标；若点P不存在，请说明理由.图 3-4-9解：(1)二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)，代入二次函数yx22mxm21，得m210.解得m1.二次函数的解析式为yx22x或yx22x.(2)m2，由二次函数yx22mxm21，得yx24x3(x2)21.抛物线的顶点为D(2，1).当x0时，y3.C点坐标为(0,3).C(0,3)，D(2，1).(3)如图 D11，当 P，C，D 共线时 PCPD 最短，图 D11过点 D 作 DEy 轴于点 E，(3)设在(2)的条件下(不考虑点 P 与点 O，点 C 重合的情况)，连接 CM，BN，当 t 为何值时，四边形 BCMN 为平行四边形？问对于所求的 t 值，平行四边形 BCMN 是否菱形？请说明理由.图 3-4-10