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1、对角修形斜齿轮设计研究（机械工程学报）2014年第十二期1对角修形齿面的设计修形齿面可通过渐开线齿面与法向修形曲面叠加表示，因而确定对角修形齿面的关键是确定法向修形曲面。斜齿轮对角修形如图1所示，仅对啮入啮出端进行修形，中间部分不修或者少修，修形区域为abc和def(图1a)，其I为沿接触线上修形量相等，其II为沿接触线修形量不相等。为了便于测量和确定修形齿面，修形曲面通常用旋转投影面数据法向修形量(x,y)表示，将旋转投影面分别沿齿高、齿长方向均匀划分为mn个网格点阵，通过修形曲线如1b所示，计算网格节点上的修形量，经过3次B样条拟合，便可得到光滑的修形曲面(x,y)。对角修形曲面设计的关键
2、是确定修形量，修形量的大小与齿轮承受的载荷及齿轮的误差有关，理想的修形量是齿轮在进入啮合时没有冲击，平稳接触，可通过TCA、LTCA计算得到。设a点到bc距离为lpm，d点到ef距离为lqn，修形区域abc中沿mp方向修形量可根据2次抛物线曲线增大，设M为修形区域内网格上一点，其到bc或ef距离为lM，则修形量为2CNC平面砂轮磨齿数学模型2.1六轴联动CNC机床数学模型根据齿条与齿轮啮合原理，为了便于加工大型渐开线圆柱齿轮，又要保证机床有足够的刚度，建立图2a所示立式6轴联动数控机床模型。根据图2b、2c)所示平面砂轮展成渐开线齿面原理根据图2d所示CNC机床坐标系，K1、K2为机床常参数，
3、坐标系定义同图2c；根据齿轮啮合原理，考虑到平面砂轮边界，磨削后的齿面位矢、法矢为。从传统型机床向Free-Form型机床的运动等效转换原则是保证刀具与工件的相对位置和姿态在任意时刻都一样17，通过式(3)(4)可得。式中，C0k(k=x、y、z、a、b、c)为各轴运动表达式(理论齿面)，可见齿条展成运动分解在三个移动轴上，磨削大螺旋角宽斜齿轮时，砂轮直径只要适当大于瞬时接触线，不用虑齿宽，但此时平面砂轮模拟齿条时，砂轮应有齿向运动见图2c，其中Cs为砂轮沿齿向运动速度的常参数，增加Cs能够减小砂轮直径，当Cs=0时，加工时的最小砂轮直径为最大值。2.2CNC平面砂轮磨削对角修形齿面计算磨削经
4、过中平面砂轮与斜齿轮瞬时接触线为直线，为了从啮入到啮出磨出整个齿面，砂轮外径应不小于最长的瞬时接触线长度如图2c所示式中，j为基圆螺旋角；ra、rb分别为齿顶圆、基圆半径；ls为接触线长度；q齿条接触线沿齿向夹角，at为端面压力角，hs径向进给充裕量常数。为了不至于划伤齿根，平面砂轮外径应径向进给到过度曲线，且有一定的充裕量hs，根据图2b、2c砂轮位矢表示为修形曲面(法向偏差)为微调各轴运动参数所致，选取理论展成角1为各轴之间的联络参数，实由网格节点i(i=1,2,p,p为齿面网格点个数取915=135)处各轴敏感系数组成的行矢量Si构成；(ui,i)为齿面网格节点i处修形量，通过对角修形曲
5、面得到。2.3机床运动各轴参数求解式(9)为一个超定线性方程组，目前,对超定线性方程求解的方法有线性规划方法、投影下降法、极小l1范数法、Gram-Schmid正交化法、Levenberg-Marquard法等，但是实际上由于圆柱齿轮随着的齿面网格点数的增加，方程组的高度病态使其求解精度较低，工程应用遭到限制。粒子群算法(PSO)18且具有全局收敛性，能够求解非凸、不连续、或具有多个局部极值的非线性优化问题，其构造简单，易于实现，本文通过粒子群优化算法求解。圆柱齿轮磨齿加工属于减材料加工，因而对砂轮能否与齿面接触做出判定：Si0表示平面砂轮嵌入齿面i点进行磨削；Si0表示砂轮远离齿面i点进行磨
6、削；为了使加工误差最小应使齿面误差平方和最小即。3算例与分析以表1标准安装齿轮副为例，取K1=K2=0,hs=2mm、Cs=0时，Rw320mm，取Rw=350mm。式(12)为CNC加工各轴06阶系数的齿面误差敏感矩阵；图3为机床直线轴、回转轴运动0阶、1阶系数分别变化0.010、0.001引起的齿面法向偏差：轴向进给(Cx)、径向进给(Cy)、齿厚方向进给(Cz)与压力角轴(Ca)的0阶参数变化表明，远离工件时无误差，嵌入工件时引起齿厚修正(见a0,a1,b0,c0,d0,f0)，1阶参数变化引起沿齿向方向靠近齿根或齿顶分别不等的修正(见a2,a3,b1,b2,c1,c2,e1,e2,f1
7、,f2)，且各轴校正敏感性程度依次降低；螺旋角轴(Cb)0阶参数的变化引起齿向方向修正(见e0,e1)，1阶参数变化引起不同部位对角的校正(见e2,e3)；各轴0阶参数均较1阶参数对齿面影响更大。图4中某工况下优化设计的对角修形曲面(见图4a4b)，其中齿面划分为915个点见(图4c)，PSO优化后的解在50代后趋于稳定(图4d)，CNC磨削后的修形曲面较为光滑(图4e)，磨削最大误差2m(图4f)；各轴运动曲线接近直线(图4g)，便于数控编程；与磨削理论齿面相比，对角修形各轴运动变化(图4h)：沿齿向方向：Cx、Cy、Cz基本趋于常数，这表明对角修形主要由其他3个轴完成加工；Ca变化趋势与图
8、3(d1,d2)一致，压力角减小则齿面节圆至齿根部分被修去，压力角增大则节圆至齿顶部分被修去；同样Cb变化趋势与图3(e2,e3)一致，表明靠近啮入端螺旋角是逐步减小的，主要修形部位为啮入端，靠近啮出端螺旋角是逐步增大，主要修形部位为啮出端；Cc变化趋势与图3(f1,f2)一致，表明啮入至啮出经过中，实际展成角数值上总是超越理论展成角，则主要修形部位为啮入、啮出端；Ca,Cb,Cc变化趋势与修形量变化趋势基本一致。表2为修形前后各轴运动方程，与修形前相比对应0阶或1阶系数有微小变化，起主要校正作用。4结论(1)设计对角修形曲线，计算齿面修形法矢量，通过3次B样条拟合为对角修形曲面。(2)根据齿
9、条展成渐开线齿面，建立平面砂轮磨削斜齿轮6轴联动Free-Form型数控机磨齿模型，通过齿条与砂轮位矢等效转换推导各轴运动关系。(3)建立渐开线圆柱齿轮齿面校正模型，分析各参数对齿面误差的影响，表明Ca、Cc、Cz、Cy、Cx轴0阶参数影响齿厚变化、1阶参数引起齿廓与齿向方靠近齿根或齿顶不同程度校正，且校正敏感性程度依次降低；Cb轴0阶参数变化引起齿向的线性校正、1阶参数可引起齿面对角的校正。(4)建立磨削齿面的误差模型，以齿面误差平方和最小为目的函数，通过PSO优化方法，得到机床各轴运动参数，该方法计算结果稳定且精度较高；(5)沿齿向方向压力角、螺旋角、展成角微调可分别实现一定的对角修形加工；6轴联动平面砂轮磨削对角修形齿面时，有效降低了磨削误差，沿齿向方向、径向进给方向、齿厚进给方向的运动基本趋于常数，压力角、螺旋角、展成角的变化规律与修形量变化规律基本一致；根据齿条展成渐开线齿轮原理分析压力角、螺旋角、展成角沿齿向变化对齿面影响可以得到同样结果。