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1、第 1 页第第 1 讲讲 角的存在性处理策略角的存在性处理策略知识必备 一、一线三等角一、一线三等角 1.如图 1-1-1,且,此o90EDACB045CABCBEACD为“一线三直角”全等,又称“K 字型”全等;图 1-1-1 图 1-1-2 图 1-1-3 图 1-1-42.如图 1-1-2,此为“一线三直角”o90EDACBCBEACD相似,又称“K 字型”相似;3.如图 1-1-3,此为更一般的“一线o90EDACBCBEACD 三等角”. 二、相似三角形的性质二、相似三角形的性质相似三角形的对应边成比例,其比值称为相似比;相似三角形的对应线段成比例. 3、正切的定义如图 1-1-4,
2、在中,即的正切值等于的对边与的ABCRtbaA tanAAA邻边之比;同理,则,即互余两角的正切值互为倒数.abB tan1tantanBA方法提炼方法提炼 1、基本策略:联想构造基本策略:联想构造 2、构造路线构造路线方式方式(一一):构造:构造“一线三等角一线三等角”1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等,如图 1-2-1;图 1-2-12.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似,如图 1-2-2;图 1-2-23.tan=k构直角三角形造“一线三直角”相似,如图 1-2-3;4.“一线三等角”的应用分三重境界;一重境:当一条线上已有三个等角时,只要识别、证明,直接应用模型解题
3、,如图 1-2-4 所示的“同侧型一线三等角”及图 1-2-5 所示的“异侧型一线三等角”;二重境:当一条线上已有两个等角时,需要再补上一个等角,构造模型解题;三重境:当一条线上只有一个角时,需要再补上两个等角,构造模型解题,如图 1-2-6及图 1-2-7 所示;方式(二):构造“母子型相似”“角处理”,还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线,造成某水平边或竖直边对此角结构,然后在这条线上图 1-2-3图 1-2-4图 1-2-5图 1-2-6图 1-2-7第 2 页补出一个与此角相等的角,构造出“母子型相似”,其核心结构如图 1-2-8 所示.方式(三):整体旋转法(*)前两种构造属静
4、态构造方式,再介绍一种动态构造方式,即整体旋转法,其核心思想是“图形的旋转(运动)本质是图形上点旋转(运动) ;反过来,点的旋转(运动)可以看成该点所在图形的旋转(运动) ”.下面以三个问题说明此法:问题 1 已知点 A(3,4) ,将点 A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45 角,求其对应点 A的坐标.简析 第一步 (“整体旋转”):如图 1-2-9,作 ABy 轴于点 B,则 AB=3,OB=4,点A 绕原点 O 顺时针方向旋转 45 得到点 A,可看成 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转 45得到 RtOAB,则 AB=8,OB=4,且BOB=45; 第二步(造“一线三直角” ):如图
5、 1-2-10,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtRt;OCBB DA事实上,Rt与 Rt都是等腰直角三角形,于是有=,OCBB DAOCB C2 2=,故点的坐标为B DA D23 2A;7 22(,)22 问题 2 已知点,将点绕原(4,6)AA点顺时针方向旋转角,其中Oa=,求其对应点的坐标.tana12A简析 第一步(“整体旋转” ):如图 1-2-11,作 ABy 轴于点 B,则 AB=4,OB=6,将 RtOAB 绕原点 O 顺时针方向旋转角得到 Rt,则=4,=6,aOA B A B OB且=; tanBOBtana12 第二
6、步(造“一线三直角” ):如图 1-2-12,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtRt,OCBB DA于是有=,=,=,=,故点的坐标为.B C565OC5125A D545B D585A55(,)55148问题 3 已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,求其对应点的坐标.( , )A a bAOaA简析 不是一般性,不妨都在第一象限内思考问题: 第一步(“整体旋转” ):如图 1-2-13,作 ABy 轴于点 B,则 AB=,OB=,将 Rtab OAB 绕原点 O 顺时针方向旋转角得到 Rt,则=,=,且=; aOA B A B aOBbB
7、OBa 第二步(造“一线三直角” ):如图 1-2-14,依托旋转后的 Rt,作系列“水平OA B 竖直辅助线” ,构造“一线三直角” ,即 RtRt,OCBB DA 于是有=,=,=,=,B CsinbaOCcosbaA DsinaaB Dcosaa 故点的坐标为.A(,)cossincossinaaba baaa例例 1 1(2019日照)如图 1-3-1,在平面直角坐标系中,经过点 A 的双曲线同时经 = (0) 过点 B,且点 A 在点 B 的左侧,点 A 的横坐标为,AOB=OBA=45,则 k 的值为2_。 简析简析由题可知,OAB 为等腰直角三角形;图 1-2-8图 1-2-9第
8、 3 页如图 1-3-2,构造“一线三直角”结构,即 RtOADRtABC; 设 OD=AC=t,则 A(,t),B(,),从而有t=()(),解得2 + 2 22 + 2 2; =2 + 102( =2 102舍去)因此有。 = 2 = 1 + 5反思:见等腰直角三角形,造反思:见等腰直角三角形,造“一线三直角一线三直角” ,即,即“K“K 字型字型”全等。全等。例例 2 2 如图 1-3-3,已知反比例函数的图像经过点 A(3,4),在该图像上找一点 = (0) P,使POA=45,则点 P 的坐标为_。 简析简析 1 1(构造“一线三直角” ):如图 1-3-4,作 ABOA 交 OP
9、于点 B,则OAB 为等腰直角 三角形; 再造“一线三直角”结构,即 RtOADRtABC,由 A(3,4),可得 OD=AC=4,AD=BC=3,则 B(7,1),故直线 OP 的解析式为,且反比例函数的解析式为,联立得 =1 7 =12 ,解得(负值舍去) ,故点 P 的坐标为(,)。 =1 7 =12 ? = 2 21 =2 217?2 212 217 简析简析 2 2(构造“一线三等角” ):如图 1-3-5,分别过点 A、P 作 y 轴的垂线,垂足依次为点 D、E,再在 y 轴上分别找点 B、C,使 BD=AD,CE=PE,则ABO=PCO=45;由POA=45,易证ABOOCP,则
10、,即 ABCP=BOOC;由 A(3,4),可得 = ,BO=BD+OD=7,k=12,再设点 P(t,),则 CP=,OC=CE-OE=PE-OE=,AB = 3 212 2 12 从而有,解得,故点3 2 2 = 7( 12 ) = 2 21( = 2 21舍去)P 的坐标为()。2 21,2 217450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。依托 450角,自然联想到构造等腰直角三角形。然后依托等腰直角三角形,再造“一线三直角” ,这是处理 450角的基本策略之一。如图 1-3-6,若C=450,一般有四种方式构造直角三角形,但建议将已知点作为直角顶点,相对而言会更简单。这也体现出了“以不变
11、应万变”的解题策略。解法 1,从头到尾几乎口算,不需要设元,原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点 A 作为直角顶点,否则需要设元求解,很是麻烦。解法 2,将 y 轴看成所谓“一线” 。利用一个 450角,再补两个“450”角,构造“一线三等角” ,设出坐标,巧妙解题,这是角的存在性问题另一种重要处理策略。如图 1-3-7,已知抛物线与轴交于 A、B 两点,且经过点、27 2yxxc x0 2C,点 P 是直线 CD 上方抛物线上一动点,当时,求点 P 的坐标。732D,0=45PCDxy图 1-3-5CEPBDAO第 4 页策略一:450 构等腰直角三角形造“一线三直角”.简析:易求抛物线的
12、解析式为,直线 CD 的解析式为2722yxx 122yx如图 1-3-8,过点 D 作 DQCQ,交 CP 的延长线于点 Q,过点 D 作平行于 y 轴 的直线,并分别过点 C、Q 向该直线上作垂线,垂足依次为点 E、F,则CDQ 为等腰直角三角形,CEDDFQ,DF=CE=3,QF=DE=,故 Q 点坐标为3 13 22,利用 C、Q 两点,可以求出直线 CP 的解析式,在与抛物线联立得32yx,解得(舍去) ,或 ,因此点 P 坐标为232722yxyxx =0 2x y1=2 7 2xy 1 7 2 2,类似的,也可以过点 P 作垂线等。但不推荐,否则直角顶点未知。需要设元求解,而简析
13、 1 直角顶点 D 已知,故而顺风顺雨。理论上,在直线 CD 上任取一个已知点,将之做为等腰直角三角形的直角顶点,都可顺利解决,如图 1-3-9 所示,可自行探究。对比例 2,还可以发现,双曲线与抛物线都是“幌子” ,借助 450角的处理策略,他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。练就“慧眼” ,便可以“识珠” ,很多题目的命制套路就是如此.策略二:一个 45补两个 45造“一线三等角”如图 1310,过点 P、D 向轴上做垂线,补出两个 45角,构出“一线三等角”结构,即PCECDF,则有,即 PEDF=CECF;DFCE CFPE由题可设 P(t,-t+t+2),易得 PE=t,DF=
14、3,CE=-t+t+2272227+t-2=-t+t,CF=2-(-3)=,因此有t3=(-t+t),解得 t=(t=0 舍去) ,29 27 232223 29 21图 1-3-7图 1-3-9图 1-3-8第 5 页故点坐标为(,)21 27因本题数据的特殊性,最后可以看出,点因本题数据的特殊性,最后可以看出,点 P、D 的纵坐标相等,故过点的纵坐标相等,故过点 P、D 向向 y 轴做轴做 垂线,垂足重合,即图中的垂线,垂足重合,即图中的 G 点,其实巧合与否,对解题并无影响;点,其实巧合与否,对解题并无影响; 此外,所谓此外,所谓“一线一线” ,也可以做成,也可以做成“水平线,甚至于水平
15、线,甚至于“斜线斜线” ,可自行探究,一般选择,可自行探究,一般选择 现有的现有的“一线一线”比较合适。比较合适。 策略三:一个 45再补一个 45造“母子型相似” 如图 1-3-11,过点 D 作 y 轴的平行线交 CP 的延长线于点 Q, 交 x 轴于点 G,再作 CEQG 于点 E,构造等腰 RTCEF,则F=45,EF=CE=3,DE=23由PCD=45,可得QCDQFC,易证 QC=QDQF;设 QD=t,则 QC=QE+CE=(t+)+9,故有(t+)+9=t(t+23 23),解得 t=,故点的坐标为(3,11)29 215再利用 C、Q 两点,可求出直线的解析式为 y=3x+2
16、,与抛物线联立得 y=3x=2、y=-x+x+2 解得 x=0、y=2, (舍去)或27x=、y=,故点坐标为(,) 。21 27 21 27“母子型相似母子型相似”与与“一线三等角一线三等角”是极其重要的基本相似形,上述解法都将是将其视是极其重要的基本相似形,上述解法都将是将其视 为为“工具工具” ,结合这些基本图形的结构特征,缺啥补啥,巧妙构造,顺利求解,结合这些基本图形的结构特征,缺啥补啥,巧妙构造,顺利求解. 策略四:45“整体旋转”+“矩形大法” 第一步(“整体旋转” ):如图 1-3-12,过两点作相应“水平竖直辅助线” ,构造 RTCDE,再将 RTCDE 绕点 C 逆时针旋转
17、45至 RTCDE,则 CE=CE=3,DE=DE=,且ECE=4523第二步(“矩形大法” ):如图1-3-13,依托旋转后 的 RtCDE,作系列“水平竖直辅助线” ,构造矩 形 CGHK,则 RtCGERtEHD, 事实上,RtCGE与RtEHD都是等腰直角三角形,于是有 CG=EG=,DH=EH=,223 423则 DK=-=,OK=OC+CK=2+,故点 D的坐标为(,2+) ,下223 423 423 429 423 429第 6 页略. 图 1-3-13反思 这里运用动态视角,借助旋转的眼光看问题,将点的旋转看成该点所在的直角三角 形的旋转,巧思妙构,利用系列“水平竖直辅助线”
18、,达到“改斜规正,化斜为直”之 效,虽然最后的数据稍显“丑陋” ,但并不影响此法的通用性与普适性. 因为 45的特殊性,本题还可以尝试采用所谓的“半角模型”来求解. 策略五: 45正方形中的“半角模型” 简析 5 如图 1-3-14,作正方形 CEFG,使 CG 边在 y 轴上,且边 EF 过点 D,直线 CP 与 FG 交于点 Q; 图 1-3-14 图 1-3-15设 QG=x,由PCD=45,结合正方形中“半角模型” ,可得 QD=QG+DE=x+,最后23锁定 RtQDF,由勾股定理得(3-x)+()=(x+),解得 x=1,故点 Q 坐标为23 23(1,5) ,下略. 反思:正方形
19、中“半角模型”应用广泛,核心结构如图 1-3-15 所示,其结论众多,常 用的有:EF=AE+CF,EB 平分AEF,FB 平分CFE 等,可通过旋转法加以证明; 通过前面的例题探究可以看出:紧抓 45角不放手,扣住一条主线,即“45角构 造等腰直角三角形造 K 字形全等” ,是处理 45角问题的通解通法; 当然也可以构造一些常见的几何模型,如“一线三等角” 、 “母子形相似” 、 “半角模型” 等; 其实 45角只是一个特例、一个代表而已,若将 45改为 30等特殊角,甚至改成 更一般的已知其三角函数值的确定角,都可以类似解决.例 4(2019 年临夏)如图 1-3-16,在平面直角坐标系
20、xOy 中,顶点为 M 的抛物线是 由抛物线 y=x-3 向右平移一个单位后得到的,它与 y 轴负半轴交于点 A,点 B 在抛物线上, 且横坐标为 3. (1)求点 M 、A 、B 坐标; (2)连接 AB AM BM ,求ABM 的正切值; (3)点 P 为顶点为 M 的抛物线上一点,且位于对称轴右侧,设 PO 与 x 正半轴的夹角 为 ,当 =ABM 时,求 P 点坐标 图 1-3-16简析:(1)图示抛物线的解析式为,则3) 1(2 xyM(1,-3),A(0,-2),B(3,1);90MAB(2)法 1(代数法):利用两点间距离公式计算。验算,可证222MBABAM、222MBABAM
21、,在 RtABM 中,可得 tan=90MABABM;31ABAM法 2(几何法):如图 1-3-17,分别过点 B、M 作 y 轴的垂线,垂足依次为点 C、D,由题可得第 7 页AD=MD=1,AC=BC,=3,则ADM 与ABC 均为等腰直角三角形,故么DAM=CAB=,AM=,AB=3,从而有么,在 RtABM 中,452290MAB可得 tan=;ABM31ABAM(3)由题知 tan=tan=,显然符合条件的点 P 有两个:当点 P 在 xABM31轴上方时,由 B(3,1),易知点 P 与点 B 重合,即点 P(3,1); 当点 P 在 x 轴下方时,如图 1-3-18,作 PG
22、上 x 轴于点 G,则tan=,可设 PG=m(m0)则 OG=3m,故点31OGPGP(3m,-m) ,代入抛物线得,解得3-1)-(3m=m-20)的图像经过 A、B 两点,若已知 A(n,1) ,则 k 的值为 .xky yAOxP2如图 142,直线 y=3x 与双曲线(x0)交于 A 点,点 P 是该双曲线第一象限xy3上的一点,且AOP=1+2,则点 P 的坐标为 .yAOxP 1 23如图 143,已知反比例函数(x0)的图像经过点 A(4,6) ,在 OA 右侧该xky 图像上找一点 P,使 tanPOA=,则点 P 的坐标为 .21yAOxP4如图 144,在矩形 ABCD
23、中,E 是边 AB 上的一点,AE=2,BE=4,连接 DE,作DEF=45交边 BC 于点 F,若 AD=x,BF=y,则 y 关于 x 的函数关系式为 .图 143图 142图 141第 10 页ABCDEFx24y455如图 145,抛物线经过 A(1,0) 、C(0,4)两点,与 x 轴交abxaxy42于另一点 B. (1)求抛物线的解析式; (2)已知点 D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连接 BD,P 为抛物线上一点,且DBP=45,求点 P 的坐标; 变式 1:连接 BD,P 为抛物线上一点,且DBP=135,求点 P 的坐标; 变式 2:连接 BD,P 为抛物线上一点,且 tanDBP=2,求点 P 的坐标.ACBxyOACBxyO图 144图 145备用图