中考数学专题存在性问题解题策略《角的存在性处理策略》(11页).doc

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1、-中考数学专题存在性问题解题策略角的存在性处理策略-第 11 页第1讲 角的存在性处理策略 知识必备一、一线三等角 1.如图1-1-1,且,此为“一线三直角”全等,又称“K字型”全等; 图1-1-1 图1-1-2 图1-1-3 图1-1-4 2.如图1-1-2,此为“一线三直角”相似,又称“K字型”相似; 3.如图1-1-3,此为更一般的“一线三等角”.二、相似三角形的性质 相似三角形的对应边成比例,其比值称为相似比; 相似三角形的对应线段成比例.三、 正切的定义 如图1-1-4,在中,即的正切值等于的对边与的邻边之比;同理,则,即互余两角的正切值互为倒数.方法提炼一、 基本策略:联想构造二、

2、 构造路线 方式(一):构造“一线三等角” 1.45o角构等腰直角三角形造“一线三直角”全等,如图1-2-1; 图1-2-1 2.30o角构直角三角形造“一线三直角”相似,如图1-2-2; 图1-2-23.tan=k构直角三角形造“一线三直角”相似,如图1-2-3;图1-2-34.“一线三等角”的应用分三重境界;一重境:当一条线上已有三个等角时,只要识别、证明,直接应用模型解题,如图1-2-4所示的“同侧型一线三等角”及图1-2-5所示的“异侧型一线三等角”;二重境:当一条线上已有两个等角时,需要再补上一个等角,构造模型解题;三重境:当一条线上只有一个角时,需要再补上两个等角,构造模型解题,如

3、图1-2-6及图1-2-7所示;图1-2-7图1-2-6图1-2-5图1-2-4方式(二):构造“母子型相似”“角处理”,还可以在角的一边上某点处作水平或竖直辅助线,造成某水平边或竖直边对此角结构,然后在这条线上补出一个与此角相等的角,构造出“母子型相似”,其核心结构如图1-2-8所示.图1-2-8方式(三):整体旋转法(*)前两种构造属静态构造方式,再介绍一种动态构造方式,即整体旋转法,其核心思想是“图形的旋转(运动)本质是图形上点旋转(运动);反过来,点的旋转(运动)可以看成该点所在图形的旋转(运动)”.下面以三个问题说明此法:问题1 已知点A(3,4),将点A绕原点O顺时针方向旋转45角

4、,求其对应点A的坐标.简析 第一步 (“整体旋转”):如图1-2-9,作ABy轴于点B,则AB=3,OB=4,点A绕原点O顺时针方向旋转45得到点A,可看成RtOAB绕原点O顺时针方向旋转45得到RtOAB,则AB=8,OB=4,且BOB=45; 图1-2-9第二步(造“一线三直角”):如图1-2-10,依托旋转后的Rt,作系列“水平竖直辅助线”,构造“一线三直角”,即RtRt;事实上,Rt与Rt都是等腰直角三角形,于是有=,=,故点的坐标为;问题2 已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,其中=,求其对应点的坐标.简析 第一步(“整体旋转”):如图1-2-11,作ABy轴于点B,则AB=4,OB

5、=6,将RtOAB绕原点O顺时针方向旋转角得到Rt,则=4,=6,且=; 第二步(造“一线三直角”):如图1-2-12,依托旋转后的Rt,作系列“水平竖直辅助线”,构造“一线三直角”,即RtRt,于是有=,=,=,=,故点的坐标为.问题3 已知点,将点绕原点顺时针方向旋转角,求其对应点的坐标.简析 不是一般性,不妨都在第一象限内思考问题:第一步(“整体旋转”):如图1-2-13,作ABy轴于点B,则AB=,OB=,将RtOAB绕原点O顺时针方向旋转角得到Rt,则=,=,且=; 第二步(造“一线三直角”):如图1-2-14,依托旋转后的Rt,作系列“水平竖直辅助线”,构造“一线三直角”,即RtR

6、t,于是有=,=,=,=,故点的坐标为.例1(2017日照)如图1-3-1,在平面直角坐标系中,经过点A的双曲线同时经过点B,且点A在点B的左侧,点A的横坐标为,AOB=OBA=45,则k的值为_。简析由题可知,OAB为等腰直角三角形;如图1-3-2,构造“一线三直角”结构,即RtOADRtABC;设OD=AC=t,则A(,t),B(,),从而有t=()(),解得;因此有。反思:见等腰直角三角形,造“一线三直角”,即“K字型”全等。例2如图1-3-3,已知反比例函数的图像经过点A(3,4),在该图像上找一点P,使POA=45,则点P的坐标为_。简析1(构造“一线三直角”):如图1-3-4,作A

7、BOA交OP于点B,则OAB为等腰直角三角形;再造“一线三直角”结构,即RtOADRtABC,由A(3,4),可得OD=AC=4,AD=BC=3,则B(7,1),故直线OP的解析式为,且反比例函数的解析式为,联立得,解得(负值舍去),故点P的坐标为(,)。简析2(构造“一线三等角”):如图1-3-5,分别过点A、P作y轴的垂线,垂足依次为点D、E,再在y轴上分别找点B、C,使BD=AD,CE=PE,则ABO=PCO=45;由POA=45,易证ABOOCP,则,即ABCP=BOOC;由A(3,4),可得,BO=BD+OD=7,k=12,再设点P(t,),则CP=,OC=CE-OE=PE-OE=,

8、从而有,解得,故点P的坐标为()。450是一个神奇美妙、让人浮想联翩的角。依托450角,自然联想到构造等腰直角三角形。然后依托等腰直角三角形,再造“一线三直角”,这是处理450角的基本策略之一。如图1-3-6,若C=450,一般有四种方式构造直角三角形,但建议将已知点作为直角顶点,相对而言会更简单。这也体现出了“以不变应万变”的解题策略。解法1,从头到尾几乎口算,不需要设元,原因在于构造等腰直角三角形时。将已知点A作为直角顶点,否则需要设元求解,很是麻烦。解法2,将y轴看成所谓“一线”。利用一个450角,再补两个“450”角,构造“一线三等角”,设出坐标,巧妙解题,这是角的存在性问题另一种重要

9、处理策略。如图1-3-7,已知抛物线与轴交于A、B两点,且经过点、,点P是直线CD上方抛物线上一动点,当时,求点P的坐标。图1-3-9图1-3-8图1-3-7策略一:450 构等腰直角三角形造“一线三直角”.简析:易求抛物线的解析式为,直线CD的解析式为如图1-3-8,过点D作DQCQ,交CP的延长线于点Q,过点D作平行于y轴 的直线,并分别过点C、Q向该直线上作垂线,垂足依次为点E、F,则CDQ为等腰直角三角形,CEDDFQ,DF=CE=3,QF=DE=,故Q点坐标为利用C、Q两点,可以求出直线CP的解析式,在与抛物线联立得 ,解得(舍去),或 ,因此点P坐标为类似的,也可以过点P作垂线等。

10、但不推荐,否则直角顶点未知。需要设元求解,而简析1直角顶点D已知,故而顺风顺雨。理论上,在直线CD上任取一个已知点,将之做为等腰直角三角形的直角顶点,都可顺利解决,如图1-3-9所示,可自行探究。对比例2,还可以发现,双曲线与抛物线都是“幌子”,借助450角的处理策略,他们仅仅起到最后联立解方程组求交点的作用。练就“慧眼”,便可以“识珠”,很多题目的命制套路就是如此.策略二:一个45补两个45造“一线三等角” 如图1310,过点P、D向轴上做垂线,补出两个45角,构出“一线三等角”结构,即PCECDF,则有,即PEDF=CECF;由题可设P(t,-t+t+2),易得PE=t,DF=3,CE=-

11、t+t+2+t-2=-t+t,CF=2-(-3)=,因此有t3=(-t+t),解得t=(t=0舍去),故点坐标为(,)因本题数据的特殊性,最后可以看出,点P、D的纵坐标相等,故过点P、D向y轴做垂线,垂足重合,即图中的G点,其实巧合与否,对解题并无影响;此外,所谓“一线”,也可以做成“水平线,甚至于“斜线”,可自行探究,一般选择现有的“一线”比较合适。策略三:一个45再补一个45造“母子型相似”如图1-3-11,过点D作y轴的平行线交CP的延长线于点Q,交x轴于点G,再作CEQG于点E,构造等腰RTCEF,则F=45,EF=CE=3,DE=由PCD=45,可得QCDQFC,易证QC=QDQF;

12、设QD=t,则QC=QE+CE=(t+)+9,故有(t+)+9=t(t+),解得t=,故点的坐标为(3,11)再利用C、Q两点,可求出直线的解析式为y=3x+2,与抛物线联立得y=3x=2、y=-x+x+2解得x=0、y=2,(舍去)或x=、y=,故点坐标为(,)。“母子型相似”与“一线三等角”是极其重要的基本相似形,上述解法都将是将其视为“工具”,结合这些基本图形的结构特征,缺啥补啥,巧妙构造,顺利求解.策略四:45“整体旋转”+“矩形大法”第一步(“整体旋转”):如图1-3-12,过两点作相应“水平竖直辅助线”,构造RTCDE,再将RTCDE绕点C逆时针旋转45至RTCDE,则CE=CE=

13、3,DE=DE=,且ECE=45第二步(“矩形大法”):如图1-3-13,依托旋转后的RtCDE,作系列“水平竖直辅助线”,构造矩形CGHK,则RtCGERtEHD,事实上,RtCGE与RtEHD都是等腰直角三角形,于是有CG=EG=,DH=EH=,则DK=-=,OK=OC+CK=2+,故点D的坐标为(,2+),下略.图1-3-13 反思 这里运用动态视角,借助旋转的眼光看问题,将点的旋转看成该点所在的直角三角形的旋转,巧思妙构,利用系列“水平竖直辅助线”,达到“改斜规正,化斜为直”之效,虽然最后的数据稍显“丑陋”,但并不影响此法的通用性与普适性.因为45的特殊性,本题还可以尝试采用所谓的“半

14、角模型”来求解.策略五: 45正方形中的“半角模型”简析5 如图1-3-14,作正方形CEFG,使CG边在y轴上,且边EF过点D,直线CP与FG交于点Q;图1-3-14 图1-3-15设QG=x,由PCD=45,结合正方形中“半角模型”,可得QD=QG+DE=x+,最后锁定RtQDF,由勾股定理得(3-x)+()=(x+),解得x=1,故点Q坐标为(1,5),下略.反思:正方形中“半角模型”应用广泛,核心结构如图1-3-15所示,其结论众多,常用的有:EF=AE+CF,EB平分AEF,FB平分CFE等,可通过旋转法加以证明;通过前面的例题探究可以看出:紧抓45角不放手,扣住一条主线,即“45角

15、构造等腰直角三角形造K字形全等”,是处理45角问题的通解通法;当然也可以构造一些常见的几何模型,如“一线三等角”、“母子形相似”、“半角模型”等;其实45角只是一个特例、一个代表而已,若将45改为30等特殊角,甚至改成更一般的已知其三角函数值的确定角,都可以类似解决. 例4(2014年临夏)如图1-3-16,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M 、A 、B坐标;(2)连接AB AM BM ,求ABM的正切值;(3)点P为顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴右侧,设PO与x正半轴

16、的夹角为,当=ABM时,求P点坐标图1-3-16简析:(1)图示抛物线的解析式为,则M(1,-3),A(0,-2),B(3,1);(2)法1(代数法):利用两点间距离公式计算。验算,可证,在RtABM中,可得tan=;法2(几何法):如图1-3-17,分别过点B、M作y轴的垂线,垂足依次为点C、D,由题可得AD=MD=1,AC=BC,=3,则ADM与ABC均为等腰直角三角形,故么DAM=CAB=,AM=,AB=3,从而有么,在RtABM中,可得tan=;(3)由题知tan=tan=,显然符合条件的点P有两个:当点P在x轴上方时,由B(3,1),易知点P与点B重合,即点P(3,1);当点P在x轴

17、下方时,如图1-3-18,作PG上x轴于点G,则tan=,可设PG=m(m0)则OG=3m,故点P(3m,-m),代入抛物线得,解得0(舍去),故点P综上所述:点P的坐标为(3,1)或。第(2)小问给我们的解题启示:大胆猜想,小心求证,即为求tan的值,首先从几何直观上猜想,然后利用勾股逆定理验边或几何上导角等加以说理;而第(3)小问属典型的“角处理”问题,其基本的解题之道是“正切处理”,即通过“横平竖直”辅助线,将角问题转化为边问题,再巧设边长,妙写坐标,代入解析式即可;另外,本题简单在么a有一条“水平边”,即平行于坐标轴的边,若无“水平边”或“竖直边”.又如何处理呢?请看下例:如图1-3-

18、19,二次函数的图像与x轴交于点A、B,与y轴交于点C,顶点D的横坐标为1.(1)求二次函数的解析式及A、B的坐标;(2)若点P(0,t)(t-1)是y轴上的一点,Q(-5,0),将点Q绕着点P按顺时针方向旋转得到点E,当点E恰好落在该二次函数的图像上时,求t的值;(3)在(2)的条件下,连接AD、AE,若M是该二次函数图像上的一点,且么DAE=MCB,求点M的坐标。简析:(1)由题易得m=-1,则二次函数的解析式为。且有点A(-1,0)及B(3,0);(2)如图1-3-20,作“K字型全等”即RtPQRRtEPF,则PF=QR=-t,EF=PR=5,故点E(-t,t+5),代人抛物线得解得t

19、=-1或-2,因为t0)的图像经过A、B两点,若已知A(n,1),则k的值为 .图1412如图142,直线y=3x与双曲线(x0)交于A点,点P是该双曲线第一象限上的一点,且AOP=1+2,则点P的坐标为 .图1423如图143,已知反比例函数(x0)的图像经过点A(4,6),在OA右侧该图像上找一点P,使tanPOA=,则点P的坐标为 .图1434如图144,在矩形ABCD中,E是边AB上的一点,AE=2,BE=4,连接DE,作DEF=45交边BC于点F,若AD=x,BF=y,则y关于x的函数关系式为 .图1445如图145,抛物线经过A(1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.(1)求抛物线的解析式;(2)已知点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上,求点D关于直线BC对称的点的坐标;(3)在(2)的条件下,连接BD,P为抛物线上一点,且DBP=45,求点P的坐标;变式1:连接BD,P为抛物线上一点,且DBP=135,求点P的坐标;变式2:连接BD,P为抛物线上一点,且tanDBP=2,求点P的坐标.备用图图145

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