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1、3.3.2 简单的线性规划问题第1课时 简单的线性规划问题 1.1.了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、了解线性规划的意义及线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；可行域、可行解等基本概念；2.2.了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问了解线性规划问题的图解法，并能解决一些简单的问题题. .1.1.某工厂用某工厂用A A、B B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用一件甲产品使用4 4个个A A配件耗时配件耗时1h1h，每生产一件乙产品使，每生产一件乙产品使用用4 4个个B B配件耗时配件耗时2h2h，该厂每天最多可
2、从配件厂获得，该厂每天最多可从配件厂获得1616个个A A配件和配件和1212个个B B配件，按每天工作配件，按每天工作8h8h计算，该厂所有可能的计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？日生产安排是什么？(1)(1)设甲、乙两种产品分设甲、乙两种产品分别生产别生产x x、y y件，由已知件，由已知条件可得二元一次不等条件可得二元一次不等式组：式组：2841641200.xyxyxy ，将上面不等式组表示成平面上的区域将上面不等式组表示成平面上的区域, ,区域内所有坐标区域内所有坐标为整数的点为整数的点 时时 , ,安排生产任务安排生产任务 都是有意义的都是有意义的. .( , )P x y,x
3、 yy0 x434828xy4x =3y简单线性规划问题及有关概念简单线性规划问题及有关概念 进一步，若生产一件甲种产品获利进一步，若生产一件甲种产品获利2 2万元万元, ,生产一生产一件乙种产品获利件乙种产品获利3 3万元万元, ,采用哪种生产安排利润最大采用哪种生产安排利润最大? ?设生产甲产品设生产甲产品x x件，乙产品件，乙产品y y件时，工厂获得的利润为件时，工厂获得的利润为z,z,则则z=2x+3y.z=2x+3y.上述问题就转化为：当上述问题就转化为：当x x、y y满足不等式组并且为非满足不等式组并且为非负整数时，负整数时，z z的最大值是多少？的最大值是多少？2223,333
4、3zzxyyxzy 把变形为,这是斜率为在 轴上的截距为 的直线,3Pzz当点在可允许的取值范围内变化时，求截距的最值,即可得 的最值.z当 变化时，可以得到一组互相平行的直线002:.3lyxl 故可先作出过原点的直线，再作 的平行线02:3lyx 0 x434828xy4x =3y(4,2)M233428zyxxxy 由图可知当直线经过直线与直线即即 的最大值为的最大值为2 43214.z z所以，每天生产甲产品所以，每天生产甲产品4 4件，乙产品件，乙产品2 2件时，工厂获得最件时，工厂获得最大利润大利润1414万元万元. .3z最大值为最大值为14.3的交点的交点(4,2)M时，截距时
5、，截距的值最大，的值最大，y y上述问题中，不等式组上述问题中，不等式组 是一组对变量是一组对变量 x x、y y的约束条件，这组约束条件都是关于的约束条件，这组约束条件都是关于x x、y y的一次不等式，所以又称为线性约束条件的一次不等式，所以又称为线性约束条件. .2841641200 xyxyxy ，1.1.线性约束条件线性约束条件 我们把要求最大值的函数我们把要求最大值的函数z=2x+3yz=2x+3y称为称为目标函目标函数数. .又因为又因为z=2x+3yz=2x+3y是关于变量是关于变量x x、y y的一次解析式，的一次解析式，所以又称为所以又称为线性目标函数线性目标函数. . 2
6、.2.线性目标函数线性目标函数3.3.线性规划线性规划 一般一般的的，在线性约束条件下求线性目标函数，在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为的最大值或最小值问题，统称为线性规划线性规划问题问题. . 满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解( (x,yx,y) )叫做叫做可行解可行解. . 由所有可行解组成的集合叫做由所有可行解组成的集合叫做可行域可行域. . 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做这个问题的问题的最优解最优解. .4.4.可行解、可行域、最优解可行解、可行域、最优解 （1 1）在上述问题中，如果每生产一件甲产品
7、）在上述问题中，如果每生产一件甲产品 获利获利3 3万元，每生产一件乙产品获利万元，每生产一件乙产品获利2 2万元，万元， 又当如何安排生产才能获得最大利润？又当如何安排生产才能获得最大利润？（2 2）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关）由上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？系吗？设生产甲产品设生产甲产品x x件乙产品件乙产品y y件时，工厂获得的利润为件时，工厂获得的利润为z,z,则则z=3x+2y.z=3x+2y.3332,2222zzxyyxzy 把变形为,这是斜率为在 轴上的截距为 的直线.03:2lyx Ox434828xy4x =3y(4,2)My322428zy
8、xxxy 由图可知当直线经过直线与2z最大值为最大值为8.的交点的交点(4,2)M时截距时截距的值最大，的值最大，即即 的最大值为的最大值为3 42216.z z所以，每天生产甲产品所以，每天生产甲产品4 4件，乙产品件，乙产品2 2件时，工厂获得最件时，工厂获得最大利润大利润1616万元万元. .（2 2）将目标函数）将目标函数 变形为变形为 将求将求 的的 最值问题转化为求直线最值问题转化为求直线 在在 轴上的截距轴上的截距 的最值问题；的最值问题；(0)z ax byb ,azyxbb zyzb 在确定约束条件和线性目标函数的前提下，在确定约束条件和线性目标函数的前提下， 用图解法求最优
9、解的步骤为：用图解法求最优解的步骤为：（1 1）在平面直角坐标系内画出可行域；）在平面直角坐标系内画出可行域；azyxbb （3 3）画出直线）画出直线=0axby 并平行移动，并平行移动，或最后经过的点为最优解；或最后经过的点为最优解；平移过程中最先平移过程中最先（4 4）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的）求出最优解并代入目标函数，从而求出目标函数的 最值最值. .简单线性规划问题的图解方法简单线性规划问题的图解方法 例例1 1 设设 z2xy，式中变量式中变量x、 y满足下列条件：满足下列条件： 求求z z的最大值和最小值的最大值和最小值. .43,3525, 1, xyxyx
10、 分析：分析：作可行域，画平行线，解方程组，求最值作可行域，画平行线，解方程组，求最值. .42246 6yxOCAB B35250 xy 430 xy 1x 解：解：作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域， 0:20lxy作作0:20,lxy0/ / .ll及及当直线当直线 经过点经过点B B时，对应时，对应的的 最小，当直线最小，当直线 经过经过点点A A时，对应的时，对应的 最大最大. .lzlz1,(1,1),430.3525,(5,2).430.=2 1+1=3=2 5+2=12.xBxyxyAxyzz 最小值最大值由得由得，,解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤： （2
11、2）移：移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，在线性目标函数所表示的一组平行线中， 利用平移的方法找出与可行域有公共点利用平移的方法找出与可行域有公共点 且纵截距最大或最小的直线；且纵截距最大或最小的直线； （3 3）求：求：通过解方程组求出最优解；通过解方程组求出最优解； （4 4）答：答：作出答案作出答案. . （1 1）画：画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条件所表示的可行域；最优解一般在可行域的顶点处取得最优解一般在可行域的顶点处取得43,2,3525,(0),1.xyx yxyzaxy axza 例已知满足设若 取得最大值时，对应点有无数个，求 的值分析：分析：对应无
12、数个点，即直线与边界线重合时对应无数个点，即直线与边界线重合时. . 作出可行域，结合图形，看直线作出可行域，结合图形，看直线 与哪条边界线重合时，可取得最大值与哪条边界线重合时，可取得最大值. .:lyaxz 解：解：当直线当直线 与边界与边界 线重合时，有无数个点，线重合时，有无数个点， 使函数值取得最大值，使函数值取得最大值，33,.553.5AClkkaa 即:lyaxz .lACkk 此时有此时有yxOCB1x 43xy 3525xy且且z2x4y的最小值为的最小值为6 6，则常数，则常数k等于等于( ).( ).1. 1. 已知已知 x、y满足满足50,3,0,xyxxyk A.
13、2 B. 9 C. 3 10 D. 0D D求求 的的最大值和最小值最大值和最小值. .2.2.已知已知 满足满足1,53,5315.yxxyxy , x y2zxy12.22由得zzxyyx解：解：作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，0:20,lxy作并平行移动,351xO O5315xy1yx53xyB(1.5,2.5)B(1.5,2.5)A A(-2,-1)Cy20 xy当直线当直线l经过点经过点B B时，对应时，对应的的z z最小，当直线最小，当直线l经过经过C C时，对应的时，对应的z z最大最大. .zz最小值最小值=1.5-2=1.5-22.5=-3.52.5=-3.5z z最大值最大值=3-0=3.=3-0=3.2.2.线性目标函数的最值的图解法及其步骤线性目标函数的最值的图解法及其步骤. .最优解在可行域顶点或边界取得最优解在可行域顶点或边界取得. .把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线, ,其斜率与可行域边界其斜率与可行域边界所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚所在直线斜率的大小关系一定要弄清楚. .1.1.线性约束条件、线性目标函数、可行域、线性约束条件、线性目标函数、可行域、可行解等基本概念；可行解等基本概念；真理喜欢批评，因为经过批评，真理就会取胜；谬误害怕批评，因为经过批评，谬误就会失败。