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1、高效课堂高效课堂一线名师一线名师名校学案名校学案联校开发联校开发 高中数学高中数学必修必修4 4 人民教育出版社人民教育出版社高效课堂3.2.1 简单的三角恒等变换高效课堂问题提出问题提出1.1.两角和与差及二倍角的三角函数公式两角和与差及二倍角的三角函数公式分别是什么？分别是什么？sin(sin() )sincossincoscossincossin tantan1tantan)(tancos(cos() )coscoscoscos sinsinsinsin 高效课堂cos2cos2coscos2 2sinsin2 2 2cos2cos2 21 1 1 12sin2sin2 2； 2tan1
2、tan22tansin2sin22sincos2sincos 高效课堂2.2.三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角函数公式是三角变换的理论依据，基本的三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公三角公式包括同角关系公式，诱导公式，和差公式和二倍角公式等式和二倍角公式等. .有了这些公式，使得三角变换有了这些公式，使得三角变换的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为的内容、思路、方法丰富多彩，奥妙无穷，并为培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台培养我们的推理、运算能力提供了很好的平台. .在在实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向实际应用中，我们不仅要掌握公式的正向和逆向运用，还要
3、了解公式的变式运用，做到活用公式，运用，还要了解公式的变式运用，做到活用公式，用活公式用活公式. .高效课堂3.3.代数式变换与三角变换的区别在于：代数式代数式变换与三角变换的区别在于：代数式变换主要是对代数式的结构形式进行变换；三变换主要是对代数式的结构形式进行变换；三角变换一般先寻找三角式包含的各个角之间的角变换一般先寻找三角式包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式进行变换，其中有两个变换原理是需要我公式进行变换，其中有两个变换原理是需要我们了解的们了解的. .高效课堂探究（一）：探究（一）：异角和积互化原理异角和积互化原理
4、思考思考1 1：对于对于sincossincos和和cossincossin，二者相加、相减分别等于什么？二者相加、相减分别等于什么？思考思考2 2：记记sincossincosx x，cossincossiny y，利用什么数学思想可求出，利用什么数学思想可求出x x、y y？x+yx+ysin(+sin(+) ) x-yx-ysin(-sin(-) )方程思想方程思想高效课堂左边是积右边是和差，左边是积右边是和差，从左到右积化和差从左到右积化和差.思考思考3 3：由上述分析可知由上述分析可知1cossi nsi n()si n()2ababab=+-)sin()sin(21cossin这两
5、个等式左右两边的结构有什么特点？这两个等式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变换功能是什么？从左到右的变换功能是什么？高效课堂思考思考4 4令令 ， ，并交换等式两边的式子可得什么结论？并交换等式两边的式子可得什么结论？si nsi n2si ncos22qjqjqj+-+=si nsi n2cossi n22qjqjqj+-=思考思考5 5：这两个等式左右两边的结构有什这两个等式左右两边的结构有什么特点？从左到右的变换功能是什么？么特点？从左到右的变换功能是什么？高效课堂思考思考6 6：参照上述分析，参照上述分析，coscoscoscos，sinsinsinsin分别等于什么？其变换功能分
6、别等于什么？其变换功能如何？如何？1coscoscos()cos()2ababab=+-1si nsi ncos()cos()2ababab= -+-高效课堂思考思考7 7：coscoscoscos，coscoscoscos分别等于什么？其变换功能如何？分别等于什么？其变换功能如何？coscos2coscos22qjqjqj+-+=coscos2si nsi n22qjqjqj+-= -高效课堂思考思考8 8：上述关系表明，两个不同的三角上述关系表明，两个不同的三角函数的和（差）与积是可以相互转化的，函数的和（差）与积是可以相互转化的，但转化是有条件的，其中和差化积的转但转化是有条件的，其中和
7、差化积的转化条件是什么？化条件是什么？ 两个角的函数同名两个角的函数同名高效课堂探究（二）：探究（二）：同角和差合成原理同角和差合成原理思考思考1 1：sin20sin20cos30cos30cos20cos20sin30sin30可合成为哪个三角函数？可合成为哪个三角函数？sin(20sin(20+30+30)=sin50)=sin50思考思考2 2：可分别合成为哪个三角函数？可分别合成为哪个三角函数？13si n20cos20 ,22-oo13cos20si n2022-oosin(20sin(20-60-60) )sin(30sin(30-20-20) )高效课堂思考思考3 3：可分别合
8、成为哪个三角函数？可分别合成为哪个三角函数？si ncos ,xx-cos3 si nxx+si ncos2 si n()4xxxp-=-cos3 si n2si n()6xxxp+=+思考思考4 4： 可合成为哪个三角函数？可合成为哪个三角函数？3 si n()cos()33xxpp+-+2si n ()36xpp+-高效课堂思考思考5 5：一般地，一般地， 可可合成为一个什么形式的三角函数？合成为一个什么形式的三角函数？si ncosaxbx+22si ncossi n()axbxabxq+=+tanbaq=其中其中 高效课堂理论迁移理论迁移例例1 1 化简化简 22si nsi nsi
9、ncossi ncosabaabb-tan(tan()例例2 2 已知已知cosxcosxcoscoscoscos，求证：，求证： 2tantantan222xxaab+-=高效课堂例例4 4 如图，已知如图，已知OPQOPQ是半径为是半径为1 1，圆心角，圆心角为为6060的扇形，的扇形，C C是扇形弧上的动点，是扇形弧上的动点，ABCDABCD是扇形的内接矩形，记是扇形的内接矩形，记COP=,COP=,求求当角当角取何值时，矩形取何值时，矩形ABCDABCD的面积最大？并求出这个的面积最大？并求出这个最大面积最大面积. .O O A AB BP P Q QC CD D例例3 3 求函数求函
10、数 的周期，的周期，最大值和最小值？最大值和最小值？sin3cosyxx高效课堂小结作业小结作业1.1.异角和积互化原理与同角和差合成原异角和积互化原理与同角和差合成原理，是三角变换的两个基本原理，具体理，是三角变换的两个基本原理，具体公式不要求记忆，但要明确其变换思想，公式不要求记忆，但要明确其变换思想，会在实际问题中灵活运用会在实际问题中灵活运用. .2.“2.“明确思维起点，把握变换方向，抓住明确思维起点，把握变换方向，抓住内在联系，合理选择公式内在联系，合理选择公式”是三角变换的是三角变换的基本要决基本要决. .高效课堂3.3.对形如对形如 的函数，转的函数，转化为化为 的形式后，可使的形式后，可使问题得到简化，这是一种化归思想问题得到简化，这是一种化归思想. . sincosyabsinyAx高效课堂高效课堂一线名师一线名师名校学案名校学案联校开发联校开发 高中数学高中数学必修必修4 4 人民教育出版社人民教育出版社