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1、工程问题和行程问题_工程问题和行程问题工程问题和行程问题一元一次方程的应用:行程和工程问题一、教学目的:【知识与技能】使学生理解用一元一次方程解行程问题、工程问题的本质规律.【经过与方法】通过对“行程问题、工程问题的分析进一步培养学生用代数方法解决实际问题的能力.【情感态度】使学生在自主探索与合作沟通的经过中理解和把握基本的数学知识、技能、数学思想,获得广泛的数学活动经历,提高解决问题的能力.【教学重点】用一元一次方程解决行程问题、工程问题.【教学难点】怎样找行程问题中的等量关系.二、教学经过:一、情境导入,初步认识1.行程问题中路程、速度、时间三者间有什么关系?相遇问题中含有如何的相等关系?
2、追及问题中含有如何的相等关系呢?2.工作量、工作效率、工作时间之间有如何的关系?【教学讲明】通过对这两种常见的问题中公式的温习,为找等量关系打好基础.二、考虑探究,获取新知问题1:小张和父亲计划搭乘家门口的公共汽车赶往火车站,去家乡看望爷爷.在行驶了三分之一路程后,估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站.随即下车改乘出租车,车速提高了一倍,结果赶在火车开车前15分钟到达火车站.已知公共汽车的平均速度是40千米/时,问小张家到火车站有多远?吴小红同学给出了一种解法:设小张家到火车站的路程是x千米,由实际时间比原计划乘公共汽车提早了45分钟,可列出方程:工程问题和行程问题工程问题和行程
3、问题解这个方程:x/40-x/120-x/120=3/43xxx90x90经检验,它符合题意.答:小张到火车站的路程是90千米.张勇同学又提出另一种解法:设实际上乘公共汽车行驶了x千米,则从小张家到火车站的路程是3x千米,乘出租车行使了2x千米.注意到提早的3/4小时是由于乘出租车而少用的,可列出方程:2x/40-2x/803/4解这个方程得:x30.3x90.所得的答案与解法一一样.讨论:试比拟以上两种解法,它们各是怎样设未知数的?哪一种比拟方便?是不是还有其它设未知数的方法?试试看.【教学讲明】两种解题方法,让学生亲身体验设不同的未知数,可列出不同的方程,难易度也不一样.进而得出为了解题方
4、便应选择设适当的未知数的结论.【归纳结论】1.行程问题中基本数量关系是:路程速度时间;变形可得到:速度路程时间,时间路程速度.2.常见题型是相遇问题、追及问题,不管哪个题型都有下面的相等关系:相遇:相遇时间速度和路程和;追及:追及时间速度差被追及距离.问题2:课外活动时李教师来教室布置作业,有一道题只写了“学校校办厂需制作一块广告牌,请来两名工人.已知师傅单独完成需4天,徒弟单独完成需6天,就停住了.片刻后,同学们带着疑问的目光,窃窃私语:“这个题目没有完呀?要求什么呢?工程问题和行程问题工程问题和行程问题李教师开口了:“同学们的疑问是有道理的,今天我们就是要请同学们本人来提问.淘气的小刘讲:
5、“让我试一试.上去添了“两人合作需几天完成?.有同学反对:“这太简单了!,但也引起了大家的兴趣,于是各自试了起来:有添上一人先做几天再让另一人做的,有两人先后合作再一人离开的,有考虑两人合作完成后的报酬问题的李教师选了两位同学的问题,合起来在黑板上写出:现由徒弟先做1天,再两人合作,完成后共得到报酬450元.假如按各人完成的工作量计算报酬,那么该怎样分配?试解答这一问题,并与同学一起沟通各自的做法.分析:我们能够将工作总量看作“单位1,根据“工作效率=工作总量/工作时间能够知道,师傅的工作效率是1/4,徒弟的工作效率是1/6,整项工程分了两个部分:第一部分是徒弟先做的一天,第二部分是师徒两人合
6、作完成的,而合作的时间我们不知道,所以应设合作的时间为x,根据工作总量可列出方程.进而求出他们各自工作的量,这样就能够求出他们得到的报酬.解:设两人合作的时间是x天,根据题意可列出方程:1/6+1/6+1/4x=1解得:x=2经检验,它符合题意.所以,徒弟工作时间为3天,完成工作总量的1/63=1/2;师傅工作时间为2天,完成工作总量的1/42=1/2.由于他们完成的工作量一样,所以报酬也应该一样多,都是270元.你还能提出其它的问题吗?试一试,并解答这些问题.【教学讲明】给学生充足的时间,发挥他们的想象力,锻炼他们的创新能力和思维能力.【归纳结论】工程问题中的三个量,根据工作量工作效率工作时
7、间,已知其中两个量,就能够表示第三个量.两人合作的工作效率每个人的工作效率的和.三、运用新知,深化理解工程问题和行程问题工程问题和行程问题1.有一火车以每分钟600米的速度要过完第一、第二两座铁桥,过第二座铁桥比过第一座铁桥需多5秒,又知第二座铁桥的长度比第一座铁桥长度的2倍短50米,试求各铁桥的长.2.一艘船由A地开往B地,顺水航行需5小时,逆水航行要比顺水航行多用50分钟.已知船在静水中每小时走12千米,求水流速度.3.一条环形跑道长400米,甲、乙两人练习跑步,甲每秒钟跑6米,乙每秒钟跑4米.(1)两人同时、同地、背向出发,经太多少时间,两人初次相遇?(2)两人同时、同地、同向出发,经太
8、多少时间,两人初次相遇?4.甲、乙两队合挖一条水渠,5天能够完成.假如甲队独挖8天能够完成,那么乙队独挖几天能够完成?5.将一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?【教学讲明】通过练习,使学生把握应用一元一次方程解决实际问题的步骤和方法.【答案】1.解:设第一座铁桥的长为x米,那么第二座铁桥的长为2x-50米,过完第一座铁桥所需的时间为x/600分.过完第二座铁桥所需的时间为(2x-50)/600分.依题意,可列出方程x/600+5/60=(2x-50)/600解方程x+50=2x-50得x
9、=1002x-50=2100-50=150答:第一座铁桥长100米,第二座铁桥长150米.2.分析:在水流问题中:船的顺水速度船的静水速度水流速度,船的逆水速度船的静水速度-水流速度.等量关系:船顺水航行的路程船逆水航行的路程.工程问题和行程问题工程问题和行程问题解:设水流速度为x千米/时.根据题意,得顺水航行的速度为(12+x)千米/时,逆水航行的速度为(12-x)千米/时,5(12+x)=(5+50/60)(12-x)60+5x=35/612-35/6x65/6x=10x=12/13.答:水流速度为12/13千米/时.3.分析:(1)同时、同地、背向,甲、乙二人第一次相遇时,甲和乙共跑了一
10、圈(即400米),等价于相遇问题,相等关系:甲走的路程乙走的路程400米.(2)同时、同地、同向,甲、乙二人第一次相遇时,甲比乙多跑了一圈(即400米),等价于追及问题,等量关系:甲走的路程-乙走的路程400米.解:(1)设两人同时、同地、背向出发,经过x秒后两人初次相遇,根据题意,得6x4x400,解方程,得x40.答:两人同时、同地、背向出发,经过40秒后两人初次相遇.(2)设两人同时、同地、同向出发,经过x秒后两人初次相遇,根据题意,得6x-4x400,解方程,得x200.答:两人同时、同地、背向出发,经过200秒后两人初次相遇.4.分析:这一工程问题求的是工作时间.只要先求出乙的工作效
11、率,根据:工作量工作效率工作时间,就能列出求乙的工作时间的方程.解:设乙队单独挖需x天完成,由于两队合做天天完成的工作量等于各队天天完成的工作量的和,也就是讲两队合做的工作效率等于各队单独的工作效率的和,所以乙队的工作效率为:1/5-1/8.根据题意,得(1/5-1/8)x=1解这个方程,得3/40x=1,x=40/3.答:乙队独挖40/3天能够完成.5.解:设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.根据题意,得1/61/2+1/6+1/4x=1.解这个方程,得x=11/5.工程问题和行程问题工程问题和行程问题11/5小时=2小时12分.答:甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.四、师生互动,
12、课堂小结本节课你学习了哪些知识,把握了哪些方法?请互相沟通.作业布置:1.布置作业:教材第20页“习题6.3.2中第3、4题.2.完成练习册中本课时练习.教学反思:本节课的教学难点是行程问题,而行程问题又分几种类型,如:相遇、追及、同向、逆向、水流、环行问题等.环行问题的基本特征是途径呈环状或为环线的一部分.事实上,这类问题也有“相遇与“追及之分:(1)若同地出发,反向而行,则每次相遇,两者的行程之和等于环形的周长.(2)若同地出发,同向而行,则每次追及,两者的行程之差等于环行道的周长,或表示为快者的行程慢者的行程环形周长.此外,若是同时出发,则相遇(或追及)时,两者行走的时间相等.在水流问题中:船的顺水速度船的静水速度水流速度,船的逆水速度船的静水速度-水流速度.