概率论与数理统计及其应用课后答案浙江大学盛骤版.doc-淘文阁

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1、概率论与数理统计及其应用习题解答1第 1 章随机变量及其概率1，写出下列试验的样本空间：（1）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果出现两次，记录投掷的次数。（2）连续投掷一颗骰子直至 6 个结果中有一个结果接连出现两次，记录投掷的次数。（3）连续投掷一枚硬币直至正面出现，观察正反面出现的情况。（4）抛一枚硬币，若出现 H 则再抛一次；若出现 T，则再抛一颗骰子，观察出现的各种结果。解解：（1）7 , 6 , 5 , 4 , 3 , 2S；（2）, 4 , 3 , 2S；（3）,TTTHTTHTHHS ；（4）6, 5, 4, 3, 2, 1,TTTTTTHTHHS 。2，设BA

2、,是两个事件，已知,125. 0)(, 5 . 0)(,25. 0)(ABPBPAP，求)(),(),(),(_ABBAPABPBAPBAP。解解：625. 0)()()()(ABPBPAPBAP，375. 0)()()()(ABPBPBASPBAP，875. 0)(1)(_ABPABP，5 . 0)(625. 0)()()()(_ABPABBAPBAPABSBAPABBAP3，在 100，101，999 这 900 个 3 位数中，任取一个 3 位数，求不包含数字 1 个概率。解解：在 100，101，999 这 900 个 3 位数中不包含数字 1 的 3 位数概率论与数理统计及其应用习题

3、解答2的个数为648998，所以所求得概率为72. 09006484，在仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数中，任取一个三位数。（1）求该数是奇数的概率；（2）求该数大于 330 的概率。解解：仅由数字 0，1，2，3，4，5 组成且每个数字之多出现一次的全体三位数的个数有100455个。（1）该数是奇数的可能个数为48344个，所以出现奇数的概率为48. 010048（2）该数大于 330 的可能个数为48454542，所以该数大于330 的概率为48. 0100485，袋中有 5 只白球，4 只红球，3 只黑球，在其中任取 4 只，求下列事件的概率

4、。（1）4 只中恰有 2 只白球，1 只红球，1 只黑球。（2）4 只中至少有 2 只红球。（3）4 只中没有白球。解解: （1）所求概率为338412131425CCCC；（2）所求概率为165674952014124418342824CCCCCC；（3）所求概率为16574953541247CC。6，一公司向M个销售点分发)(Mnn张提货单，设每张提货单分发给概率论与数理统计及其应用习题解答3每一销售点是等可能的，每一销售点得到的提货单不限，求其中某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的概率。解解：根据题意，)(Mnn张提货单分发给M个销售点的总的可能分法有nM种，某一特定的销售点得

5、到)(nkk张提货单的可能分法有knknMC ) 1(种，所以某一特定的销售点得到)(nkk张提货单的概率为nknknMMC ) 1(。7，将 3 只球（13 号）随机地放入 3 只盒子（13 号）中，一只盒子装一只球。若一只球装入与球同号的盒子，称为一个配对。（1）求 3 只球至少有 1 只配对的概率。（2）求没有配对的概率。解解：根据题意，将 3 只球随机地放入 3 只盒子的总的放法有 3！=6种：123，132，213，231，312，321；没有 1 只配对的放法有 2 种：312，231。至少有 1 只配对的放法当然就有 6-2=4 种。所以（2）没有配对的概率为3162；（1）至

6、少有 1 只配对的概率为32311。8，（1）设, 1 . 0)(, 3 . 0)(, 5 . 0)(ABPBPAP，求)|(),|(),|(BAAPABPBAP,)|(),|(ABAPBAABP.（2）袋中有 6 只白球，5 只红球，每次在袋中任取 1 只球，若取到白球，放回，并放入 1 只白球；若取到红球不放回也不放入另外的球。连续取球 4 次，求第一、二次取到白球且第三、四次取到红球的概率。解解：（1）由题意可得7 . 0)()()()(ABPBPAPBAP，所以概率论与数理统计及其应用习题解答4313 . 01 . 0)()()|(BPABPBAP，515 . 01

8、只白球，2 只红球，在盒中取球两次，每次任取一只，做不放回抽样，已知得到的两只球中至少有一只是红球，求另一只也是红球的概率。解解：设“得到的两只球中至少有一只是红球”记为事件A， “另一只也是红球”记为事件B。则事件A的概率为65314232422)(AP（先红后白，先白后红，先红后红）所求概率为51653142)()()|(APABPABP10，一医生根据以往的资料得到下面的讯息，他的病人中有 5%的人以为自己患癌症，且确实患癌症；有 45%的人以为自己患癌症，但实概率论与数理统计及其应用习题解答5际上未患癌症；有 10%的人以为自己未患癌症，但确实患了癌症；最后 40%的人以为自己未患癌症

10、张卡片上分别写上 engineering 这 11 个字母，从中任意连抽6 张，求依次排列结果为 ginger 的概率。解解：根据题意，这 11 个字母中共有 2 个 g，2 个 i，3 个 n，3 个 e，1个 r。从中任意连抽 6 张，由独立性，第一次必须从这 11 张中抽出 2个 g 中的任意一张来，概率为 2/11；第二次必须从剩余的 10 张中抽出 2 个 i 中的任意一张来，概率为 2/10；类似地，可以得到 6 次抽取的概率。最后要求的概率为924013326403661738193102112；或者92401611111311131212ACCCCCC。概率论与数理统计及其

11、应用习题解答612，据统计，对于某一种疾病的两种症状：症状 A、症状 B，有 20%的人只有症状 A，有 30%的人只有症状 B，有 10%的人两种症状都有，其他的人两种症状都没有。在患这种病的人群中随机地选一人，求（1）该人两种症状都没有的概率；（2）该人至少有一种症状的概率；（3）已知该人有症状 B，求该人有两种症状的概率。解解：（1）根据题意，有 40%的人两种症状都没有，所以该人两种症状都没有的概率为%40%10%30%201；（2）至少有一种症状的概率为%60%401；（3）已知该人有症状 B，表明该人属于由只有症状 B 的 30%人群或者两种症状都有的 10%的人群，总的概率

12、为 30%+10%=40%，所以在已知该人有症状 B 的条件下该人有两种症状的概率为41%10%30%10。13，一在线计算机系统，有 4 条输入通讯线，其性质如下表，求一随机选择的进入讯号无误差地被接受的概率。通讯线通讯量的份额无误差的讯息的份额10.40.999820.30.999930.10.999740.20.9996解解：设“讯号通过通讯线i进入计算机系统”记为事件)4 , 3 , 2 , 1( iAi，“进入讯号被无误差地接受”记为事件B。则根据全概率公式有9996. 02 . 09997. 01 . 09999. 03 . 09998. 04 . 0)|()()(41iiiABP

13、APBP=0.9997814，一种用来检验 50 岁以上的人是否患有关节炎的检验法，对于确概率论与数理统计及其应用习题解答7实患关节炎的病人有 85%的给出了正确的结果；而对于已知未患关节炎的人有 4%会认为他患关节炎。已知人群中有 10%的人患有关节炎，问一名被检验者经检验，认为他没有关节炎，而他却有关节炎的概率。解解：设“一名被检验者经检验认为患有关节炎”记为事件A， “一名被检验者确实患有关节炎”记为事件B。根据全概率公式有%1 .12%4%90%85%10)|()()|()()(BAPBPBAPBPAP，所以，根据条件概率得到所要求的概率为%06.17%1 .121%)851%

14、(10)(1)|()()()()|(APBAPBPAPABPABP即一名被检验者经检验认为没有关节炎而实际却有关节炎的概率为17.06%.15，计算机中心有三台打字机 A,B,C，程序交与各打字机打字的概率依次为 0.6, 0.3, 0.1，打字机发生故障的概率依次为 0.01, 0.05, 0.04。已知一程序因打字机发生故障而被破坏了，求该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为多少？解解：设 “程序因打字机发生故障而被破坏” 记为事件M，“程序在 A,B,C三台打字机上打字”分别记为事件321,NNN。则根据全概率公式有025. 004. 01 . 005. 03 . 001. 06

15、 . 0)|()()(31iiiNMPNPMP，根据 Bayes 公式，该程序是在 A,B,C 上打字的概率分别为24. 0025. 001. 06 . 0)()|()()|(111MPNMPNPMNP，60. 0025. 005. 03 . 0)()|()()|(222MPNMPNPMNP，概率论与数理统计及其应用习题解答816. 0025. 004. 01 . 0)()|()()|(333MPNMPNPMNP。16，在通讯网络中装有密码钥匙，设全部收到的讯息中有 95%是可信的。又设全部不可信的讯息中只有 0.1%是使用密码钥匙传送的，而全部可信讯息是使用密码钥匙传送的。求由密码钥匙

16、传送的一讯息是可信讯息的概率。解解：设“一讯息是由密码钥匙传送的”记为事件A， “一讯息是可信的”记为事件B。根据 Bayes 公式，所要求的概率为%9947.99%1 . 0%51%951%95)|()()|()()|()()()()|(BAPBPBAPBPBAPBPAPABPABP17，将一枚硬币抛两次，以 A,B,C 分别记事件“第一次得 H” ， “第二次得 H” ， “两次得同一面” 。试验证 A 和 B，B 和 C，C 和 A 分别相互独立（两两独立），但 A,B,C 不是相互独立。解解：根据题意，求出以下概率为21)()(BPAP，2121212121)(CP；412121)(

17、ABP，412121)()(CAPBCP，412121)(ABCP。所以有)()()(BPAPABP，)()()(CPAPACP，)()()(CPBPBCP。即表明 A 和 B，B 和 C，C 和 A 两两独立。但是)()()()(CPBPAPABCP所以 A,B,C 不是相互独立。18，设 A,B,C 三个运动员自离球门 25 码处踢进球的概率依次为 0.5,概率论与数理统计及其应用习题解答90.7, 0.6，设 A,B,C 各在离球门 25 码处踢一球，设各人进球与否相互独立，求（1）恰有一人进球的概率；（2）恰有二人进球的概率；（3）至少有一人进球的概率。解解：设“A,B,C 进球”

18、分别记为事件)3 , 2 , 1( iNi。（1）设恰有一人进球的概率为1p，则3213213211NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由独立性）6 . 03 . 05 . 04 . 07 . 05 . 04 . 03 . 05 . 029. 0（2）设恰有二人进球的概率为2p，则3213213212NNNPNNNPNNNPp)()()()()()()()()(321321321NPNPNPNPNPNPNPNPNP（由独立性）6 . 03 . 05 . 06 . 07 . 05 . 04 . 07 . 05 .

19、044. 0（3）设至少有一人进球的概率为3p，则13213NNNPp)()()(1321NPNPNP4 . 03 . 05 . 0194. 0。19，有一危重病人，仅当在 10 分钟之内能有一供血者供给足量的A-RH+血才能得救。设化验一位供血者的血型需要 2 分钟，将所需的血全部输入病人体内需要 2 分钟，医院只有一套验血型的设备，且供血者仅有 40%的人具有该型血，各人具有什么血型相互独立。求病人能得救的概率。解解：根据题意，医院最多可以验血型 4 次，也就是说最迟可以第 4 个人才验出是 A-RH+型血。问题转化为最迟第 4 个人才验出是 A-RH+型血的概率是多少？因为概率论与数

20、理统计及其应用习题解答101第 20 题5432第一次就检验出该型血的概率为 0.4；第二次才检验出该型血的概率为 0.60.4=0.24；第三次才检验出该型血的概率为 0.620.4=0.144；第四次才检验出该型血的概率为 0.630.4=0.0864；所以病人得救的概率为 0.4+0.24+0.144+0.0864=0.870420，一元件（或系统）能正常工作的概率称为元件（或系统）的可靠性。如图设有 5 个独立工作的元件 1，2，3，4，5 按先串联再并联的方式连接，设元件的可靠性均为p，试求系统的可靠性。解解：设“元件i能够正常工作”记为事件)5 , 4 , 3 , 2 , 1( i

21、Ai。那么系统的可靠性为)()()()()()(5432154321AAPAPAAPAAAAAP)()()()(543215435421321AAAAAPAAAPAAAAPAAAP)()()()()()()()()()()()(542132154321APAPAPAPAPAPAPAPAPAPAPAP)()()()()()()()(54321543APAPAPAPAPAPAPAP534322ppppppp543222ppppp21，用一种检验法检测产品中是否含有某种杂质的效果如下。若真含有杂质检验结果为含有的概率为 0.8；若真不含有杂质检验结果为不含有的概率为 0.9，据以往的资料知一产品真含

22、有杂质或真不含有杂质的概率分别为 0.4，0.6。今独立地对一产品进行了 3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而一次检验认为不含有杂质，求此产品真含有杂质的概率。（注：本题较难，灵活应用全概率公式和 Bayes 公式）概率论与数理统计及其应用习题解答11解解：设“一产品真含有杂质”记为事件A， “对一产品进行 3 次检验，结果是 2 次检验认为含有杂质，而 1 次检验认为不含有杂质”记为事件B。则要求的概率为)|(BAP，根据 Bayes 公式可得)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP又设“产品被检出含有杂质”记为事件C，根据题意有4 . 0)(AP，

23、而且8 . 0)|(ACP，9 . 0)|(ACP，所以384. 0)8 . 01 (8 . 0)|(223 CABP；027. 09 . 0)9 . 01 ()|(223 CABP故，9046. 01698. 01536. 0027. 06 . 0384. 04 . 0384. 04 . 0)|()()|()()|()()|(ABPAPABPAPABPAPBAP第 2 章随机变量及其分布1，设在某一人群中有 40%的人血型是 A 型，现在在人群中随机地选人来验血，直至发现血型是 A 型的人为止，以 Y 记进行验血的次数，求 Y 的分布律。解解：显然，Y 是一个离散型的随机变量，Y 取k表明第

24、k个人是 A 型血而前1k个人都不是 A 型血，因此有116 . 04 . 0)4 . 01 (4 . 0kkkYP，（, 3 , 2 , 1k）上式就是随机变量 Y 的分布律（这是一个几何分布）。2，水自 A 处流至 B 处有 3 个阀门 1，2，3，阀门联接方式如图所示。当信号发出时各阀门以 0.8 的概率打开，以 X 表示当信号发出时水自 A 流至 B 的通路条数，求 X 的分布律。设各阀门的工作相互独立。解解： X 只能取值 0 ， 1 ， 2 。设以)3 , 2 , 1( iAi记第i个阀门没有打开这一事件。则)()()(03121321AAA

25、APAAAPXP)()()()()()()(32131213213121APAPAPAPAPAPAPAAAPAAPAAP072. 0)8 . 01 ()8 . 01 ()8 . 01 (322，类似有512. 08 . 0)()(23321321AAAPAAAPXP，416. 02011XPXPXP,综上AB213概率论与数理统计及其应用习题解答12所述，可得分布律为X012kXP0.0720.5120.4163,据信有 20%的美国人没有任何健康保险，现任意抽查 15 个美国人，以 X 表示 15 个人中无任何健康保险的人数（设各人是否有健康保险相互独立）。问 X 服从什么分布？写出分布律

26、。并求下列情况下无任何健康保险的概率：（1）恰有 3 人；（2）至少有 2 人；（3）不少于 1 人且不多于 3 人；（4）多于 5 人。解解：根据题意，随机变量 X 服从二项分布 B(15, 0.2)，分布律为15, 2 , 1 , 0,8 . 02 . 0)(1515kCkXPkkk。（1）,2501. 08 . 02 . 0)3(123315CXP（2）8329. 0)0() 1(1)2(XPXPXP；（3）；（4）概率论与数理统计及其应用习题解答13概率论与数理统计及其应用习题解答14概率论与数理统计及其应用习题解答15概率论与数理统计及其应用习题解答164，设有一由个元件

27、组成的系统，记为，这一系统的运行方式是当且仅当概率论与数理统计及其应用习题解答17概率论与数理统计及其应用习题解答18个元件中至少有概率论与数理统计及其应用习题解答19概率论与数理统计及其应用习题解答20概率论与数理统计及其应用习题解答21个元件正常工作时，系统正常工作。现有一 5/3G系统，它由相互独立的元件组成，设每个元件的可靠性均为 0.9，求这一系统的可靠性。解解：对于 5/3G系统，当至少有 3 个元件正常工作时，系统正常工作。而系统中正常工作的元件个数X服从二项分布 B(5, 0.9)，所以系统正常工作的概率为99144. 01 . 09

28、 . 0)(535553kkkkkCkXP5，某生产线生产玻璃制品，生产过程中玻璃制品常出现气泡，以至产品成为次品，设次品率为 0.001，现取 8000 件产品，用泊松近似，求其中次品数小于 7 的概率。（设各产品是否为次品相互独立）解解：根据题意，次品数 X 服从二项分布 B(8000, 0.001)，所以6080008000999. 0001. 0)6()7(kkkkCXPXP3134. 0!8!)001. 08000(60860001. 08000kkkkkeke（查表得）。6，（1）设一天内到达某港口城市的油船的只数 X)10(，求15XP（2）已知随机变量 X)(，且有5 .

29、 00XP，求2XP。解解：（1）0487. 09513. 0115115XPXP；（2）根据5 . 01010eXPXP，得到2ln。所以1534. 02/ )2ln1 (5 . 011012eXPXPXP。7，一电话公司有 5 名讯息员，各人在 t 分钟内收到讯息的次数)2(tX（设各人收到讯息与否相互独立）。（1）求在一给定的一分钟内第一个讯息员未收到讯息的概率。（2）求在给定的一分钟内 5 个讯息员恰有 4 人未收到讯息的概率。（3）写出在一给定的一分钟内，所有 5 个讯息员收到相同次数的讯息的概率。解解：在给定的一分钟内，任意一个讯息员收到讯息的次数)2(X。（1）1353

30、. 002eXP；（2）设在给定的一分钟内 5 个讯息员中没有收到讯息的讯息员人数用 Y 表示，则 Y B(5, 0.1353)，所以00145. 0)1353. 01 (1353. 04445CYP。（3）每个人收到的讯息次数相同的概率为 0510052!32!2kkkkkeke8，一教授当下课铃打响时，他还不结束讲解。他常结束他的讲解在铃响后的一分钟以内，以 X 表示铃响概率论与数理统计及其应用习题解答22至结束讲解的时间。设 X 的概率密度为他其100)(2xkxxf，（1）确定k；（2）求31XP；（3）求2141 XP；（4）求32XP。解解：（1）根据3)(1102kdxkx

31、dxxf，得到3k；（2）2713133133/102dxxXP；（3）647412132141332/14/12dxxXP；（4）2719321332313/22dxxXP。9，设随机变量 X 的概率密度为他其1000003. 0)(2xxxf，求 t 的方程04522XXtt有实根的概率。解解：方程04522XXtt有实根表明0)45(442XX，即0452 XX，从而要求4X或者1X。因为001. 0003. 01102dxxXP，936. 0003. 041042dxxXP所以方程有实根的概率为 0.001+0.936=0.937.10，设产品的寿命 X（以周计）服从瑞利分布，其概

32、率密度为他其00100)(200/2xexxfx（1）求寿命不到一周的概率；（2）求寿命超过一年的概率；（3）已知它的寿命超过 20 周，求寿命超过 26 周的条件概率。解解：（1）00498. 011001200/110200/2edxexXPx；（2）000001. 010052200/270452200/2edxexXPx；概率论与数理统计及其应用习题解答23（3）25158. 010010020262026200/27620200/26200/22edxexdxexXPXPXXPxx。11，设实验室的温度 X（以C计）为随机变量，其概率密度为他其210)4(91)(2xxxf（1）某

33、种化学反应在温度 X 1 时才能发生，求在实验室中这种化学反应发生的概率。（2）在 10 个不同的实验室中，各实验室中这种化学反应是否会发生时相互独立的，以 Y 表示 10 个实验室中有这种化学反应的实验室的个数，求 Y 的分布律。（3）求2YP，2XP。解解：（1）212275)4(911dxxXP；（2）根据题意)275,10( BY，所以其分布律为10, 2 , 1 , 0,2722275)(1010kCkYPkkk（3）2998. 02722275)2(82210CYP，5778. 0) 1()0(1)2(YPYPYP。12，（1）设随机变量 Y 的概率密度为他其100102 .

34、02 . 0)(yyCyyf试确定常数 C，求分布函数)(yF，并求5 . 00 YP，1 . 0|5 . 0YYP。（2）设随机变量 X 的概率密度为他其422008/8/1)(xxxxf求分布函数)(xF，并求31 xP，3|1XXP。概率论与数理统计及其应用习题解答24Y解解：（1）根据24 . 0)2 . 0(2 . 0)(11001CdyCydydyyf，得到2 . 1C。110011)2 . 12 . 0(2 . 0)2 . 12 . 0(2 . 02 . 00)()(01100101yyyydyydydyydydydyyfyFyyy11001112 . 02 . 06 . 0)

35、 1(2 . 002yyyyyyy25. 02 . 045. 0)0()5 . 0(05 . 05 . 00FFYPYPYP；7106. 0226. 0145. 01) 1 . 0(1)5 . 0(11 . 015 . 011 . 05 . 01 . 0|5 . 0FFYPYPYPYPYYP（2）442200881881810)()(20422020 xxxxdxxdxdxxdxdxdxxfxFxxx442200116/8/02xxxxxx16/78/116/9) 1 ()3(31FFxP；9/7)3() 1 ()3(3313|1FFFXPXPXXP。13，在集合 A=1,2,3,.,n中取数

36、两次，每次任取一数，作不放回抽样，以 X 表示第一次取到的数，以 Y表示第二次取到的数，求 X 和 Y 的联合分布律。并用表格形式写出当 n=3 时 X 和 Y 的联合分布律。解解：根据题意，取两次且不放回抽样的总可能数为 n(n-1)，因此) 1(1,nnjYiXP，（ji ，且nji ,1）当 n 取 3 时，61,jYiXP,（ji ，且3,1ji）,表格形式为X123概率论与数理统计及其应用习题解答25Y101/61/621/601/631/61/6014,设一加油站有两套用来加油的设备，设备 A 是加油站的工作人员操作的，设备 B 是有顾客自己操作的。A，B 均有两个加油管。随机取

37、一时刻，A，B 正在使用的软管根数分别记为 X，Y，它们的联合分布律为X01200.100.080.0610.040.200.1420.020.060.30（1）求1, 1YXP，1, 1YXP；（2）求至少有一根软管在使用的概率；（3）求YXP，2YXP。解解：（1）由表直接可得1, 1YXP=0.2，1, 1YXP=0.1+0.08+0.04+0.2=0.42（2）至少有一根软管在使用的概率为9 . 01 . 010, 011YXPYXP（3）210YXPYXPYXPYXP=0.1+0.2+0.3=0.628. 00, 21, 12, 02YXPYXPYXPYXP15,设随机变量（X，Y

38、）的联合概率密度为他其，0, 00),()42(yxCeyxfyx试确定常数C，并求2XP，YXP，1YXP。解解：根据1),(0, 0yxdxdyyxf，可得8),(104020)42(00, 0CdyedxeCdyCedxdxdyyxfyxyxyx，所以8C。404220)42(22428),(2edyedxedyedxdxdyyxfXPyxyxx；32)1 (2428),(04204020)42(0dxeedyedxedyedxdxdyyxfYXPxxxyxxyxyx概率论与数理统计及其应用习题解答262210410210)42(101)1 (428),(1edyedxedyedxdxd

39、yyxfYXPxyxxyxyx。16，设随机变量（X，Y）在由曲线1, 2/,22xxyxy所围成的区域G均匀分布。（1）求（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX。解解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(61),(),(1222/10yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG，得到他其，0),(, 6),(Gyxyxf。（2）他其，, 01036),()(22/22xxdydyyxfxfxxX；他其，他其，015 . 0)1 (65 . 00)2(6015 . 065 . 006),()(12yyyyyydxydxdxyxfyf

41、15 . 01|5 . 0)5 . 0|(5 . 0|1edyedyxyfXYPyXY。19，（1）在第 14 题中求在0X的条件下Y的条件分布律；在1Y的条件下X的条件分布律。（2）在 16 题中求条件概率密度)|(|xyfXY，)|(|yxfYX，)5 . 0|(|xfYX。解解：（1）根据公式00,0|XPXiYPXiYP，得到在0X的条件下Y的条件分布律为Y0120|XYP5/121/31/4类似地，在1Y的条件下X的条件分布律为X0121|YXP4/1710/173/17（2）因为他其，0),(, 6),(Gyxyxf。他其，, 01036)(22/22xxdyxfxxX；他其，

42、015 . 0)1 (65 . 00)2(6)(yyyyyyfY。所以，当10 x时，其他, 02/,2)(),()|(222|xyxxxfyxfxyfXXY；当5 . 00 y时，其他, 02,21)(),()|(|yxyyyyfyxfyxfYYX；当15 . 0 y时，其他, 01,11)(),()|(|xyyyfyxfyxfYYX；当5 . 0y时，其他, 015 . 0,5 . 011)|(|xyxfYX。概率论与数理统计及其应用习题解答2820，设随机变量（X，Y）在由曲线xyxy,2所围成的区域G均匀分布。（1）写出（X，Y）的概率密度；（2）求边缘概率密度)(),(yfxfYX；

43、（3）求条件概率密度)|(|xyfXY，并写出当5 . 0 x时的条件概率密度。解解：（1）根据题意，（X，Y）的概率密度),(yxf必定是一常数，故由),(31),(),(1210yxfdyyxfdxdxdyyxfxxG，得到他其，0),(, 3),(Gyxyxf。（2）他其，, 010)(33),()(22xxxdydyyxfxfxxX；他其，他其，010)(30103),()(22yyyydxdxyxfyfyyY。（3）当10 x时，其他, 0,1)(),()|(22|xyxxxxfyxfxyfXXY。特别地，当5 . 0 x时的条件概率密度为其他, 02/24/1,1224)5 .

44、 0|(|yyfXY。21，设),(YX是二维随机变量，X的概率密度为他其，, 02062)(xxxfX且当)20(xxX时Y的条件概率密度为其他, 010,2/11)|(|yxxyxyfXY，概率论与数理统计及其应用习题解答29（1）求),(YX联合概率密度；（2）求),(YX关于Y的边缘概率密度；（3）求在yY 的条件下X的条件概率密度)|(|yxfYX。解解：（1）他其10, 20031)|()(),(| yxxyxyfxfyxfXYX；（2）其他010)1 (3231),()(20yydxxydxyxfyfY；（3）当10 y时，其他, 020,)1 (21)(),()|(|xyxy

45、yfyxfyxfYYX。22，（1）设一离散型随机变量的分布律为Y-101kp212又设21,YY是两个相互独立的随机变量，且21,YY都与Y有相同的分布律。求21,YY的联合分布律。并求21YYP。（2）问在 14 题中YX,是否相互独立？解解：（1）由相互独立性，可得21,YY的联合分布律为,2121jYPiYPjYiYP，1 , 0 , 1,ji结果写成表格为2/)1 (1012221212121YYPYYPYYPYYP。（2）14 题中，求出边缘分布律为Y1Y2-101-14/22/ )1 (4/202/ )1 (2)1 (2/ )1 (14/22/ )1 (4/2概率论与数理统计

46、及其应用习题解答30YX012iXP00.100.080.060.2410.040.200.140.3820.020.060.300.38jYP0.160.340.501很显然，000, 0YPXPYXP，所以YX,不是相互独立。23，设YX,是两个相互独立的随机变量，) 1 , 0(UX，Y的概率密度为其他02/108)(yyyfY试写出YX,的联合概率密度，并求YXP。解解：根据题意，X的概率密度为其他0101)(xxfX所以根据独立定，YX,的联合概率密度为其他2/10, 1008)()(),(yxyyfxfyxfYX。328),(12/10yyxydxdxdxdyyxfYXP24，设随

47、机变量X具有分布律X-2-1013kp1/51/61/51/1511/30求12 XY的分布律。解解：根据定义立刻得到分布律为Y12510kp1/57/301/511/3025，设随机变量) 1 , 0( NX，求XU 的概率密度。解解：设UX,的概率密度分别为)(),(ufxfUX，U的分布函数为)(uFU。则概率论与数理统计及其应用习题解答31当0u时，0)(uXPuUPuFU，0)(ufU；当0u时，1)(2)(uuXuPuXPuUPuFU，2/22)(2)()(uXUUeufuFuf。所以，0002)(2/2uueufuU。26，（1）设随机变量X的概率密度为其他00)(xexfx求

48、XY 的概率密度。（2）设随机变量) 1 , 1(UX，求2/ ) 1( XY的概率密度。（3）设随机变量) 1 , 0( NX，求2XY 的概率密度。解解：设YX,的概率密度分别为)(),(yfxfYX，分布函数分别为)(),(yFxFYX。则（1）当0y时，0)(yXPyYPyFY，0)(yfY；当0y时，)()(22yFyXPyXPyYPyFXY，22)(2)()(2yXYYyeyyfyFyf。所以，0002)(2yyyeyfyY。（2）此时其他0112/1)(xxfX。因为) 12(122/ ) 1()(yFyXPyXPyYPyFXY，故，1121, 1) 12(2)()(yyfyFy

49、fXYY，所以，其他1001)(yyfY。（3）当0y时，)(2yXyPyXPyYPyFY概率论与数理统计及其应用习题解答321)(2)()(yyy，故，2/2121)(2)()(yXYYeyyyfyFyf。所以，其他0021)(2/yeyyfyY。27，设一圆的半径 X 是随机变量，其概率密度为其他0208/ ) 13()(xxxf求圆面积 A 的概率密度。解解：圆面积2XA，设其概率密度和分布函数分别为)(),(yGyg。则)/(/)(2yFyXPyXPyGX，故2/0,1638321)/(21)()(yyyyyyfyyGyg所以，其他040163)(yyyyg。28，设随机变量 X,Y

50、相互独立，且都服从正态分布), 0(2N，验证22YXZ的概率密度为其他00)()2/(222zezzfzZ。解解：因为随机变量 X,Y 相互独立，所以它们的联合概率密度为2222221),(yxeyxf。先求分布函数，当0z时，)(222zYXPzZPzFZ2222222202220121),(zzrzyxerdreddxdyyxf，概率论与数理统计及其应用习题解答33故，其他00)()()2/(222zezzFzfzZZ。29，设随机变量) 1 , 1(UX，随机变量 Y 具有概率密度)1 (1)(2yyfY，y，设 X,Y 相互独立，求YXZ的概率密度。解解：因为其他0112/1)(xx

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