复合函数与初等函数学习教案.pptx

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1、函数的复合(fh)运算与复合(fh)函数 /602 . 010 1 的的函函数数是是行行驶驶距距离离耗耗油油量量过过程程中中，小小时时。于于是是汽汽车车在在行行驶驶公公里里，行行驶驶速速度度为为公公升升小小时时，每每公公里里耗耗油油量量为为某某汽汽车车行行驶驶了了例例sy,600, 0 ,2 . 0)( sssfy 建立函数关系：建立函数关系：与时间与时间通过中间变量通过中间变量因此，汽车的耗油量因此，汽车的耗油量tsy的函数的函数又是行驶时间又是行驶时间而行驶距离而行驶距离 ts10, 0 ,60)(tttgs10, 0 ,12602 . 02 . 0 tttsy第1页/共36页第一页，共3

2、7页。的的定定义义域域内内，在在的的函函数数值值全全部部或或部部分分落落如如果果设设有有两两个个函函数数定定义义)()(),(),(ufyxuxuufy 的的函函数数，这这个个函函数数叫叫做做）也也是是变变量量（通通过过则则变变量量xuy 称称为为中中间间变变量量。其其中中记记作作复复合合函函数数。复复合合而而成成的的函函数数，简简称称与与由由uxfyxufy)()()( 复合函数(hnsh)定义第2页/共36页第二页，共37页。结结 论论 fDW 由于由于所以所以(suy), (suy), 不能复合不能复合例如例如(lr)： 与与uufyarcsin)( 2)(2 xxu .)()(合合时时

3、，这这两两个个函函数数才才能能复复的的值值域域的的交交集集为为非非空空集集的的定定义义域域与与当当且且仅仅当当函函数数xuufy 第3页/共36页第三页，共37页。例2 2、求下列(xili)(xili)函数的复合函数： xuuysin,. 12 xueyu ,. 2xuuy3,arctan. 3 12,cos,ln. 4 xvvuuy解：xuy22sin)1( ;)2(xueey ;3arctanarctan)3(xuy ).12cos(lncoslnln)4( xvuy第4页/共36页第四页，共37页。例3 分解下列(xili)复合函数xy3cos)1(2 )1sin(ln)2(2 xxy

4、xv3 解解： ,2uy ,uy （1）（2）,cosvu ,sin v12 xx ,lnvu 32tan3xy ）（)3(,2uy ,tanvu .3xv )1sin(ln)4(2 xxy. 1,sin,ln,)4(2 xxvvuuy 第5页/共36页第五页，共37页。分析下列(xili)复合函数的复合过程xy5cos2)32(xy21xyxeysinxeycos)sin1ln(xy第6页/共36页第六页，共37页。1)1(3 xxxf已知已知)(xf求求解：解： 于是于是，则则1 ux 所以(suy) 123)(23 xxxxf123111233 uuuuuuf)()()(,ux 1令令例

5、4第7页/共36页第七页，共37页。 定定义义域域。的的，求求函函数数，的的定定义义域域为为设设函函数数)1(10)( xfxf解解: : )1( xf因因为为fDxu 1由由于于 即即1 , 01 x 0 , 1 x所所以以复合而成，复合而成，由由1),( xuufy例5第8页/共36页第八页，共37页。).12(,)1(2 xfxxf求求设设解解: : 例6于是于是则则设设, 1, 1 uxxu2)1()( uuf122 uu所以所以1)12(2)12()12(2 xxxf. 4842 xx第9页/共36页第九页，共37页。初等初等(chdng)函数函数我们把由常数和基本初等函数经过有限我

6、们把由常数和基本初等函数经过有限(yuxin)次四则运算次四则运算和有限和有限(yuxin)次复合步骤所构成并可以用一个次复合步骤所构成并可以用一个解析式表示解析式表示的函数，称为初等函数的函数，称为初等函数例如例如(lr) 2xy xxysinln 2132 xyarctan313 xxyarcsin第10页/共36页第十页，共37页。解解: : 例7求下列函数的定义域。求下列函数的定义域。);1tan(1 xy）（;31arcsin3)2( xxy.49)3lg(1)3(2xxy ,21)1( kx必须使必须使. 12 kx即即,1311032 xx）必须使）必须使（,423 xx即即 。

7、，所所以以，函函数数的的定定义义域域为为32 ,0490)3lg(0332 xxx）必须使）必须使（,7723 xxx即即）。）。，（），所以，函数的定义域为所以，函数的定义域为3227 第11页/共36页第十一页，共37页。分段分段(fn dun)函数函数我们把在不同我们把在不同(b tn)的定义域区间所对应的函数的定义域区间所对应的函数解析式不同解析式不同(b tn)的函数统称为分段函数的函数统称为分段函数符号符号(fho)函数函数 取整函数取整函数 绝对值函数绝对值函数 010001)sgn(xxxxy , 2, 1, 0),1, nnnxnxy 00 xxxxxy第12页/共36页第十

8、二页，共37页。yyxx 010001)sgn(xxxxy nxy 第13页/共36页第十三页，共37页。yx 00 xxxxxy第14页/共36页第十四页，共37页。，并作图。，并作图。求求设设)0(),1(,00)(2ffxxxxxf 解解: : 例8, 1)1()1(2 f. 00)0( f2)(xxf xxf )(第15页/共36页第十五页，共37页。例例9 9 我国我国19931993年年1010月月3131日发布的中华人民共和日发布的中华人民共和国个人所得税法中规定：个人每月工薪收入国个人所得税法中规定：个人每月工薪收入(shur)(shur)超过超过800800元为应纳税所得额纳

9、税人元为应纳税所得额纳税人的应纳个人所得税额的标准可根据我国个人收的应纳个人所得税额的标准可根据我国个人收入入(shur)(shur)所得税税率表计算求个人所得所得税税率表计算求个人所得税函数以及求当月纳税为税函数以及求当月纳税为120120元时的月工薪？元时的月工薪？级数级数含税级距含税级距税率税率0 0低于低于800800元元0 01 1不超过不超过500500元元5 52 2超过超过500-2000500-2000元元10103 3超过超过2000-50002000-5000元元15154 4超过超过5000-200005000-20000元元2020第16页/共36页第十六页，共37页

10、。 解 ： 个人所得税函数(hnsh)为 118005800375%20)5800(58002800125%15)2800(2800130025%10)1300(1300800%5)800(80000)(xxxxxxxxxxfy第17页/共36页第十七页，共37页。月纳税月纳税(n shu)额分额分层次为层次为 0 y250 y,12525 y显然显然(xinrn)120 y属于属于(shy)第三段，函数式为：第三段，函数式为： 25%10)1300( xy22501300%1025120 x反解自变量得反解自变量得 第18页/共36页第十八页，共37页。第19页/共36页第十九页，共37页。

11、基本初等基本初等(chdng)函数函数xyxyxyxycot,tan,cossin ，三角函数三角函数 xy 幂函数幂函数 )1, 0 aaayx且且（指数函数指数函数)10(log aaxya且且对数函数对数函数.cot,arctan,arccosarcsinxarcyxyxyxy ，反三角函数反三角函数第20页/共36页第二十页，共37页。CyxCy 第21页/共36页第二十一页，共37页。常用的幂函数有：12132,xyxyxyxyxy等。 2、幂函数：函数xy 称为幂函数，其中 x 是自变量，u是常数，它可以为任意实数。 根据分数指数(zhsh)(zhsh)幂和负指数(zhsh)(zh

12、sh)幂的意义， 1 xy可以写成xy1。 函数xxy 就是幂函数 23xy ， 函数xy1就是幂函数21 xy。 第22页/共36页第二十二页，共37页。 幂函数 xy 函数 3 , 1 2 21 1 图象 幂函数 xy 函数 3 , 1 2 21 1 定义域 ),( ),( ), 0 ), 0()0 ,( 值域 ),( ), 0 ), 0 ), 0()0 ,( 奇偶性 奇函数 偶函数 非奇非偶 奇函数 第23页/共36页第二十三页，共37页。函数 幂函数xy （0） 幂函数xy （0） 在), 0(内的图像 在), 0(内的单调性 单调增加 单调减少 x o y (1,1) 1 1 1 o

13、 x y (1,1) 第24页/共36页第二十四页，共37页。3、指数函数(zh sh hn sh)和对数函数的图像及性质。 指数函数) 1, 0(aaayx 对数函数) 1, 0(logaaxya 函数 1a 10 a 1a 10 a 图象 定义域 ),( ),( ), 0( ), 0( 值域 ), 0( ), 0( ),( ),( 单调性 单调增加 单调减少 单调增加 单调减少 第25页/共36页第二十五页，共37页。4、三角函数的图像(t xin)和性质 函数 正弦函数 y=sinx 余弦函数 y=cosx 正切函数 y=tanx 余切函数y=cotx 图象 定义域 ),( ),( )(

14、)2,2(Zkkk )(),(Zkkk 第26页/共36页第二十六页，共37页。值域 -1，1 -1，1 ),( ),( 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 周期性 2T 2T T T 单调性 在)2,2(内 单调增加 在)23,2(内 单调减少 在)2,(内 单调增加 在), 0(内 单调减少 在下列区间 )()2,2(Zkkk 单调增加 在下列区间 )(),(Zkkk 单调增加 第27页/共36页第二十七页，共37页。5、反三角函数(snjihnsh) 因此， x 是 y 的函数。 称此函数为反正弦函数， 记为：yxarcsin，写成我们习惯的形式即为xyarcsin。 其定义域为1,

15、 1，值域为2,2。 第28页/共36页第二十八页，共37页。解：因为00sin且02,2，故)0(f=00arcsin； 因为216sin且62,2，故)21(f=21arcsin6； 因为233sin且2,23，故323arcsin)23(f； 因为12sin且2,22，故21arcsin) 1 (f。 第29页/共36页第二十九页，共37页。其定义域为1, 1，值域为,0。 反余弦(yxin)函数：由余弦函数的图像(t xin)可知，对于任意给定的1, 1y， 总有唯一确定的, 0 x满足yx cos， 因此， x 是 y 的函数。 称此函数(hnsh)为反余弦函数(hnsh)， 写成我

16、们习惯的形式即为xyarccos。 第30页/共36页第三十页，共37页。解：因为02cos且2, 0，故)0(f=20arccos； 因为213cos且3 , 0，故)21(f=21arccos= 3； 因为236cos且, 06，故623arccos)23(f； 因为10cos且, 00，故01arccos) 1 (f。 第31页/共36页第三十一页，共37页。其定义域为),(，值域为)2,2(。 反正(fnzhng)切函数： 由正切(zhngqi)函数的图像可知， 对于任意给定的),(y， 总有唯一确定的)2,2(x满足yx tan， 因此，x 是 y 的函数。 称此函数(hnsh)为反

17、正切函数(hnsh)， 写成我们习惯的形式即为xyarctan。 第32页/共36页第三十二页，共37页。解：因为00tan且0)2,2(， 故00arctan)0(f 因为14tan且4)2,2(， 故41arctan) 1 (f 因为336tan且6)2,2(， 故633arctan)33(f 因为33tan且3)2,2(， 故33arctan)3(f 第33页/共36页第三十三页，共37页。第34页/共36页第三十四页，共37页。第35页/共36页第三十五页，共37页。感谢您的观看(gunkn)！第36页/共36页第三十六页，共37页。NoImage内容(nirng)总结函数的复合运算与复合函数。第1页/共36页。结 论。所以, 不能复合。例2、求下列函数的复合函数：。分析(fnx)下列复合函数的复合过程。的函数，称为初等函数。我们把在不同的定义域区间所对应的函数。解析式不同的函数统称为分段函数。解 ： 个人所得税函数为。理解复合函数、初等函数的概念。学好复合函数的分解是学好微积分学的基础，一定要非常熟悉。掌握复合函数的分解和复合过程。理解分段函数的概念,会作简单分段函数图象.。(1,1)第三十七页，共37页。