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1、会计学1数理方程数理方程(fngchng)与特殊函数与特殊函数第一页，共33页。2 热传导、稳态场方程(fngchng)及其定解条件(一)、热传导方程(fngchng)本次课主要(zhyo)内容(二)、稳态场方程(三)、影响物理系统的其它条件第1页/共33页第二页，共33页。3 常用(chn yn)物理规律(二)1、热传导定律(dngl)定义热流(rli)密度：(, )ndQkuM t dSdt (,)nd Qqk uMtd S d t 第2页/共33页第三页，共33页。42、牛顿冷却(lngqu)定律0()Sqk uu单位(dnwi)时间内流过单位(dnwi)面积放出的热量为：3、比热(br
2、)公式Qcm T吸第3页/共33页第四页，共33页。54、高斯(o s)定律( , )SSSVDdSEdSx y z dV第4页/共33页第五页，共33页。6(一)、热传导方程(fngchng) 截面积为A的均匀细杆，侧面(cmin)绝热，沿杆长方向有温差，求杆内温度的变化规律。(1)、细杆的热传导问题(wnt)xx+dxLu(x,t)xn第5页/共33页第六页，共33页。7在dt时间(shjin)内流入微元的热量为：1uud QkA d tkA d tnx 在dt时间内放出(fn ch)微元的热量为：2(,)xud QkA d tk uxd xtA d tn 在dt时间(shjin)内微元吸
3、收的净热量为：12(, )( , )xxdQdQdQkAdt uxdx tux t第6页/共33页第七页，共33页。82txxua uxxtkAu dxdtc Au dxdt由比热(br)公式： ( ,)( , )dQcm Tc Adx u x tdtu x ttc Au dxdt由热量(rling)守恒定律得：一维齐次热传导方程(fngchng)第7页/共33页第八页，共33页。9 设均匀且各向同性的导热体,置于温度(wnd)比它高的热场中,求物体中温度(wnd)u(x，y，z, t)的分布的规律。 (2)、三维空间(snwikngjin)中的热传导问题导热(dor)体热场第8页/共33页第
4、九页，共33页。10分析(fnx)：(1)、t1,t2时间(shjin)里流入导热体的热量Q1计算 先要给出在t1,t2时间里流入导热(dor)体的热量，然后再给出在该时间中导热(dor)体温度升高所需要的热量。dSn流入dS的热量微元为：1ud Qkd S d tn 第9页/共33页第十页，共33页。11211ttSuQkdS dtn在t1,t2时间(shjin)里流入S的热量为：21(ttSuuukdydzdzdxdxdy dtxyz21222222()ttVuuukdVdtxyz第10页/共33页第十一页，共33页。12(2)、t1,t2 里导热(dor)体升温需要的热量Q2计算导热体微
5、元dV在dt时间升温需要(xyo)的热量为：2( , , ,)( , , , )dQc dV u x y z tdtu x y z ttc dVu dtt1,t2 里导热体升温需要(xyo)的热量Q2为：212tttVQc u dV dt 第11页/共33页第十二页，共33页。13由热量(rling)守恒定律：Q1=Q2于是(ysh)得到：21tttVc u dV dt 21222222()ttVuuukdVdtxyztkucu2tuau三维齐次热传导方程(fngchng)第12页/共33页第十三页，共33页。14 如果导热体内部有热源，不难得到非齐次方程(fngchng)形式为：2(, )t
6、uauf M t 其中(qzhng)，f ( M, t) 被称为自由项。 物质扩散与热传导现象相似(xin s)。所以，热传导方程也称为扩散方程。第13页/共33页第十四页，共33页。15(二）、稳态场方程(fngchng) 稳态场问题是一类重要的典型物理问题，主要特征(tzhng)是所研究的物理量不随时间而变化。1、稳定温度(wnd)分布三维齐次热传导方程为：2tuau热传导达到稳定状态时有：0u称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程.第14页/共33页第十五页，共33页。16由静电场的高斯(o s)公式：如果(rgu)设：2、静电场中的电势分布(fnb)规律SSVEd Sd V,EP Q R可
7、以得到：(1)E 第15页/共33页第十六页，共33页。17静电场是保守场，于是(ysh)存在势函数u(x,y,z)满足：把(2)代入(1)得：,( 2 )uuuEuxyz 这就是静电场中电势满足(mnz)的泊松方程uu2如果(rgu)=0，则泊松方程变为拉普拉斯方程。泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程。第16页/共33页第十七页，共33页。181、波动(bdng)方程：三类典型物理方程(fngchng)总结2(, )ttuauf M t2、热传导方程(fngchng)：2(, )tuauf M t3、稳态场方程(泊松方程)：2()uufM 第17页/共33页第十八页，共33页。191、不含
8、初值条件(tiojin)带第一类边界条件：狄里赫列问题(wnt)，简称狄氏问题(wnt)；稳态场方程的定解条件(tiojin)问题2、边界条件带第二类边界条件：牛曼问题；带第三类边界条件：洛平问题。稳态场方程求解将在第六章讨论！第18页/共33页第十九页，共33页。20(三）、影响物理(wl)系统的其它条件1、衔接(xinji)条件反映两种介质交界处物理状况的条件(tiojin)称为衔接条件(tiojin)。 当物理系统涉及几种介质时，定解条件中就要包括衔接条件。例1、写出由两种不同材料, 等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件。连接处为 x = x0分析：连接处面上点的位移相等，面上协强相等
9、。x=x0Y1Y2xu1(x,t)u2(x,t)第19页/共33页第二十页，共33页。21所以，衔接(xinji)条件为：0000121212xxxxxxxxuuuuYYxx例2、讨论静电场中电介质表面的衔接(xinji)条件设1，2与u1,u2分别(fnbi)表示两种介质的介电常数与电势；f 表示分界面S上电荷面密度。第20页/共33页第二十一页，共33页。22(1)、在界面处，两种介质中的电势(dinsh)应相等12SSuu事实上：根据电场强度(qingd)与电势梯度的关系有：d uEd l 于是，若假定E为p1p2上的平均电场强度(qingd) (显然它有限) ，则：2211()()up
10、upEL 两边对L取极限得：12SSuu第21页/共33页第二十二页，共33页。23(2)、在界面处，可以(ky)导出如下等式：事实上：根据有介质(jizh)高斯公式就可以推出上式。1212SfuunnfSDd SQ Qf是面S内的总电荷(dinh)有介质高斯公式为：第22页/共33页第二十三页，共33页。24取一个(y )包含S的上下底平行的高为h的扁平盒：由于(yuy)h可以很小，因此，通过侧面的电通量忽略！于是由高斯(o s)公式有：12()()ffDnSDnSQS 而:DEu 第23页/共33页第二十四页，共33页。25所以(suy)：1212()Sfuunn说明：如果u1为导体(do
11、t)的电势，u2是绝缘体电势，那么，因为导体(dot)是等势体，所以有：22Sfun 2、周期性条件(tiojin) 在极坐标、柱面坐标和球坐标系的经度坐标中，实际物理量常满足周期性条件，即：第24页/共33页第二十五页，共33页。26(1)、在极坐标中：( ,2 , )( , , )u rzu rz( ,2 )( , )u ru r(2)、在柱坐标(zubio)中：( , ,2 )( , ,)u ru r (3)、在球坐标(zubio)中：第25页/共33页第二十六页，共33页。27例如(lr)，在静电场中，由电势的唯一性有：3、有界性条件(tiojin)lim0ru 或 有 限 数( ,
12、,2 )( , ,)u ru r 在没有(mi yu)源处，物理量一般有界。常考虑物理量在坐标原点处有界。 例如，在静电场中，电势在原点(无电荷）有界；在温度场中，中心温度有界等！4、无穷远条件或者在无穷远处u有渐进行为f(r,t)(已知函数）第26页/共33页第二十七页，共33页。28例3、半径为r0的球面，在0/2的半球上电势(dinsh)为u0，在另一半球上为-u0,写出定解问题。分析(fnx)：空间中的电势分布分球内(u1)与球外(u2),由于是静电场问题，所以泛定方程为稳态场方程。又空间中没有分布电荷，因此方程为拉普拉斯方程。 第27页/共33页第二十八页，共33页。29所以(suy
13、)：210lim0,rruu 0100100()(0/ 2)(/ 2)rrurruuu其它(qt)条件：200()urr0012rrrruu1212()0Suunn第28页/共33页第二十九页，共33页。30定解问题的简要(jinyo)总结 对于一个具体物理问题，写出其定解问题，应该(ynggi)分如下三步进行：1、根据问题(wnt)背景写出物理方程(泛定方程);2、如果有边界条件，要根据物理背景写出边界条件，即考虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔接条件。第29页/共33页第三十页，共33页。31 除边界条件外，由于物理上合理性的需要，有时还需要对方程中的未知函数加以一些限制(xinzh)。这些限制(xinzh)包括： 周期性限制(xinzh); 有界性限制(xinzh)；无穷远限制(xinzh)等。上面限制条件(tiojin)称为自然边界条件(tiojin)。 3、初始条件 如果物理问题涉及时间变量，则需写出初始条件。 如果方程中对时间的导数为n阶，则需要n个初始条件表达式。第30页/共33页第三十一页，共33页。32作业(zuy)P26习题(xt)2.2第1，2，3，4；P30习题(xt)2.3第1，2，4。第31页/共33页第三十二页，共33页。33Thank You !第32页/共33页第三十三页，共33页。