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1、1一、复合(fh)函数的求导法则(链导法则)证),()(tttu 则则);()(tttv ，获得增量获得增量设设tt 1. 中间变量为一元函数的情形(qng xing).定理(dngl)( )( ),utvtt如果函数及都在点 可微),(),(vuvufz在对应点在对应点函数函数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且其导数可用下列公式计算:多元复合函数的求导法则也可微,第1页/共30页第一页，共31页。2 z tz,ddtutu ,ddtvtv 可微由于(yuy)函数 vvzuuz,21vu ,0, 0时时当当 vu0, 021 tvvztuuztvtu 21
2、 ,0时时当当 t0, 0 vu多元复合函数的求导法则第2页/共30页第二页，共31页。3复合(fh)函数的中间变量多于两个的情况.定理(dngl)推广uvwtz导数(do sh)变量树图 三个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 称为多元复合函数的求导法则第3页/共30页第三页，共31页。4项数问:每一项中间(zhngjin)变量函数对中间(zhngjin)变量的偏导数该中间(zhngjin)变量对其指定自变量的偏导数(或导数).的个数.函数对某自变量的偏导数之结构),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu 多元复合函数的求导法则第4页/共30页第四
3、页，共31页。5例 设 求xydd这是幂指函数(hnsh)的导数,但用全导数公式(gngsh)较简便.法二 yuvx,)(cossin xxy 解法一,cosxu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用取对数(du sh)求导法计算.,sin xv 多元复合函数的求导法则第5页/共30页第五页，共31页。6多元复合函数的求导法则).,(),(yxyxfz 复合(fh)函数为),(),(),(yxyxvyxu都在点都在点及及如果如果 ,的偏导数的偏导数和和具有对具有对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应点应点
4、则复合(fh)函数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应点在对应点),(yx偏导数(do sh)存在,且可用下列公式计算 两个中间变量 两个自变量可微,2.的情形.zzuzvyuyv y 第6页/共30页第六页，共31页。7uvxzy xz yz 变量(binling)树图uv多元复合函数的求导法则 ( , ),( , )zfx yx y第7页/共30页第七页，共31页。8解 xz1cossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元复合函数的求导法则例 ,sinyxvxyuvezu 设设.yz
5、xz 和和求求第8页/共30页第八页，共31页。9中间(zhngjin)变量多于两个的情形类似(li s)地再推广,),(的偏导数的偏导数和和处具有对处具有对都在点都在点yxyx复合(fh)函数在对应点),(yx的两个偏导数存在,且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量zwvuyx多元复合函数的求导法则第9页/共30页第九页，共31页。10例 设,1222wvuz xz 解)()(23222wyvxuxwyx uwvuuz2)(2123222 xxu2 求,2222yxvyxu .2xyw 多元复合函数的求导法则第10页/共30页第十页，共31页。11只有一个中间变量即,),(yxyxfz
6、xz yz两者的区别(qbi)区别(qbi)类似多元复合函数的求导法则3.的情形(qng xing).把复合函数,),(yxyxfz 中的y看作不变而对x的偏导数把中的u及y看作不变而对x的偏导数 xuufuv w xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 第11页/共30页第十一页，共31页。12,xz yz 解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy变量(binling)树图)sin(yxeu )sin(yxeu 例多元复合函数的求导法则y )cos(yxeu x sin(),uzexyuxy而求cos()uexy第12页/共30页第十二页，共31页。1
7、3 已知f(t)可微,证明 满足(mnz)方程)(22yxfyz .112yzyzyxzx 提示(tsh)(tfyz t, y 为中间(zhngjin)变量, x, y 为自变量.,)()(22tftfxyxz .)()(2)(122tftfytfyz 引入中间变量,则多元复合函数的求导法则第13页/共30页第十三页，共31页。14多元(du yun)复合函数求导法则 (链导法则)多元复合函数的求导法则三、小结(xioji)(大体(dt)分三种情况)求抽象函数的二阶偏导数特别注意混合偏导第14页/共30页第十四页，共31页。15一个方程(fngchng)的情形第五节 隐函数(hnsh)的求导公
8、式第八章 多元函数微分法及其应用第15页/共30页第十五页，共31页。16一、一个方程(fngchng)的情形 在一元函数微分学中, 现在利用复合(fh)函数的链导法给出隐函数(1)1(0),( yxF的求导法.并指出(zh ch):曾介绍过隐函数的求导公式,隐函数存在的一个充分条件.隐函数的求导公式第16页/共30页第十六页，共31页。17隐函数(hnsh)存在定理1),(yxF),(00yxP隐函数的求导公式设二元函数(hnsh)的某一邻域(ln y)内满足:在点, 0),(00 yxFy则方程; 0),(00 yxF),(xfy ),(00 xfy 的某一邻域内并有(1) 具有连续偏导数
9、;0),( yxF),(00yxP它满足条件在点隐函数的求导公式(2) (3) 恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数(证明从略)仅推导公式.将恒等式两边关于x求导,),(xF由全导数公式,得0 第17页/共30页第十七页，共31页。18连续，连续，由于由于),(yxFy，且且0),(00 yxFy, 0),( yxFy或简写(jinxi):),(00yx于是(ysh)得隐函数的求导公式所以(suy)存在的一个邻域,在这个邻域内),(yxFx),(yxFy xydd 0 ),(xF0 第18页/共30页第十八页，共31页。19如, 方程(fngchng), 0 yxeexy记,),(yxee
10、xyyxF ; 0)0 , 0( F(1)xxeyyxF ),(yyexyxF ),(与与)0 , 0(在点在点的邻域(ln y)内连续;, 01)0 , 0( yF所以(suy)方程在点)0, 0(附近确定一个有连续导数、且隐函数的求导公式隐函数存在定理1的隐函数00 yx时时当当),(xfy 则(2)(3)第19页/共30页第十九页，共31页。20解 令则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy .xyyx 隐函数的求导公式例.dd,arctanln22xyxyyx求求已知已知 第20页/共30页第二十页，共31页。21),(z
11、yxF),(000zyxP, 0),(000 zyxFz则方程(fngchng); 0),(000 zyxF),(yxfz ),(000yxfz 内恒能唯一(wi y)确定一个连续且具有连续偏导数的并有具有连续(linx)偏导数;若三元函数的某邻域内0),( zyxF),(000zyx函数它满足条件在点在点2.由三元方程确定二元隐函数.,yzxz 求求隐函数存在定理2隐函数的求导公式的某一邻域(1)(2)(3)满足:第21页/共30页第二十一页，共31页。22隐函数的求导公式(证明从略(cngl)仅推导公式.将恒等式两边分别(fnbi)关于x和y求导,),(yxF应用(yngyng)复合函数求
12、导法得0 xFzF xz , 0 是方程所确定的隐设函数,则yFzF yz . 0 zF，且且0),(000 zyxFz, 0 zF),(000zyx点点所以存在的一个邻域,在这个邻域内因为连续,于是得第22页/共30页第二十二页，共31页。23例 , 1222222 czbyax已知已知.,2yxzyzxz 及及求求解 ),(zyxF1222222 czbyax则,22axFx ,22byFy 22czFz xzzaxc22 yzzbyc22 令)0( z,zxFFxz zyFFyz 看作是看作是将将时时、在求在求),(,zyxFFFFzyx的的zyx,隐函数的求导公式第23页/共30页第二
13、十三页，共31页。24将 xzzaxc22 yxz222axc 22222)(zazbycxc 3224zbaxyc yzzbyc22 注再一次对y求偏导数(do sh),得对复合函数(hnsh)求高阶偏导数时,需注意:导函数(hnsh)仍是复合函数(hnsh).故对导函数再求偏导数时,仍需用复合函数求导的方法.2z 隐函数的求导公式zy第24页/共30页第二十四页，共31页。25确定了隐函数确定了隐函数设方程设方程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求分析(fnx)在某函数(hnsh)(或方程)表达式中,自变量互换后,仍是原来的函数 (或方程),称函数(或方程)用对称性可简化计算.解
14、将方程两边对x求偏导,得关于自变量对称,yyxzyxz ),(yxzz 将任意两个y z x 0 隐函数的求导公式第25页/共30页第二十五页，共31页。26再将上式两边(lingbin)对x求偏导,yxzyxz 得 22xz2)()(2yxzy 由x, y的对称性知, 22yz2)()(2yxzx 确确定定了了隐隐函函数数设设方方程程1 zxyzxy.,2222yzxz 试求试求),(yxzz 2)(yx xz )(yx )(zy 1 隐函数的求导公式第26页/共30页第二十六页，共31页。27隐函数的求导公式2002年考研(ko yn)数学(四),7分),(zyxfu 设设函函数数有连续(
15、linx)偏导数,且.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所确确定定由由方方程程 解 法一,),(zyxzeyexezyxF 设设则用公式(gngsh),11zxzxezxFFxz .11zyzyezyFFyz ,)1(xxexF ,)1(yyeyF .)1(zzezF 故而,11zxzxzxezxffxzffxu ,11zyzyzyezyffyzffyu 所以yyuxxuuddd 第27页/共30页第二十七页，共31页。28隐函数的求导公式且且),(zyxfu 设设函函数数有连续(linx)偏导数,.d,),(uzeyexeyxzzzyx求求所所确确定定由由方方程程 法二用全微分(w
16、i fn)zyxzeyexe 在在两边(lingbin)微分,得故,ddddddzzezeyyeyexxexezzyyxx .)1(d)1(d)1(dzyxezyeyxexz 得得由由),(zyxfu ,ddddzfyfxfuzyx 故xezxffzxzxd11 ud.d11yezyffzyzy 2002年考研数学(四),7分第28页/共30页第二十八页，共31页。29隐函数(hnsh)的求导法则0),()1( yxF0),()2( zyxF隐函数的求导公式三、小结(xioji)第29页/共30页第二十九页，共31页。30感谢您的观看(gunkn)！第30页/共30页第三十页，共31页。NoImage内容(nirng)总结1。一、复合函数的求导法则(链导法则)。复合函数的中间变量多于两个的情况.。该中间变量对其指定(zhdng)自变量的偏导数(或导数).。例 设 求。例 设。已知f(t)可微,证明 满足方程。t, y 为中间变量, x, y 为自变量.。多元复合函数求导法则 (链导法则)。第五节 隐函数的求导公式。导函数仍是复合函数.第三十一页，共31页。