群的基本知识精品PPT课件.pptx

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1、定义：定义：在元素集合G（A, B, C, ）中，定义一种结合法则（群乘）（combination, composition），满足：（1）封闭性：AG，BG，则ABG（2）结合律：A, B, CG, 则(AB)C = A(BC)（3）集合中有单位元素EG，使得对于任何AG，恒有EA=A（4）对于任何的AG，均存在逆元A-1G，使得A-1A=E 2.1 群的概念群的概念2.1.1 群的定义群的定义例如：例如： 构成一个群 ii , 1, 1可以证明：AE=A；AA-1=E证明：1）（若EA=A，必有AE=A） 若 ， BAAEABAEA111AAABAAAABAEGA1111111111EBE

2、ABA证明：2）左逆=右逆， 假定： 设 EAA1BAAAABAAA11111BAAAABAAGA1111111111BEBE证明：3） ，且 AA11EAA1EAA111111111AAAAAAA证明：4）群中的单位元素是唯一的。 假定有两个单位元E1 和E2， 由 ，得 or 1221EEEE21EE 21111EAAEAAEA证明：5） （逆元） 且 （单位元） EE1EEEEE1111 EEE1 EE111)(ABAB111111111111)()()()()()()(ABABABABABBAABAEAABEABAB证明：6） 试讨论以下集合是否构成群： 1 全体整数对于数的加法 2

3、全体实数对于数的乘法 3 模（绝对值）为1的复数全体对于数的乘法 4 么正矩阵的全体对于矩阵的乘法 5 三维空间中矢量的全体对于矢量的叉乘 nn2.1.2 群的种类群的种类定义：定义：有限群中元素的数目称为群的阶（order） 有限群（finite group），群元个数有限离散群（discrete group）可数连续群（continuous group）不可数群 无限群（infinite group），群元个数无限多定义：定义：若群元素之间的结合满足交换律： ，则该群称为Abel群，或对易群（commutation Group）。 BAAB 1重排定理（重排定理（rearrangement

4、 theorem）（它对无限群不成立） 设群 的阶为h. 若 ，则（Ai为G中任意元素） 2.1.3 有限群的性质有限群的性质 hkAAAAG,21GAiGAAAAAAAAGAhikiiii,21GAAAAAAAAGAihikiii,21即：AiG和GAi中每一元素不能相同且又是G中的元素，而共有h个群元，不能超过G的元素，则AiG就是G。证明：(1) 必出现 (2) x不能出现两次 若 ， 得： GxAAririikiiArikiAAAAAAAAAAi111rkAA GxAAkiGxAAkiGAGAki,GxAAki例：例：群 符合四条群公理。用其中任意一个元素乘整个群，所得到的仍然为原来的

5、群，只是次序有变。ii , 1, 1r为满足此式的最小整数2群元素的级群元素的级 有限群G，AG 由于有限， 必有 ，即 ，r称为该元素的级 级和阶是两个概念，但有时值可相等， 如 中 就是如此 132,rrmAAAAAAAAAAr1AAArEArii , 1, 1ii ,定义：若有限群G中的全部元素可由某个Ai的乘幂得到（不一定要求每一个元素，只要找到一个便可），则该群称为循环群（cyclic group）。Ai 该群的生成元定义：由群G的一个最小的群元的集合（如Ai, Aj, ）及乘法关系就可以构造出一个群。这个最小的群元的集合中的元就称为群G的生成元生成元（generator） 。群乘关

6、系称作生成关系生成关系。2.1.4 群的乘法表群的乘法表AEBCCEACBBBCEAACBAEECBAEGiiCiiiBiiiAiiECBAEGii111111111111 约定：表中元素是竖元素乘横元素，即 DCDCG（右因子）（左因子）例：例：矩阵组 ,21232321,1001,1001BAE21232321,21232321,21232321FDC按矩阵乘法构成一个群其乘法表为： DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG6 DBA21232321212323211001EFD10012123232121232321DEACBFF

7、EFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAEG62.1.5 群的实例群的实例 1）一阶群：）一阶群：E，满足 ，单位元素EE12）二阶群：）二阶群： ， 如 所有二阶群的构造均一样 如宇称变换；全同粒子交换（费米） 生成元：A；A, A2AE,AA1EAAAEEAEV2111111112V3）三阶群：）三阶群：BAE,一阶、二阶、三阶群均是一阶、二阶、三阶群均是Abel群，也是循环群。群，也是循环群。 AEBBEBAABAEEBAEG三阶群唯一可能的乘法表为：生成元：A；A, A2, A3 B；B, B2, B3 唯一可能 A2=B ； 同理 B2=A A

8、2=A ？不行，否则 A=E 又 A2=E ？不行，否则 A=A-1 =B 唯一可能 AB=E ，即 A=B-1, B=A-1 （互逆） AB=B ？也不行，否则 A=E讨论：AB=A ？不行， 否则 B=E 是一个两阶群了。例： 的三个根 1， 组成三阶群（一般乘法） 013x231i例；对称操作 （即绕一固定轴转 ）也构成三阶群3C2 ,34,324）四阶群）四阶群: CBAE, Abel群群 ( (四阶循环群）四阶循环群）4C生成元：A；A, A2, A3, A4 C；C, C2, C3, C4BAECCAECBBECBAACBAEECBAEC4）A，B，C中，一个自逆B，另两个互逆A，

9、C。乘法表示：23,2,2, 绕某固定轴转 iiCCCE, 1, 1,34244CCBBAA111,）A, B, C均为自逆， （注意，不可能有两个自逆） 乘法表为： Klein四阶群 EABCCAECBBBCEAACBAEECBAEV证明： （若 或 ，则 或 ） 同理 V Abel群（四阶反演群）群（四阶反演群）ECBA222CABBAAAB BAB EA EB ACBBCBCAAC,生成元：A, B；A, A2, B, AB 5）转动群：）转动群：所有旋转轴相交于一点的全部连续转动，构成 连续群 3RnnP321321nS,21,211nPnnnPE21210原来的位置新位置6）置换群（

10、）置换群（permutation group） 意为：1换成1，2换成2，n换成n ：n个物体所有这种可能置换的集合称为置换群 这种群对基本粒子的交换对称性有用。 例： ： 共 3！个群元素 3S123321,312321,321321BAE132321,213321,231321FDCDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3 注意：置换是先进行右边的置换，再进行左边置换，即从右到左。ACD312321213321231321DAB213321123321312321DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEA

11、AFDCBAEEFDCBAES3例如：置换不满足交换律，是非Abel群坐标系上取固定的三点A, B和C ，变换前正三角形三顶点A1, B1和C1分别与A, B和C重合。经变换， A1, B1和C1 的位置发生变化，但总是分别和 A, B和C 中的某一点重合。 7）正三角形对称群）正三角形对称群 共有六个元素：恒等变换E，绕三角形中0点顺时针转2/3和4/3角的变换D和F，三角形分别对三条中线的反射变换A，B，C。3CyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BC3v的乘法表和S3一样 例如： 等 可以证明： C3v是非Abel群FACDAB,yxCABA(0,1)21,23(C)21,

12、23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3i , 1 8）四元数群（）四元数群（guatermon）8阶群阶群 对复数： ，有两个单位 ， 二元素。 定义四元素： 且规定：bia dkcjbiaqjikkiikjjkkjiijkji, 111, 11222222.2 子群（子群（subgroup），陪集（），陪集（coset），）， 共厄元素（共厄元素（conjugate）和类（）和类（class）2.2.1 子群子群定义：定义：若某群中的一部分元素的集合按原来的给合法则也构成群，子群。 任何群的单位元素构成子群 G的全体也构

13、成G的子群 非真子群（平庸子群）真子群的条件真子群的条件: 1 存在单位元 2 任意元素的逆元素也在这一子集内 3 任意两元素的乘积也在这一子集内例： C3v群中， 中 构成真子群。 323323,CCCCE323,CCE沿A轴反演顺时针赚120,E3, CE23, CEyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(B例：实数（加法），单位元为：0 有理数（加法），单位元为：0 子群 整数（加法），单位元为：0 子群 子群链 偶数（加法），单位元为：0 子群 偶整有实2.2.2 陪集陪集 定义：定义：群中G有一个子群gH1, H2, , Hh，有一群元xG ，集合xg=xH1, xH2,

14、, xHh称为g的左陪集（left coset）， gx=H1x, H2x, , Hhx称为的右陪集（right coset）. 注：注： 如果 xg，则 xg=gx=g为子群本身。 陪集可能是G的一个子群，也可能不够成群。gx例： C3v群中，子群E, D, F只有一个陪集A, B, C 子群E, A对的右陪集为B, D ，左陪集为B, F 对C的右陪集为C, F ，左陪集为C, DyxCABA(0,1)21,23(C)21,23(BDEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3定理定理: (1)子群g的两个左（右）陪集，或者包含相同的

15、一组元素，或者没有共同元素。证： 假如： ，则有（作 ） ， ， 即 hixHxHxHxHxg,21hiyHyHyHyHyg,21jiyHxH 11jHx1111jjjiHyHxHxHxyxHHji11gHHji1gyx1gygx1xgyg (2) 若x不是g的一个元，那么gx (xg)不是一个群。（3）G中的每一个元必然落在子群或某一个左（右）陪集中。(4) 若子群g的阶为h，G的阶为H，则每一个左（右）陪集包含h个不同的元，即在集合gx (xg)的h个元中，没有相同的元存在。(5) 若y是gx (xg)的元，那么， gy (yg)与 gx (xg)是相同的。Lagrange定理：定理：子群

16、g的阶(h)必定能够整除整个群G的阶(H)。证：若g遍举群G的全部元素，则h=H，故H/h=1；若不能遍举,作A1g，且A1g与g无共同元素。若g+A1g遍举G所有元素，则H/h=2。若不能，作A2g，且它与g, A1g无共同元素，若g+A1g+ A2g能遍举G，则H/h=3。 因为是有限群，总有G = g+A1g+ A2g+ Al-1g H/h=i (i为子群的指数）例：例：证明：若群的阶为素数，则该群必为循环群。 证明：设群的阶为h，若某元素A：Ar=E， 若 rh，则 h/r = 整数，但h为素数，故必有r=h。注意：陪集并不构成群。注意：陪集并不构成群。 2.2.3 共厄元素和类共厄元

17、素和类 定义：定义：A, B, xG ，若xAx-1=B，则称B是A的共轭元素（conjuate）。性质：性质：1）共厄关系是相互的 2）共厄关系具有传递性 A, B, CG ，若A, B分别与C共厄， 即 则A和B共厄： 由 3）任何元素与自身共厄： GyyByxBxBxxA,11111,11yCyBxCxAAxxCxCxA11 GyxyxAyxxyAyxyAxxyB11111111,AAAAAAEAEA11定义：定义：群G中互相共轭的元素所形成的集合称为类（class），类中元素的数目称为类的阶。 （相似变换的 x( )x-1 中的 x 对类中不同元素是可以不一样的，x要取遍整个G） 只要

18、给出类中任意一个元素就可求得类中所有元素。 单位元素单独成一类，这是因为xEx-1=E 普遍地，若A1, A2, Ai, Aj, An是一类，对任一xG， xAix-1必定在A1, An内，但它不构成群。任意x例：三点对称群有三个类： 1）E自成一类，因为它与所有元素可对易 2）D、F组成一类，因 3）A，B，C组成一类，因为： 33SC,111FBDBFADADEDEDDDDDFDFFCDC111,111ABCBBACACECEBFCFADCDCCCC111,DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECS33性质：性质：1）单位元素E自成

19、一类 2）Abel群的每个元素自成一类 3）同一类中的所有元素都具有相同的级。 （n是A元素的级，若An=E） 证：若An=E ，则 4）群G的阶h可以被共厄元素类的阶l所整除： 即 h/l = 整数。AAxxxAx11ExExxxAxAxxAxxAxxAxnn111111 5）不同的类中没有共同的元 6）除单位元这一类外，其余各类都不是子群 （因为无单位元） 7）对于矩阵群，同一类中的各元互为相似矩阵，因此，同类中各元具有相同的迹。 8）若C是群G的一个类，C是C中所有元的逆的集合，那么， C也是群G的一个类，称为C的逆类。 定理：若g为G的子群，A为G的任意元素，则AgA-1也是一个子群，

20、称作群g的共轭子群（ A 可以g ）。证：H1, H2 g ，作 ， 1）封闭性： 2）单位元素： 3）逆元： 由于g中必有 ， g和AgA-1至少有一个单位元是共同的2.2.4 共轭子群（共轭子群（conjugate subgroup） 和正规子群（不变子群：和正规子群（不变子群：nomal divisor） 11H111AAHH1122AgAAAHH211211121HHAAHAAHAHAH1AgA1 AEAE1111111111111AAHAHAAAHH1111 AgAAAHg1AgA例：例： 其中，E，B构成子群 ，且： 构成子群DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBB

21、CBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3BEg,EAEA1CDAABA11, AgACE指包含有相同的元素定义：g是G的子群，对任意AiG, 恒有AigAi-1=g，则g称为G的不变子群或正规子群（即子群所有的左陪集和相应的右陪集相等）。例：111111111111iiiiiiiiiiiiG 是它的不变子群，这是因为：1, 1 1 1 1 1 11 1 111 1 11111iiii 11111111111 11111iiii同理例：例： 其中，E，D，F构成正规子群 DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAECv3FDEg,gAgAD

22、CAAFAFBAADAEAEA111111;阿贝尔群的所有子群都是不变子群。指数为2的子群一定是不变子群。2.2.5 同构（同构（isomorphism）和同态）和同态( (homomorphism） 定义：定义：若群G和G的所有元素间均按某种规律存在一一对应关系，它们的乘积也按同一规律一一对应，则称两群同构。即：若R, SG; R, SG; RR, SS, 必有RSRS，则GG。 “”一一对应，“”同构 对G的所有定理，对G也成立，因此，在群论中，所有同构的群均被看作同一群。例：例：所有二阶群都同构于二阶反演群V2例：例：正三角形对称群C3V和S3有相同乘法表，因此互相同构。例：例： 其中，

23、E，B构成子群 ，共轭子群AgA-1为 两者同构DEACBFFEFBACDDBAEFDCCACDEFBBCBFDEAAFDCBAEEFDCBAES3BEg,1, AgACE子群g和它的共轭子群AgA-1是同构的定义：定义：如果群G的任一个元素A都唯一地对应于群G的一个元素 A, 而群G中的一个元素对应于群G的元素不只一个，并且如果对应于AB=C，就有AB=C，则称G同态于G，记为 GG。即CBACBABBAABBAACBAGCCBBAAGkji有且,2211212121例： 1111ii11其中 称为同态对应的核core11111111111111111111iiiiiiiiiiiiG GG中

24、与G中单位元E对应的那些元称为这一同态关系的同态核。同态定理：同态定理： 若GG，分别与G中单位元相对应的G中元素的集合H构成群G不变子群， H称为同态对应的核。 证明：（1）若 则 ，即对 ，因此是群G的子群。（2）若 则,AE BEABE EE,A BPABP P有具有封闭性,AP CGCCG而11CCACC E CE对一切 成立这就是说1CPCPCG对一切成立。所以P是G的正规/不变子群。2.2.6 商群（商群（quotient group） 定义：定义：对于集合S（不一定是群）分成集合 若 ， ，则恒有 ，这种分解称为正则分解（regular resolution） ,21kjiSSS

25、SSiSAjSBkSABiSjSkSAABBABBA定理：定理：群G按照正规子群g及其陪集的分解是一种正则分解。证： 定义：定义：将群G按照正规子群g进行正则分解（陪集）,所得到的元素集合（即g及其所有陪集）当作元素，则称这样元素的集合为G按g分解所得的商群。 ABgABggBgAg正规子群左右陪集相等hHigAgAggGGi,2证明：证明：商群也构成群证：设群G按g划分成商群的元素： 1封闭性： 2单位元： 3逆元：令 ，则 4组合律： 同理： 02211,FgEggAFgAFgAFffgAAggAAggAAFFjijijijiiiiiFgAgEgAFF0gAFii110111FggAAFF

26、FFiiiiiigAAAgAAgAggAAgAFFFkjikjikiikjikjikjikjiFFFgAAAFFF例：例： 4626366565626466563636462656366636656264646656364626265636646265636646266CCECCCCCECCCCCECCCCCCCCCCECCCCCECCCCCCCCEECCCCCEC111111112C C6群同态于C2，g为 是同态的核，且可以证明：g是一个正规子群。 如果以g来划分G，得两阶商群： 且 同构。4626CCE 563664626,CCCCCEG GG绕6次轴：不转和转2为E，转2/6为C6，转

27、2/3为C62，转为C63，转4/3为C64，转5/3为C65。GG映照fC2直积封闭性要求2.3 群的直（接乘）积群的直（接乘）积 EEEba定义：设ga（阶为h）和gb（阶为k）为群G的两个子群，它们之间元素之积可对易，即：aiga, bjgb，有 那么按群G的乘法得到的hk个元素aibj也构成一个群，称为ga和gb的直积群，记为： ， ga和gb称为直积因子。证：封闭性： 逆元： 单位元： 显然： 并是G的一个子群。 kjhiabbaijji, 2 , 1, 2 , 1,bagg bajijjiijijiggbabbaababa ,bajijiggbaba111bagg abbagggg *直积群的不同直积因子（如ai, bi等）的元素是相互对易的，但同一个直积因子中的元素可不对易（如ai, aj等）。 *直积因子ga和gb都是直积群 的正规子群 取其共轭元 令 则 gb是 的正规子群 同理，ga也是 的正规子群bagg blgb kkiiikiijljijiljibbaaabaabbbababba11111)()()(xbajibbgxxg1bagg bagg