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1、精品名师归纳总结高中数学函数学问点总结9. 求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：函数 yx 4lg xx2 的定义域是3（答：0, 22 , 33, 4 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数定义域求法：分式中的分母不为零。偶次方根下的数（或式）大于或等于零。 指数式的底数大于零且不等于一。对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正切函数ytanxxR, 且xk, k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结余切函数ycot
2、xxR,且xk, k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1,值域是,函数 y arccosx 的定义域是 1, 1,值域是 0,函数 yarctgx的定义域是 R ,值域是. ,函数 yarcctgx的定义域是 R , 值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域。10. 如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复合函数定义域的求法： 已知 yf x 的定义域为m, n,求 yf g x的定义域, 可由 m
3、g xn 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结出 x 的范畴,即为 yf gx的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y=2、配方法1 的值域x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= x2 -2x+5 ,x-1 ,2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也
4、可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. yb k+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. ybxx 2mxn型, 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： yx1121+x21x+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c. yx2mxn2型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xmxnx2mxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元
5、法,把分母替换掉x2x1 （ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x113.反函数存在的条件是什么？ 求反函数的步骤把握了吗？（反解 x。互换 x、y。注明定义域）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：求函数f x 1xxx 2x0的反函数0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答： f1xx1x1）xx0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结14.反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原
6、函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y,x）关于直线 y=x 对称互为反函数的图象关于直线 yx 对称。储存了原先函数的单调性、奇函数性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设yfx的定义域为A ,值域为C, aA , bC,就 fa = bf 1 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1 f af 1ba, f f1bf ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结15 .如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判
7、正负） 判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以变形为求(2) 参照图象：f x1 f x2 x1x2的正负号或者f x1f x2与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性。 （特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx在关于点 a , 0 的对称区间里具有相反的单调性。（特例：偶函数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
8、师归纳总结(3) 利用单调函数的性质：函数 fx与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的。当 c0 时,它们是反向变化的。假如函数 f1x ,f2x同向变化,就函数 f1x f2x 和它们同向变化。（函数相加）假如正值函数 f1x,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x和它们同向变化。假如负值函数f12 与f2x 同向变化,就函数 f1xf2x和它们反向变化。（函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数与fx1f x在 fx的同号区间里反向变化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 u x ,x ,
9、与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递增的。如函数 u x,x, 与函数 yFu ,u , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递减的。（同增异减）如函数 yfx是严格单调的,就其反函数 xf 1y 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fggxfgxfx+g xfx*g x都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：求ylog 12x 22x的单调区间可编辑资料 - - - 欢迎下载
10、精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2（设ux 22x,由 u0就0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 log 1 u2, ux11,如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uO12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当x 当x） 0, 1 时, u 1, 2 时, u,又 log 1 u2,又 log 1 u2,y,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结17. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx定义域关于原点对称）可编辑资料 - - -
11、 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结判定函数奇偶性的方法一、定义域法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二、奇偶函数定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在给定函数的定义域关于原点对称的前提
12、下,运算性.f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x三、复合函数奇偶性fggxfgxfx+gfx*gxx奇奇奇奇偶奇偶偶非 奇非奇偶偶奇偶非 奇偶非奇偶偶偶偶偶18. 你熟识周期函数的定义吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（如存在实数T（ T0 ）,在定义域内总有f xTf x ,就 f x为周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数, T 是一个周期。）如：如f xaf x,就（答： f x是周期函数, T
13、2a为f x的一个周期）我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,这时说这f x f xt 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个函数周期 2t.推导：f xt f x2 t 0f x f x2t ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同时可能也会遇到这种样子： fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x. 其实这都是说同样一个意思： 函数fx 关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如, fx=f2a-x, 或者说 fa-x=fa+x 就都表示函数关于直线 x=a 对称。如：可编辑资料
14、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如：如 f x图象有两条对称轴 xa, xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f axf ax,f bxf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xf 2axf 2bxf 2axf 2bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令t2ax, 就2bxt2b2a,f tf t2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f xf x2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,函数f x以
15、2 |ba | 为周期因不知道 a,b的大小关系 ,为保守起见 ,我加了一个肯定值19. 你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f x 的图象关于y轴 对称 联想点（ x,y ）,-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f x的图象关于x轴 对称联想点（ x,y ）,x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与 f x 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,-x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f1 x 的图象关于 直线yx
16、对称联想点（ x,y ）,y,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f 2ax的图象关于 直线xa 对称 联想点（ x,y ）,2a-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f 2ax 的图象关于 点 a, 0 对称联想点（ x,y ）,2a-x,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将yf x 图象左移aa右移aa0 个单位0 个单位yf xayf xa上移bb下移bb0 个单位0 个单位yf xab yf xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（这是书上的方法,虽然我从来不
17、用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧。对于这种题目,其实 根本不用这么麻烦。 你要判定函数 y-b=fx+a怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）留意如下“翻折”变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x|f x | 把x轴下方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf | x |把y轴右方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： f xlog 2 x1可编辑资料 - - - 欢
18、迎下载精品名师归纳总结作出ylog2 x1 及ylog 2 x1 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy=log 2xO1x19. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=bO a,bOxx=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 1）一次函数：ykxbk0k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）反比例函数：
19、的双曲线。ykk x0 推广为 ybkkxa0 是中心O a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）二次函数yax 2bxc a02a xb 2a4acb2 4a图象为抛物线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b4acb2b顶点坐标为,对称轴 x2a4a2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结开口方向： a0,向上,函数y min4acb 24a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a根的关系： x0,向下,b2ay max4acb2 4a可编
20、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxb , xxc ,| xx |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121212aa| a |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二次函数的几种表达形式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xax 2bxc一般式 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa xm 2n顶点式,（m, n）为顶点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa xx1 xx2 x1, x2是方程的2个根）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xa xx1 xx2h函数经过点（x1, h x2,
21、 h可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用：“三个二次” （二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ax 2bxc0,0时,两根x 1、 x2 为二次函数yax 2bxc的图象与 x轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的两个交点,也是二次不等式ax 2bxc0 0 解集的端点值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求闭区间 m, n上的最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间在对称轴左边（
22、 nb ） f 2amaxf m, fminf n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间在对称轴右边（ mb） f max2af n, fminf m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间在对称轴2边 （ nbm） 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4acb 2f min, f4amaxmaxf m,f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也可以比较 m, n和对称轴的关系, 距离越远,值越大 只争论 a0的情形）求区间定（动）,对称轴动（定）的最值问题。一元二次方程根的分布问题。0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：
23、二次方程ax2bxc0的两根都大于 kbk 2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f k0ya0Okx 1x 2x一根大于 k,一根小于 kf k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在区间（ m,n）内有 2根0mbn 2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f m0f n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在区间（ m,n）内有 1根f m fn0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 4）指数函数：yaxa0,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 -
24、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结（5）对数函数 ylog a x a0,a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由图象记性质！（留意底数的限定！）yy=ax a10a11O1x0a0 且 a1）-f （ x y） f （ x） f （y）。 f （5. 三角函数型的抽象函数x ） f （x） f （ y）y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f （x）t gx-f （ xy）f xf y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f （x）cot x-f （xy）1f x f y1f xf y可编辑资料 - - -
25、欢迎下载精品名师归纳总结f xf y例 1 已知函数 f （ x）对任意实数 x、y 均有 f （xy） f （ x） f （y）,且当 x0 时, f x0 , f 1 2 求 f x 在区间 2,1 上的值域 .分析：先证明函数 f （x）在 R上是增函数（留意到 f （x2） f （x2 x1） x1 f （x2x1） f（x1） 。再依据区间求其值域 .例 2 已知函数 f （ x）对任意实数 x、y 均有 f （xy）2f （x）f （y）,且当 x0 时,f x2 , f 3 5 ,求不等式 f （a2 2a2）0, xN。 f （ a b） f （a）f （b）,a、 bN。 f
26、 （2） 4. 同时成立？如存在,求出f （x）的解析式,如不存在,说明理由 .分析：先猜出 f （ x） 2 。再用数学归纳法证明 .例 6 设 f （x）是定义在（ 0,）上的单调增函数,满意f （ x y） f （x） f （y）, f （ 3）1,求：（1）f （1）。（2）如 f （x）f （x8） 2,求 x 的取值范畴 .分析：（ 1）利用 313。（2）利用函数的单调性和已知关系式 .例 7 设函数 y f （x）的反函数是 yg（ x）. 假如 f （ab）f （a）f （b）,那么 g（ a b） g（a） g（ b）是否正确,试说明理由 .分析：设 f （a） m, f （ b） n,就 g（ m） a, g（