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1、精品名师归纳总结高中数学函数学问点总结1. 函数的三要素是什么？如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）相同函数的判定方法：表达式相同。定义域一样 两点必需同时具备 2. 求函数的定义域有哪些常见类型？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：函数 yx 4lg xx2 的定义域是3（答：0, 22 , 33, 4 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数定义域求法：分式中的分母不为零。偶次方根下的数（或式）大于或等于零。 指数式的底数大于零且不等于一。对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。正切函数 ytan xxR, 且xk, k2余切函数 ycot
2、xxR,且xk , k反三角函数的定义域函数 yarcsinx的定义域是 1, 1,值域是,函数 y arccosx 的定义域是 1, 1,值域是 0,函数 yarctgx的定义域是 R ,值域是. ,函数 yarcctgx的定义域是 R , 值域是 0, .当以上几个方面有两个或两个以上同时显现时,先分别求出满意每一个条件的自变量的范畴,再取他们的交集,就得到函数的定义域。3. 如何求复合函数的定义域？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：函数f x的定义域是a, b , ba0,就函数F xf xf x的定可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结义域是。（答： a,a
3、 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复合函数定义域的求法： 已知 yf x 的定义域为m, n,求 yf g x的定义域, 可由 mg xn 解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结出 x 的范畴,即为 yf gx的定义域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如函数 yf x 的定义域为1 ,22,就 flog 2x 的定义域为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分析： 由函数 yf x 的定义域为
4、1 ,22可知： 1x22 。所以 yf log 2x 中有 12log 2 x2 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 依题意知：解之,得1logx2 222x4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f log 2 x 的定义域为 x |2x44、函数值域的求法1、直接观看法对于一些比较简洁的函数,其值域可通过观看得到。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y=2、配方法1 的值域x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例、求函数 y= x2 -
5、2x+5 ,x-1 ,2 的值域。3、判别式法对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用,但这类题型有时也可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面下面,我把这一类型的具体写出来,期望大家能够看懂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a. yb k+x 2型：直接用不等式性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结b. ybxx2mxn型, 先化简,再用均值不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： yx1121+x21x+x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结c. yx2mxn2型 通常用判别式可编辑资料 - - - 欢迎下载精
6、品名师归纳总结xmxnx2mxnd. y型xn法一：用判别式法二：用换元法,把分母替换掉x2x1（ x+1）2 （ x+1）+1 1例： y（ x+1）1211x1x1x14、反函数法直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y= 3 x5 x4 值域。6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5、函数有界性法直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x例 求函数 y= eex
7、1 , y2sin1 ,11siny2sin1 的值域。1cos可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ex11yyex0ex11y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y2sin1| sin| | 1y | 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1sin2y2sin12sin11cosyy1cos 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2siny cos1y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4y2sinx1y,即sinx1y4y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又由 sinx1知1y14 y2可编辑资料 - - - 欢迎
8、下载精品名师归纳总结解不等式,求出 y,就是要求的答案6、函数单调性法通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x5例求函数 y= 2log 3x1 （ 2 x 10）的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7、换元法通过简洁的换元把一个函数变为简洁函数,其题型特点是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用。例 求函数 y=x+x1 的值域。8 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目如运用数形结合法,往往会更加简洁,
9、一目了然,赏心悦目。22例：已知点 P（ x.y ）在圆 x +y =1 上,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1y的取值范畴x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2y-2x的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解:1 令 yx2k, 就ykx2, 是一条过 -2,0的直线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结dRd为圆心到直线的距离 ,R为半径可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2令y-2 xb,即y2xb0, 也是直线 d dR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例求函数 y=x22 +x28 的值域。可编
10、辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：原函数可化简得： y=x-2 + x+8上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2）,B（-8 ）间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB上时,y=x-2 + x+8=AB=10当点 P 在线段 AB的延长线或反向延长线上时, y=x-2 +x+8 AB=10故所求函数的值域为： 10 , +）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2例求函数 y=x6 x13 +2x4 x5 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2解：原函数可变形为： y=x 3220 2 +x
11、 220 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结上式可看成 x 轴上的点 P（x,0）到两定点 A（ 3, 2）,B（-2 ,-1 ）的距离之和,由图可知当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2点 P 为线段与 x 轴的交点时,ymin = AB=3 2故所求函数的值域为 43 ,+）。注：求两距离之和时,要将函数9 、不等式法22 1=43 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用基本不等式 a+b 2ab ,a+b+c3 3abc （ a, b,c R ）,求函数的最值,其题型特点解析可编辑资料 - -
12、- 欢迎下载精品名师归纳总结式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时必要用到拆项、添项和两边平方等技巧。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例：x 2=x22 x0x113 3 x 2113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用公式a+b+c33 abc 时,留意使3者的乘积变成常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x 23-2x0x1.5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=xx 3-2x xx+3-2x 313可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结应用公
13、式 abc10. 倒数法 abc 3 时,应留意使3者之和变成常数） 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发觉另一番境况可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 求函数 y=xx2 的值域3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx2x3x20时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1x21x2120y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yx2x22x20时, y=00y12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结多种方法综合运用总之,在具体求某个函数的值域时,第一要认真、认真
14、观看其题型特点,然后再挑选恰当的方法, 一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？切记：做题,特殊是做大题时,肯定要留意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协商,不要犯我当年的错误,与到手的满分失之交臂可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： fx1exx ,求 f x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令tx1,就t0xt 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f t f xet2 1ex 2 1t 21x 21 x0可编辑资料 - - - 欢迎下载
15、精品名师归纳总结6. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x。互换 x、y。注明定义域）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：求函数f x 1xxx 2x0的反函数0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（答： f1xx1x1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx0在更多时候,反函数的求法只是在挑选题中显现,这就为我们这些喜爱偷懒的人供应了大便利。请看这个例题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2004. 全国理 函数 yx11 x1) 的反函数是（ B）可
16、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结Ay=x2 2x+2 x1By=x22x+2 x1Cy=x2 2x x=1.排除选项 C,D. 现在看值域。原函数至于为 y=1, 就反函数定义域为 x=1,答案为 B.我题目已经做完了, 似乎没有动笔（除非你拿来写 * 书）。思路能不能明白了？7. 反函数的性质有哪些？ 反函数性质：1、反函数的定义域是原函数的值域（可扩展为反函数中的 x 对应原函数中的 y）2、反函数的值域是原函数的定义域（可扩展为反函数中的y 对应原函数中的 x）3、反函数的图像和原函数关于直线=x 对称（难怪点（ x,y ）和点（ y,x）关于直线 y=x 对称互为反函数的
17、图象关于直线 yx 对称。储存了原先函数的单调性、奇函数性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设yfx 的定义域为A,值域为 C,aA, bC,就fa = bf 1 ba可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1 f af 1ba, f f1 bf ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结由反函数的性质,可以快速的解出许多比较麻烦的题目,如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（04.上海春季高考）已知函数f x4log 3 x2) ,就方程f1 x4 的解 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精
18、品名师归纳总结8 .如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负） 判定函数单调性的方法有三种：(1) 定义法：依据定义,设任意得 x1,x 2,找出 fx 1,fx2 之间的大小关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以变形为求(2) 参照图象：f x1 x1f x2 x2的正负号或者f x1f x2与 1 的关系可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数 fx 的图象关于点 a ,b 对称,函数 fx在关于点 a ,0 的对称区间具有相同的单调性。 （特例：奇函数）如函数 fx 的图象关于直线 xa 对称,就函数 fx在关于点 a , 0 的对称区间里具有相反
19、的单调性。（特例：偶函数）(3) 利用单调函数的性质：函数 fx与 fxcc 是常数 是同向变化的函数 fx与 cfxc是常数 ,当 c0 时,它们是同向变化的。当 c0 时,它们是反向变化的。假如函数 f1x ,f2x同向变化,就函数 f1x f2x 和它们同向变化。（函数相加）假如正值函数 f1x,f2x 同向变化,就函数 f1xf2x和它们同向变化。假如负值函数f12 与f2x 同向变化,就函数 f1xf2x和它们反向变化。（函数相乘）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数与fx1f x 在 fx的同号区间里反向变化。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如函数
20、u x ,x , 与函数 yFu ,u , 或 u , 同向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递增的。如函数 u x,x, 与函数 yFu ,u1 , 或 u , 反向变化,就在 , 上复合函数 yF x是递减的。（同增异减）如函数 yfx是严格单调的,就其反函数 xfy 也是严格单调的,而且,它们的增减性相同。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fggxfgxfx+g xfx*g x都是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结正数增增增增增增减减/减增减/减减增减减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：求 ylog 12x22 x的单调区间可编辑资料 -
21、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结（设ux 22x,由u0就0x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结且 log 1 u2, ux1 21,如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uO12x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结当x 当x） 0, 1 时, u 1, 2 时, u,又 log 1 u2,又 log 1 u2,y,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结9. 如何利用导数判定函数的单调性？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在区间a,b内,如总有f x0就f x为增函数。（在个别点上导数等于可编辑资料 - - - 欢迎下载
22、精品名师归纳总结3零,不影响函数的单调性）,反之也对,如f x0了？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：已知 aA. 00,函数f xxax在1,上是单调增函数,就a的最大值是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（令f x3x 2a3 xaxa033可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结就xa或xa 33由已知f x 在1,a 的最大值为 3）上为增函数,就a1,即a3 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10. 函数 fx 具有奇偶性的必要（
23、非充分）条件是什么？（fx定义域关于原点对称）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为奇函数函数图象关于原点对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如f xf x 总成立f x为偶函数函数图象关于y轴对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结留意如下结论：（1） 在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数。两个偶函数的乘积是偶函数。一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。（2） ）如fx 是奇函数且定义域中有原点,就f00。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如：如f xa 2 xx
24、a2 为奇函数,就实数 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（f x 为奇函数,x R,又 0R,f 00可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结a 20a2即00, a1）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如：f x 为定义在 1, 1 上的奇函数,当 x0, 1时, f x2x,x41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求f x 在 1,1 上的解析式。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
25、师归纳总结（令x1, 0 ,就x0, 1, f x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xx41可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又f x为奇函数,f x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xxxx41142xx1, 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又f 00, f x4 x12 x4 x1x0）x0,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11. 判定函数奇偶性的方法一、定义域法一个函数是奇（偶）函数,其定义域必关于原点对称,它是函数为奇（偶）函数的必要条件. 如函数的定义域不关于原点对称,就函数为非奇非偶函数.二、奇偶函
26、数定义法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结在给定函数的定义域关于原点对称的前提下,运算性.f x,然后依据函数的奇偶性的定义判定其奇偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结这种方法可以做如下变形fx+f-x =0奇函数fx-f-x=0偶函数fx1偶函数f-xfx1奇函数f-x三、复合函数奇偶性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结fggxfgxfx+g xfx*g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇奇奇奇偶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结奇偶偶非 奇 非奇偶偶奇偶非 奇 非奇12. 你熟识周期函数的定义吗？可编辑资料 - -
27、- 欢迎下载精品名师归纳总结偶（如存在实数T（ T0）,在定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结偶偶偶偶偶函数, T 是一个周期。）如：如f xaf x,就（答： f x是周期函数, T2a为f x的一个周期）我们在做题的时候,常常会遇到这样的情形：告知你fx+fx+t=0,我们要立刻反应过来,这时说这个函数周期2t.推导：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x f xf xf tft,x f 2xt0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结同 时 可 能 也 会 遇 到 这 种 样 子 ： fx=f2a-x,或 者 说fa-x=fa+x.其实这都是说同样
28、一个意思： 函数 fx关于直线对称, 对称轴可以由括号内的 2 个数字相加再除以 2 得到。比如,fx=f2a-x,或者说 fa-x=fa+x就都表示函数关于直线 x=a 对称。如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结又如：如 f x图象有两条对称轴x a,xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f axf ax,fbxf bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xf xf 2axf 2bxf 2axf 2 bx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结令t2ax, 就2bxt2b2a,f tf t
29、2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结即f xf x2b2a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结所以,函数f x以2 | ba | 为周期因不知道 a,b的大小关系 ,为保守起见 ,我加了一个肯定值13. 你把握常用的图象变换了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f x 的图象关于y轴 对称 联想点（ x,y ）,-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f x 的图象关于x轴 对称联想点（ x,y ）,x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与 f
30、 x 的图象关于 原点 对称联想点（ x,y ）,-x,-y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f1 x 的图象关于 直线yx 对称联想点（ x,y ）,y,x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f 2ax的图象关于 直线xa 对称 联想点（ x,y ）,2a-x,y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x与f 2ax 的图象关于 点a, 0 对称联想点（ x,y ）,2a-x,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结将yf x图象左移aa右移aa0 个单位0 个单位yf xayf
31、xa上移bb下移bb0 个单位0 个单位yf xab yf xab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（这是书上的方法,虽然我从来不用,但可能大家接触最多,我仍是写出来吧。对于这种题目,其实 根本不用这么麻烦。 你要判定函数 y-b=fx+a怎么由 y=fx 得到,可以直接令 y-b=0,x+a=0, 画出点的坐标。 看点和原点的关系,就可以很直观的看出函数平移的轨迹了。）留意如下“翻折”变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f x|f x |把x轴下方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f
32、xf | x |把y轴右方的图像翻到上面可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结如： f xlog 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作出ylog2 x1 及ylog 2 x1 的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy=log 2xO1x14. 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y=bO a,bOxx=a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1）一次函数：y kxb k0k 为斜率, b 为直线与 y 轴的交点 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 2 ）反比例函数： ykkx的双曲线。0 推广为ybkk xa0 是中心O a, b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（ 3）二次函数yax 2bxc a0a xb 2a224acb