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1、精品名师归纳总结14. 导 数学问要点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数的概念导数导数的运算导数的几何意义、 物理意义常见函数的导数导数的运算法就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结导数的应用函数的极值函数的最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 导数（导函数的简称） 的定义： 设x0 是函数 yf x 定义域的一点, 假如自变量 x 在 x0 处可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结有 增 量x , 就 函 数 值 y也 引 起
2、 相 应 的 增 量yf x 0xf x0 。 比 值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x0 xxf x0 x称为函数yf x 在点x0 到 x0x 之间的平均变化率。假如极限可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结limyx0xlimx0f x0xf x0 存在, 就称函数 y xf x 在点x0 处可导, 并把这个极限叫做可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yf x 在 x 处的导数, 记作f x 或 y |,即 f x = limylimf x0xf x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
3、纳总结00x x00x0xx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：x 是增量,我们也称为 “转变量 ”,由于 x 可正,可负,但不为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结以知函数 yf x 定义域为 A , yf x 的定义域为 B ,就 A 与 B 关系为 AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 函数 yf x 在点x0 处连续与点x 0 处可导的关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 在点x0 处连续是 yf x 在点x0 处可导的必要不充分条件.可编辑资料
4、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结可以证明,假如 yf x 在点x 0 处可导,那么 yf x 点x0 处连续 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结事实上,令 xx 0x ,就 xx 0 相当于x0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是 limf xlimf x0xlim f xx 0 f x 0 f x0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结xlim x0f x0x0xf x0 x0x f x limf x0xf x0 limlimf x f x 0f x f x .可编辑资料 - - - 欢迎下载
5、精品名师归纳总结x0x0x0xx0x00000可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如 yf x 点x0 处连续,那么 yf x 在点x0 处可导,是不成立的 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例： f x| x |在点 x00 处连续,但在点 x00 处不行导,由于y|x | ,当 x 0 时,xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结y 1 。当 x 0 时, y xx1 ,故limx0y不存在 .x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：可导的奇函数函数其导函数为偶函数.可导的偶函数函数其导
6、函数为奇函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 导数的几何意义：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数 yf x 在点x0 处的导数的几何意义就是曲线yf x 在点 x0 , f x 处的切线的斜率,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也 就 是 说 , 曲 线 yf x在 点 Px0 ,f x处 的 切 线 的 斜 率 是f x0 , 切 线 方 程 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结yy0f x xx0 .可编辑资料 - - - 欢迎
7、下载精品名师归纳总结12n4. 求导数的四就运算法就：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 uvu vyf 1 xf 2 x.f n xyf xf x.f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 uv vu v u cv c vcv cv （ c 为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结uvuvv u v0 v 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注： u, v 必需是可导函数 .如两个函数可导, 就它们和、 差、积、商必可导。 如两个函数均不行
8、导, 就它们的和、 差、积、商不肯定不行导 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：设f x2sin x2 , gx xcos x2 ,就xf x, g x 在 x0 处均不行导,但它们和可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f xg xsin xcosx 在 x0 处均可导 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 复合函数的求导法就：f xf u x 或y xy uu x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x复合函数的求导法就可推广到多个中间变量的情形.6. 函数单调性：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结函数单调性的判定方法
9、： 设函数 yf x 在某个区间内可导, 假如f x 0,就 yf x 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结增函数。假如f x 0,就 yf x 为减函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常数的判定方法。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如函数 yf x 在区间 I 内恒有f x=0,就 yf x 为常数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：f x0 是 f（ x）递增的充分条件,但不是必要条件,如y2x 3 在 , 上并不是可编辑资
10、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都有 f x0 ,有一个点例外即x=0 时 f（ x） = 0,同样f x0 是 f（ x）递减的充分非必可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要条件 .一般的, 假如 f（x）在某区间内有限个点处为零,在其余各点均为正（或负）,那么f（ x） 在该区间上仍然是单调增加（或单调削减）的.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结7. 极值的判别方法： （极值是在的极大值,微小值同理）x0 邻近全部的点, 都有f x f x0 ,就f x 0 是函数f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
11、师归纳总结当函数f x 在点x0 处连续时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如在x 0 邻近的左侧f x 0,右侧f x0,那么f x0 是极大值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结假如在x 0 邻近的左侧f x 0,右侧f x0,那么f x0 是微小值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结也就是说x 0 是极值点的充分条件是x0 点两侧导数异号,而不是f x=0 . 此外,函数不可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可导的点也可能是函数的极值
12、点. 当然,极值是一个局部概念,极值点的大小关系是不确定的,即有可能极大值比微小值小（函数在某一点邻近的点不同）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结注：如点x 0 是可导函数f x 的极值点,就f x =0. 但反过来不肯定成立. 对于可导函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数,其一点x0 是极值点的必要条件是如函数在该点可导,就导数值为零.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：函数 yf xx 3 , x0 使 f x =0 ,但 x0 不是极值点 .可
13、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例如：函数yf x| x | ,在点 x0 处不行导,但点x0 是函数的微小值点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结8. 极值与最值的区分：极值是在局部对函数值进行比较,最值是在整体区间上对函数值进行比较 .注：函数的极值点肯定有意义.9. 几种常见的函数导数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结I. C 0 （ C 为常数）sinx cos xarcsin x 11x 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x n nx n 1 （ nR ）cos x sin
14、xarccos x 11x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结II.lnx 1xlog ax1 log a e xarctan x1x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 e x e xa x a x ln aarc cot x 1x 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结III.求导的常见方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结常用结论：ln | x |1 . x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结形如 yxa1 xa2 . xan 或 y xa1 x xb1 xa2 .xb2 . xan bn 两边同取自然对数,可转化
15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求代数和形式 .无理函数或形如yx x 这类函数,如yx x 取自然对数之后可变形为ln yx ln x ,对两边可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求导可得 yyln xx 1 xy y ln xyy x x ln xxx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结经典例题剖析导数学问点总结复习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点一：求导公式。13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.f x 是f xx 32x1 的导函数,就f 1 的值是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考
16、点二：导数的几何意义。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.已 知 函 数yf x的 图 象 在 点M 1, f 1处 的 切 线 方 程 是y1 x22 , 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结f 1f1。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3.曲线yx32x24x2 在点 1,3 处的切线方程是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。考点三：导数的几何意义的应用。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 4. 已知曲线C ： yx 33x 22x ,直线l : ykx ,且直线l
17、 与曲线 C相切于点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x0, y0x00 ,求直线 l 的方程及切点坐标。点评： 本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应留意“切点既在曲线上又在切线上 ”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件,而不是必要条件。考点四：函数的单调性。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 5.已知 f xax33x2x1 在 R 上是减函数,求 a 的取值范可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 此题考查导数在函数单调性中的应用。对于高次函数单调性问题,要有求导意识。考点五：函数的极值。可编辑资料 -
18、- - 欢迎下载精品名师归纳总结例 6. 设函数f x2 x33ax 23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（1） 求 a、b 的值。（2） 如对于任意的 x0,3 ,都有f xc2 成立,求 c 的取值范畴。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：此题考查利用导数求函数的极值。求可导函数f x 的极值步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求导数f x 。可编辑资料
19、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 求 f x0 的根。 将f x0 的根在数轴上标出,得出单调区间,由f x 在各可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结区间上取值的正负可确定并求出函数f x 的极值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点六：函数的最值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 7. 已知 a 为实数, fxx24 xa 。求导数f x。（ 2）如 f 10 ,求 f x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢
20、迎下载精品名师归纳总结在区间2,2上的最大值和最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评： 此题考查可导函数最值的求法。求可导函数fx 在区间a, b上的最值, 要先求出函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结数 fx在区间a,b上的极值, 然后与f a 和 fb 进行比较, 从而得出函数的最大最小值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结考点七：导数的综合性问题。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 8. 设函数f xax3bxc a0 为奇函数,其图象在点1, f1 处的切线与直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x6 y70 垂直,导函数f x 的最小值为12 。（ 1）求 a , b , c 的值。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（2）求函数f x的单调递增区间,并求函数f x 在1,3 上的最大值和最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结点评：此题考查函数的奇偶性、单调性、二次函数的最值、导数的应用等基础学问,以及推理才能和运算才能。可编辑资料 - - - 欢迎下载