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1、精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -一、填空题（共 15 分，每空 3 分）1 行列式的 余子式和代数余子式。123例 1、行列式D756中元素6 的余子式的值为 -12 。代数余子式的值为840 12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2、设三阶行列式D1230450，就元素 2 的代数余子式A12 的值为 -20 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 行列式运算。 一个详细的行列式，不超过四阶，不含字母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 行列式0002001003002000的值为
2、 12 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 22100032100430005 120 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结111例 3123 2 .1493. 求矩阵的秩。（一个详细的矩阵）要点：矩阵的秩等于行阶梯形矩阵中非零行的行数。111例 1.设矩阵A222，就 A 的秩为 1.333051例 2.设矩阵A022，就 A 的秩为 2 .0034. 线性相关与线性无关，求参数。要点： 1）三个三维向量线性相关当且仅当它们构成的矩阵的行列式等于0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选
3、 - - - - - - - - - -第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -2 ）两个向量线性相关当且仅当它们的重量对应成比例例 1.如向量组 1,1, 2, 3, 2, 0, 1, 4, 线性相关，就 -4 .例 2.如向量组 1,1, 2, 3, 2, 0, 1, 4, 线性无关，就 -4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3如向量组1,4,6与 2,-8, 线性相关，就 12 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳
4、总结5. 向量正交，求参数。（两个或者三个向量正交）要点：向量 a, b 正交当且仅当（ a, b）0例 1 设向量 2,5,4 与向量 1,t1,t 正交，就 t 3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 设三个向量1, t,0， 0,1, t ， 0,0, t1) 两两正交，就t 0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、挑选题（共15 分，每道题 3 分）1. 矩阵与行列式的性质。 （比如各种运算律）TTTTT例1.设 A 、 B 为两个 n 阶方阵，就（B）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结TTT(A) ABBA。 BABBA 。 C
5、ABB A。 DAT BT AB T .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 设 A 为二阶方阵，且A2 ，就3 A 1（A） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(A) 1。B9。C3 。D1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结18226例 3. 设 A 、 B 为两个 n 阶方阵，就（B） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AABBA。 B ABBA 。 C 如 AB ,就AB 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可
6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D.如ACBC, CO, 就AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 线性相关与线性无关。例 1.关于向量组的线性相关性，以下说法正确选项（B） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(A) 假如1 , 2 , m 线性相关，就向量组中每一个向量都可以用其余m1 个向量线性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结表示。(B) 假如 n 个 n 维向量线性相关，那么它们所构成的方阵行列式等于零。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(C) 如 果1 , 2 , m线 性 相 关 ， 就 存 在 一 组 全
7、 不 为 零 的 数k1 , k2 , km， 使 得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结k11k2 2km m0 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(D) 假如 n 维向量1 ,2 , m 线性无关，就必存在n 维向量 ，使得1, 2 , m , 线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资
8、料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -性无关 .例2.以下向量组中，线性无关的是（C） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1042033021350014011a1A,。B121,。C111011,。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D1,0,1,2,2,0,2,4,1,1,1,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 方程组有解的充分必要条件。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例1n 元线性方程组Axb 有解
9、的充分必要条件是r Ar Ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2n 元线性方程组Axb 有唯独解的充分必要条件是r Ar Ab n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例3n 元线性方程组Ax b 有无穷多组解的充分必要条件是r Ar A | bn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例4n 元齐次线性方程组Ax0 仅有零解的充分必要条件是r An .例5n 元齐次线性方程组Ax0 有无穷多解的充分必要条件是r An .4. 特点值的性质。要点： 1.上
10、（下）三角矩阵，对角矩阵的特点值是主对角线上的元素2.A12n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.tr A12na11a22ann可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 如 A 的特点值是，就 A 的特点值是 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 .设 3 是方阵 A 的特点值，就矩阵2 A 具有特点值为（D）. A10 。B3 。C5 。D6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2.设 3 是方阵 A 的特点值，就矩阵A 22 A3E 具有特点值为（D） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A10 。B3 。C
11、5 。D6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3 矩阵 A135022003的特点值为 1,2,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3. 设 A 为 n 阶方阵，就 C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -AA 的全部特点向量构成向量空间。BA 有 n 个线性无关的特点向量。CA 的全部特点值的和为tr
12、 A 。DA 的全部特点值的积为tr A .111例 4 矩阵A131的特点值可能是（A） .1b1A 1 ， 4，0。B 1 ， 3， 0。C 2 ，4， 0。D 2 ， 4，1 .5. 相像矩阵性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结要点： 1.假如 A B ,B C , 就A C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 假如 A B , 就 AB ，A 和 B 可逆性相同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 假如 A B , 就 A 和 B 具有相同的特点多项式和特点值，具有相同的迹可编辑资料 - -
13、 - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 假如 A B , 就A -1 B -1 ， AT B T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. E E,kE kE可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 设 A 、 B 、 C 为 n 阶方阵，A B ， B C ，就 A 、 C 的关系不正确选项 D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AA C 。BAC 。CAC 。DAC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
14、结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例2.与矩阵12A不相像的矩阵是（C） .03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10A23。B35。C011121。D.3312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、（10 分）矩阵乘法，转置，行列式运算。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1.已知， B123130052，求： 1TAB。 23 A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结101110212解： 1AB T21423512113。3253028920可编辑资料 - - - 欢
15、迎下载精品名师归纳总结23 A 3A101327 214270.325可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结四、（ 10 分）求解矩阵方程。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结541T121例1. 解矩阵方程AXB ，其中A342，B012.123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
16、归纳总结121011210110010解：A | B34212021110211154123014622001551001010010100204401022，故A 可逆，且XA1B22.001550015555五、（ 10 分）求非齐次线性方程组的通解（要求用对应的齐次线性方程组的基础解系表示通解）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结x1x2x3x41x1x2x3x41x1x2x32x40x1x2x33x43例 1. 求非齐次线性方程组础解系表示通解）.解：对增广矩阵施行初等行变换 ：的通解（用对应的齐次线性方程组的基可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料
17、- - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A | b11111111200001330000111111（ 3 分）11111110111010可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10001011010001000010（ 5 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应齐次线性方程组的一个基础解系为T0,1,1,0（ 7分），所求方程组的一个特解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T1,1,0,1（ 9 分），于是所
18、求方程组的通解为xk ， kR . （ 10 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2. 求线性方程组x1 2x1x2 2x22x3 4x34x4 5x45的通解 . （用对应的齐次线性方程组的基础4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解系表示通解）.解：对方程组的增广矩阵进行初等行变换 ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word
19、 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 A |b112451124511203224540003600012可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对应齐次线性方程组的一个基础解系为T121,1,0,0, 2,0,1,0T，所求方程组的一个特可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结T解为3,0,0,2，于是所求所求方程组的通解为xk11k22， k1, k2R .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结六
20、、（ 10 分）求向量组的秩，极大无关组，并把不属于这个向量组的其余向量用极大无关组线性表示。要点： 1. 所给的向量是列向量，直接使用初等行变换2.所给的向量是行向量，需要先转置，再进行初等行变换例1.求 向 量 组11,2,3,1 ，23,1,5,3，32,1,2,2 ，41,3,1,1 的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结示.解：对 ATTTT1234进行 初等行变换 ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结13211321132110122113055501110111（ 535210444000000001
21、321000000000000分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是向量组的秩为2，（ 6 分）它的一个极大无关组为1,2 ，（ 8 分）且有 312 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结421210 分 TTTT例 2. 求向量组11,2,1，21,2,1，32,1,8，43,1,7 的秩和一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：对 A1234进行 初等行变换 ，得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1123112311231101221100550011 3 分00111187001
22、01000000000（5 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结于是向量组的秩为2 ，（ 6 分）它的一个极大无关组为1,3 ，（ 8 分）且有21，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -413 10 分.七、（ 10 分）用施密特正交化方法把向量组正交化. （不需要 单位化，只包含
23、两个或者三个向量）例 1 用施密特正交化方法把线性无关的向量组111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结10,21，31正交化 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：取1 =1 （2 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结22=2 ,11 （ 4分）01（ 6 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ,10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结=3 ,13,2 （ 8分）00（10 分）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师
24、归纳总结3312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1 ,12,2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 用施密特正交化方法把线性无关的向量组TTT11,0,0,0，21,1,0,031,1,1,0正交化 .T解：令111,0,0,0（ 2 分）1102 ,1 1101（6 分）1 ,11 010000011003 ,13,2 1101101 ,112,22 11010100002233（ 10 分）八（12 分）已知一个二阶实对称矩阵A，求矩阵 A 的特点值与特点向量，并求一个正交矩阵 P，把矩阵 A 对角化。13例1.设矩阵 A31(1) 求矩阵 A 的特点
25、值与特点向量6 分 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求正交矩阵P ，使得P 1 AP 为对角矩阵 6 分.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解：EA132312824 ，特点值为12,24 .可编辑资料 - - - 欢迎下
26、载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于12 ，解方程组2EA x0 ，即33x133x20，得特点向量p1，011可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结单位化，得e11。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对于24 ，解方程组4 EA x0 ，即33x133x20 ，得特点向量p021 ，单位1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结化，得 e11.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
27、名师归纳总结221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结11令 P22120，就 P 为正交矩阵，且.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结112212例 2. （共 12 分） 设矩阵 A，21PAP04可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(1) 求矩阵 A 的特点值与特点向量6 分 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结(2) 求正交矩阵P ，使得P 1 AP 为对角矩阵 6 分 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解： 1EA1213 ，特点值11，23 （ 2 分）22112200
28、21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对11，求解方程组EA x0 ：EA，得到基础可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解系为 p11（ 3 分），故矩阵 A 的属于特点值11的全部特点向量为1k1 p1 k10 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（4 分）。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结对23 ，求解方程组3 EA x22110 ： 3EA，得到基础2200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
29、名师归纳总结解系为 p21（ 5 分），故矩阵 A 的属于特点值23 的全部特点向量为1k2 p2 k20（ 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结分） .2将向量p , p 单位化， 得 e11，e11111（ 8 分），令 P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结12112122211可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结（10 分），就 P 为正交矩阵，且P 1 AP1（ 12 分） .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结九、（ 8 分）解的结构。（可能是运算）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载