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1、线性代数学问点框架及习题解读注：本篇可看作高等数学难点总结及习题解读的姊妹篇 呵呵再次强调下，本人所做的习题解读分别针对：同济五版线代 也就是 忆心得，传爱心。为更多的学弟学妹供应便利 的姊妹篇，高数我还没有传完 ，这有点忙 会尽快首先是学问框架：线性代数学问点框架一线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在探讨线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以一样，也可以不同。关于线性方程组的解，有三个问题值得探讨：1, 方程组是否有解，即解的存在性问题；2, 方程组如何求解，有多少个解；3, 方程组
2、有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的构造问题。高斯消元法，最根底和最干脆的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：1, 把某个方程的k倍加到另外一个方程上去；2, 交换某两个方程的位置；3, 用某个常数k乘以某个方程。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换。随意的线性方程组都可以通过初等变换化为阶梯形方程组。由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解。对方程组的解起确定性作用的是未知数的系数及其相对位置，所以可以把方程组的全部系数及常数项按原来的位置提取出来，形成一张表，通过探讨这张表，就可以推断解的状况。我们把这样
3、一张由假设干个数按某种方式构成的表称为矩阵。可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组，这至少在书写和表达上都更加简洁。系数矩阵和增广矩阵。高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组，对应的是阶梯形矩阵。换言之，随意的线性方程组，都可以通过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵，求得解。阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。对不同的线性方程组的具体求解结果进展归纳总结有唯一解, 无解, 有无穷多解，再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，假设得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项
4、，那么方程组无解，假设未出现0=d一项，那么方程组有解；在方程组有解的状况下，假设阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，假设rn，那么方程组有无穷多解。在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，运用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加便利，但代价是之前须要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。齐次方程组的方程组个数假设小于未知量个数，那么方程组确定有非零解。利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够答复前述的根本问题1解的存在性问题和2如何求解的问题
5、，这是以线性方程组为动身点建立起来的最根本理论。对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发觉可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规那么表示的系数组合称为一个线性方程组或矩阵的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数确定，是一个数。通过对行列式进展探讨，得到了行列式具有的一些性质如交换某两行其值反号, 有两行对应成比例其值为零, 可按行绽开等等，这些性质都有助于我们更便利的计算行列式。用系数行列式可以推断n个方程的n元线性方程组的解的状况，这就是克莱姆法那么。总而言之，可把行列式看作是为了探讨方程数目及未知量数目相等的特殊情形时引出的一局部内容。线性代数学问点框架二在利
6、用高斯消元法求解线性方程组的过程中，涉及到一种重要的运算，即把某一行的倍数加到另一行上，也就是说，为了探讨从线性方程组的系数和常数项推断它有没有解，有多少解的问题，须要定义这样的运算，这提示我们可以把问题转为干脆探讨这种对n元有序数组的数量乘法和加法运算。数域上的n元有序数组称为n维向量。设向量a=(a1,a2,.,an)，称ai是a的第i个重量。n元有序数组写成一行，称为行向量，同时它也可以写为一列，称为列向量。要留意的是，行向量和列向量没有本质区分，只是元素的写法不同。矩阵及向量通过行向量组和列向量组相联系。对给定的向量组，可以定义它的一个线性组合。线性表出定义的是一个向量和另外一组向量之
7、间的相互关系。利用矩阵的列向量组，我们可以把一个线性方程组有没有解的问题转化为一个向量能否由另外一组向量线性表出的问题。同时要留意这个结论的双向作用。从简洁例子如几何空间中的三个向量可以看到，假如一个向量a1能由另外两个向量a2, a3线性表出，那么这三个向量共面，反之那么不共面。为了探讨向量个数更多时的类似状况，我们把上述两种对向量组的描述进展推广，便可得到线性相关和线性无关的定义。通过一些简洁例子体会线性相关和线性无关零向量确定线性无关, 单个非零向量线性无关, 单位向量组线性无关等等。从多个角度线性组合角度, 线性表出角度, 齐次线性方程组角度体会线性相关和线性无关的本质。局部组线性相关
8、，整个向量组线性相关。向量组线性无关，延长组线性无关。回到线性方程组的解的问题，即一个向量b在什么状况下能由另一个向量组a1,a2,.,an线性表出？假如这个向量组本身是线性无关的，可通过分析立刻得到答案：b, a1, a2, ., an线性相关。假如这个向量组本身是线性相关的，那么需进一步探讨。随意一个向量组，都可以通过依次削减这个向量组中向量的个数找到它的一个局部组，这个局部组的特点是：本身线性无关，从向量组的其余向量中任取一个进去，得到的新的向量组都线性相关，我们把这种局部组称作一个向量组的极大线性无关组。假如一个向量组A中的每个向量都能被另一个向量组B线性表出，那么称A能被B线性表出。
9、假如A和B能相互线性表出，称A和B等价。一个向量组可能又不止一个极大线性无关组，但可以确定的是，向量组和它的极大线性无关组等价，同时由等价的传递性可知，随意两个极大线性无关组等价。留意到一个重要事实：一个线性无关的向量组不能被个数比它更少的向量组线性表出。这是不难理解的，例如不共面的三个向量对应线性无关的确不行能由平面内的两个向量组成的向量组线性表出。一个向量组的随意两个极大线性无关组所含的向量个数相等，我们将这个数目r称为向量组的秩。向量线性无关的充分必要条件是它的秩等于它所含向量的数目。等价的向量组有一样的秩。有了秩的概念以后，我们可以把线性相关的向量组用它的极大线性无关组来替换掉，从而得
10、到线性方程组的有解的充分必要条件：假设系数矩阵的列向量组的秩和增广矩阵的列向量组的秩相等，那么有解，假设不等，那么无解。向量组的秩是一个自然数，由这个自然数就可以推断向量组是线性相关还是线性无关，由此可见，秩是一个特殊深刻而重要的概念，故有必要进一步探讨向量组的秩的计算方法。 线性代数学问点框架三为了求向量组的秩，我们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩，行向量组的秩称为行秩。对阶梯形矩阵进展考察，发觉阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。矩阵的初等行变换不会变更矩阵的行秩，也不会变更矩阵的列秩。任取一个矩阵A，通过
11、初等行变换将其化成阶梯形J，那么有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩，即对随意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等，我们统称为矩阵的秩。通过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，那么初等列变换也不会变更矩阵的秩。总而言之，初等变换不会变更矩阵的秩。因此假如只须要求矩阵A的秩，而不须要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换，这会给计算带来便利。矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数。满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零。既然矩阵的秩和矩阵的列秩一样，那么可以把线性方程组有
12、解的充分必要条件更加简洁的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。另外，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出答复：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解，rn，有无穷多解。齐次线性方程组的解的构造问题，可以用根底解系来表示。当齐次线性方程组有非零解时，根底解系所含向量个数等于n-r，用根底解系表示的方程组的解的集合称为通解。通过对具体实例进展分析，可以看到求根底解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。非齐次线性方程组的解的构造，是由对应的齐次通解加上一个特解。线性代数学问点框架四在之前探讨线性方程组的解的过程当中，留意到矩阵及其秩有着重要的地位和应用，故还有必要对矩阵及其运算进展特地
13、探讨。矩阵的加法和数乘，及向量的运算类同。矩阵的另外一个重要应用：线性变换最典型例子是旋转变换。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加。如矩阵A对应的是旋转一个角度a，矩阵B对应的是旋转一个角度b，那么矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b。矩阵乘法的特点：假设C=AB，那么C的第i行, 第j列的元素是A的第i行及B的第j列的元素对应乘积之和；A的列数要和B的行数一样；C的行数是A的行数，列数是B的列数。须要主义的是矩阵乘法不满足交换律，满足结合律。利用矩阵乘积的写法，线性方程组可更简洁的表示为：Ax=b。对于C=AB，还可作如下分析：将左边的矩阵A写
14、成列向量组的形式，即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示，从而推知C的列秩小于等于A的列秩；将右边的矩阵B写成行向量组的形式，即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示，从而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩，最终可得到结论，C的秩小于等于A的秩，也小于等于B的秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。关于矩阵乘积的另外一个重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积。一些特殊的矩阵：单位阵, 对角阵, 初等矩阵。尤其要留意，初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。每一个初等矩阵对应一个初等变换，因为左乘的形式为PAP为初等矩阵，将A写成行向量组的形
15、式，PA意味着对A做了一次初等行变换；同理，AP意味着对A做了一次初等列变换，故左乘对应行变换，右乘对应列变换。假设AB=E，那么称A为可逆矩阵，B是A的逆阵，同样，这时的B也是可逆矩阵，留意可逆矩阵确定是方阵。第一种求逆阵的方法：伴随阵。这种方法的理论依据是行列式的按行列绽开。矩阵可逆，行列式不为零，行列向量组线性无关，满秩，要留意这些结论之间的充分必要性。单位阵和初等矩阵都是可逆的。假设矩阵可逆，那么确定可以通过初等变换化为单位阵，这是不难理解的，因为初等矩阵满秩，故最终化成的阶梯型最简形中非零行数目等于行数，主元数目等于列数，这即是单位阵。进一步，既然可逆矩阵可以通过初等变换化为单位阵，
16、而初等变换对应的是初等矩阵，即意味着：可逆矩阵可以通过左右乘一系列初等矩阵化为单位阵，换言之可逆矩阵可看作是一系列初等矩阵的乘积，因为单位阵在乘积中可略去。可逆矩阵作为因子不会变更被乘无论左乘右乘的矩阵的秩。由于可逆矩阵可以看作是一系列初等矩阵的乘积，可以想象，同样的这一系列初等矩阵作用在单位阵上，结果是将这个单位阵变为原来矩阵的逆阵，由此引出求逆阵的第二种方法：初等变换。须要留意的是这个过程中不能混用行列变换，且同样是左乘对应行变换，右乘对应列变换。矩阵分块，即可把矩阵中的某些行和列的元素看作一个整体，对这些被看作是整体的对象构成的新的矩阵，运算法那么照旧适用。将矩阵看成一些列行向量组或列向
17、量组的形式，实际也就是一种最常见的对矩阵进展分块的方式。接下来是习题解读同济五版线性代数习题解读一1, 利用对角线法那么计算行列式，可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上下三角的过程，基此题。2, 3题涉及排列以及行列式的绽开准那么，不是太重要，了解即可。4, 5, 6题是一些计算行列式的练习，不同特点的行列式通常有不同的方法，常见的就是化为上下三角，按行列绽开，某一行列是和的形式可进展拆分，基此题，要通过这些练习来娴熟行列式的运算这一块。5题虽然是以方程形式给出，但考察点还是计算。7, 行列式性质的应用，比拟重要的题型，重在对思维的训练，而且该题的结论很常用，最好驾驭。8, 一些难度较高的行
18、列式的计算题，涉及到不少技巧，而这些技巧通常初学者是想不到的，这时候可以看看答案，体会一下答案的做法，对这块内容的要求和不定积分是类似的。9, 设计奇异的题目，隐含考点是行列式按行绽开的性质：假设是一样行列的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；假设是不同行列的元素和代数余子式对应相乘求和，结果为0。留意此题要求的结果是第三行的代数余子式的某种组合，而依据代数余子式的定义可知，这及题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以依据须要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，这样问题就简化为求一个新的行列式，而无需烦琐的进展四次求代数余子式的运算。此题技巧性较强，但这个构思方法
19、值得驾驭。10, 克兰姆法那么的应用，归根结底还是计算行列式。11, 12题是通过行列式来推断齐次方程组的解的状况，基此题，在已经复习完一遍线代后也可以用其它方法化阶梯行, 求秩来做。总的来说，第一章的习题大都特殊根本，集中于计算层面的考察，没有理解上的难度。同济五版线性代数习题解读二1 , 矩阵乘法的根本练习，简洁题，但计算很简洁出错，不行轻视，5小题事实上就是第五章要接触的二次型。2, 干脆考察矩阵相关运算，基此题。3, 矩阵的乘法事实上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换，还给出了从z到y的变换，要求z到x的变换。既然一个矩阵可以表示一个线性变换，两个矩阵的乘积即可理解为两个变换
20、的叠加，这也是供应了一个侧面去理解矩阵相乘的意义。4, 5题事实上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比方矩阵乘法不能交换, 不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比拟重要的，因为有时能在考场上派上用场，须要熟悉。6, 7题是求矩阵乘方的题目，基此题，但要留意些适当的技巧，比方拆成两个特殊矩阵的和，能简化运算。8, 9是关于对称阵概念的考察，不难但重要，因为这类题即是线代里证明题的代表：几乎都要从定义动身证明。所以从这两道题得到的启发是要把线代上的每个学问点都抠得足够细，了然于心。10, 11, 12都是矩阵求逆的计算题，只不过表达方式不同，10题是干脆提出要求，11题是以矩阵方程
21、的形式来示意求逆，12题那么从线性方程组的角度来示意求逆。求逆是错误率很高的一类题目，所以须要重点练习。13, 和3题类似，矩阵的乘法事实上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换可以用一个矩阵表示，反过来求x到y的变换，求逆阵即可。此题的另外一个示意：要能够娴熟的驾驭从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay代表一个线性方程组，或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看到一个立即反响到另一个。14, 考察矩阵和其逆阵, 伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。15, 16解简洁的矩阵方程，留意先对等式做一些适当的变形，基此题。14, 15证明矩阵可逆，从定义动身即可，留意从
22、题目中体会思路。16, 考察矩阵和其逆阵, 伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。17, 18略微困难一些的矩阵方程，因为其中涉及到伴随阵，但也不难，利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化，此二题的难度接近考研中的填空题。19, 20是矩阵的乘方多项式实质也是乘方运算，在复习完一遍线代后再看发觉这其实就是特征值特征向量对角化的一个应用，事实上特征值问题原来就可以理解为是为了找寻矩阵乘方运算的捷径而开展起来的，只不过后来发觉特征值还有许多其它很好的用处。21, 22证明矩阵可逆，从可逆的定义动身即可，即假设能找到某一矩阵及矩阵的乘积为单位阵，那么矩阵确定可逆，留意从这两道题目中体会这
23、种常用的思路。23, 24题本身的证明是从定义动身，更重要的是这两道题可以作为结论记的，线代的考研题目常涉及这两个命题。在线代的学习中，把握好一些不是课本上正面给出如出现于习题中的命题是很有好处的。25, 26, 27, 28都是对分块矩阵运算的考察，作为适当的练习，是必要的。在分块矩阵这局部学问点特殊要留意的是：要能够依据问题的须要实行适当的分块方式，典型的如行分块和列分块，一个线性方程组可以用矩阵Ax=b来表示，一个矩阵方程AX=B那么可看作是假设干个线性方程组A(x1 x2 . xn)=(b1 b2 . bn)同时成立的结果，当然这只是一个典型的里子，其它还有许多类似的点也要娴熟到能够在
24、头脑中随时切换，以适应不同的解题或理解须要。和第一章类似，第二章的学习也主要集中在计算层面上，我们可以这样来理解，前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中根本的运算规那么，就如我们以前学数的加减乘除一样，这些规那么当然是认为规定的，但是又是在解决某些实际问题的过程中会大量用到的，所以有必要先统一进展了解和学习，比方求行列式可以扶植我们解方程，求矩阵的乘积可以扶植我们进展坐标变换，等等。 同济五版线性代数习题解读三1, 用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，根本运算的练习，事实上也可以化为阶梯行而不确定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟驾驭。2, 3外表上是要求一个能使矩阵化为行最简形的可逆阵，事
25、实上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决许多问题。4, 求矩阵的逆阵的第二种方法第一种是伴随阵，基此题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚书上相应章节有说明，即为什么可以通过这两种方法求逆阵。5, 6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。7, 考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩确定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。所以秩为r的话只须要有一个不为零的r阶子式，但全部的
26、r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不行能全部的都为零，否那么秩就是r-1而不是r了。8, 还是涉及矩阵的秩，矩阵削减一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己确定要在头脑中把这个过程想清楚。9, 主要考察矩阵的秩和行列向量组的秩的关系，事实上它们是一样的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简洁问题：在找两个行向量，及条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最终由于要求方阵，所以还要找一个向量，及前面四个向量组和在一起那么线性相关，最简洁想到的就是0向量了。10, 矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩
27、也就相应的是一类重要问题。矩阵的初等行列变换都不会变更其秩，所以可以混用行, 列变更把矩阵化为最简形来求出秩。11题是一个重要命题，经常可以干脆拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义动身：等价是指两个矩阵可以经过初等变换相互得到，而初等变换是不变更矩阵的秩的，所以等价那么秩必相等。事实上11题因为太过常用，以至于我们经常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不行。12, 选取适宜的参数值来确定矩阵的秩，方法不止一种，题目不难但比拟典型。13, 14题是求解齐次, 非齐次方程组的典型练习，务必娴熟驾驭。15, 线性方程组的逆问题，即解要求写出方程，把矩阵的系数看做未
28、知数来反推即可，因为根底解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的，个人感觉这类题不太重要。16, 17, 18题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型，探讨不同参数取值时解的状况，要娴熟驾驭这类题目。19, 证明本身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一个向量及其转置或一个列向量一个行向量生成的矩阵其秩确定是1。这事实上也不难理解，矩阵的秩是1意味着每行或每列都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系数，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体的例子验证，加深印象。另外值得留意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数。20, 考察的
29、是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住R(AB)=min(R(A),R(B)这个关键命题即可。或者从同解方程组角度动身，即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解。21, 留意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法证明，这是易犯的错误之一。事实上该题考察的还是方程组只有零解的条件：满秩。关键一步在于把条件改写为A(X-Y)=0前两章的习题以熬炼计算实力为主，从第三章开场理解层面的内容慢慢增多，许多概念要引起重视。 同济五版线性代数习题解读四首先说一下，第四章的精华就在于勾画出了向量组, 矩阵和线性方程组之间的关系，它们共同形成一个线性代数的学问网络，习题四中的证明题根本上都是对思维的熬炼，做好这些证明题有
30、助于加深对线代学问点相互关系的理解，要重点对待。 1, 涉及一个重要的学问转换，即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题事实上就是一个线性方程组是否有解的问题，同时，一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题事实上就是两个向量组的秩的比拟问题，所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小。因为我们知道一个重要的事实：一个向量组不行能由比它秩更小的向量组来线性表出，例如，三维空间里的向量秩是3恒久不行能由平面上的向量秩是2来表出。2, 考察向量组的等价，搞清楚何为向量组等价，干脆验证即可，基此题。另外可以发散一下思维，向量组等价和矩阵等价有何不同？哪个命题的结论更强？事实上向量组等价那么对应矩阵
31、确定等价，反之未必。3, 及线性表出有关的命题，一般用反证法，这类题目可以有效的熬炼解题思路，假如不会要重点体会答案给出的方法和思路。4, 5题涉及线性相关和线性无关的推断，事实上还是转化为方程组有解无解的问题，基此题。6题考察对两个向量线性相关的理解，事实上就是对应成比例，但事实上许多类似的题目不仅仅局限于两个向量，此题不是太有代表性，了解一下即可。7, 8涉及到一些相关和无关的命题推断，重点在于理解题干的意思，如81的错误在于放大了线性相关的结论，因为线性相关只须要至少有一个向量可由其余向量表示，而不确定能确定原委是哪个向量能用其余向量表示，类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思，这是第
32、一要务。至于反例倒在其次，可以通过参考书的答案看看，了解下有这样的反例即可。9, 10题是证明线性相关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零，然后推证系数的状况，假设系数可不全为零那么线性相关，假设系数必需全为零那么线性无关，重点题型。11, 12考察如何求一个向量组的秩和最大无关组，留意求向量组的秩只能用一种变换一般用行变更，化为阶梯形即一目了然，基此题型的练习，要娴熟驾驭。13, 通过秩来确定参数，基此题，只不过这里是以向量组的形式给出条件，和以线性方程组, 矩阵的形式给出条件无本质区分。14, 15是向量组的命题，留意单位坐标向量的特殊性：线性无关。另外14题就是15题的特殊状况。16
33、, 用反证法，此题的奇异之处在于要逐步递推，这是线代习题中少有的过程比结论重要的题目大多习题都是结论常用所以显得更重要，留意细致体会证明过程。17, 就是习题三的20题，只不过是以向量组的说法给出。18, 应当从今题中体会到的是：两个向量组等价，那么其关系矩阵确定是满秩的，缘由可用矩阵的语言来说明：两个向量组等价事实上就是通过一系列初等变换可互化，关系矩阵就是这些所全部初等变换对应的初等矩阵的乘积，初等矩阵全部都是满秩的。19, 题目本身不难，干脆代入条件再作适当的变形即可，但复习过一遍线代的同学应当留意到，特征值及特征向量的一些概念在此题中已经初现端倪，要把思路拓宽，看看从特征向量的角度来看
34、是否能对题目有新的体会。20, 齐次线性方程组的练习，基此题型，必需的练习，尤其是3这类系数由通式给出的方程，在考研中出现的概率更高，留意不要出错。21, 事实上转化为线性方程组的题目，也是基此题型。22, 就是习题三的15题，两者无本质区分。23, 基此题，求方程组的根底解系，另外留意公共解事实上就是方程组联立后的结果。24, 题目涉及的重要命题有两个，一是：假设AB=0，那么R(A)+R(B)=R(A+B)。至于证明本身，只是这两个命题在某种特殊状况下的综合应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。25, 及伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，确定要驾驭。证明过程许多参考资料都给出了。
35、26, 非齐次线性方程组的练习，基此题型。27, 考察线性方程组的解的构造，较好的融合了该局部的相关学问点，通过此题的练习可以加深解的构造相关概念的理解。28, 探讨参数取值对方程组的解的影响，基此题，以向量组的语言给出而已。29, 把线性方程组和空间解析几何的学问点相结合的一道题目，可以作为一个提高练习，不强求驾驭。30, 以抽象的向量形式给出线性方程组的问题，考研典型题之一，解决此题须要综合应用线性方程组和向量组的假设干学问点，重点驾驭和理解的对象。31, 32, 33都是涉及解的构造的证明题，其中对根底解系的理解要清楚：根底解系是线性无关的，同时全部的解都可由根底解系表示，由此可见根底解
36、系本身就给出了许多强有力的信息，这个在题目中确定要多加利用。同时还有一些解的构造的命题，如非次方程解的差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和驾驭。34及以后的向量空间的题目都不作要求，最多是40题的过渡矩阵了解一下即可，具体解法可参加书上例题，这里不再详述。通过三, 四章的学习和练习，我们体会到，要学好线代，须要建立起良好的思维习惯，即面对线性代数的学问点，经常须要从不同的角度方程组角度, 向量组角度和矩阵角度去理解同一个数学事实或数学命题，并且它们通常还是可以互推的，所以在线代里，“见一反三特殊重要，一旦抓住了整个学问网络，线代就会成为考研数学里最简洁的一环。同济五版线性代
37、数习题解读五1, 涉及及正交相关的条件的根本计算题，可作为运算方面的练习。2, 施密特正交化的计算，很重要的基此题，要留意的是施密特正交化的计算公式难于记忆，最好是把正交化的整个过程搞清楚，也就是说：给你一组向量，你要把它们化成正交的，怎么做？可以先考虑简洁情形，两个向量怎么正交化？很简洁，只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了。那三个向量怎么正交化？先把其中两个正交化，然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。依次类推，就不难理解施密特正交化中每个公式的意义了。3, 推断矩阵是不是正交阵，按定义即可，基此题。4, 5是简洁的涉及正交矩阵概念的证明题，从定义动身，都不难得到结论。6
38、, 求特征值和特征向量的基此题型，须要练习纯熟。7, 证明特征值一样，按特征值定义即可，此命题可作为结论用。8, 较难的一道题，把线代里几个重要的学问点都综合在一起考察，关键在于问题的转化：有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题，然后用及方程组的根底解系有关的学问点解决，要重点体会解题思路。9, 10, 11都是及特征值有关的一些命题，从定义动身不难证明，线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们，把它们理解好。其中10题是一个常用的结论。12, 13是特征值性质的应用，即特征值及矩阵特有的对应关系，比方矩阵作多项式运算，那么其特征值也就该多项式规律变更，基此题，也是常见题型。14, 考察
39、相像的概念，照旧是要把握好定义，何为相像？15, 16题涉及到相像对角化，这就要求把相像对角化的条件搞清楚，那么什么样的矩阵可相像对角化？条件是特征向量线性无关，从这点动身就可以解决问题。至于161那么是特征值特征向量定义的干脆考察。17, 18涉及到求矩阵的乘方，事实上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的，这里自然是化为对角阵以后计算，18题是应用题形式。 19, 20题涉及正交的相像变换矩阵，基此题，计算量较大且简洁出错，是值得重视的练习。21, 22, 23题那么是特征值问题的反问题，事实上把的对角矩阵看作动身点即可。值得留意的是：对一般矩阵来说，不同的特征值对应的特
40、征向量是线性无关的；对对称矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关，还是正交的，这明显是个更有用的结果。24是一个重要命题，它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题。事实上有一个列向量生成的矩阵其秩是1，而且是对称的，所以必可对角化，故0是其n-1重特征值，至于非零特征值，也不难求出，就是这个列向量转置后生成的数。此题的结论很常用，要重点驾驭。25题涉及求矩阵的多项式运算，不外乎就是乘方运算，及17, 18题类同。26, 27题考察二次型的概念，基此题，要求娴熟写出一个二次型所对应的矩阵，反过来也一样。28, 29题考察用正交变换化二次型为标准型，事实上就是一个对角化的问题，但因为是
41、对称矩阵，所以既可正交又可相像对角化。同时要留意二次型的几何意义：是一个二次曲面。曲面的形态在不同的坐标系下都是一样的，所以对于一个困难的二次型，假设不能干脆看出它是什么曲面，可以通过化为主坐标系下的二次型即标准型来进展视察。30, 综合性较强的一道题，转化为多元函数的条件极值问题即可。31, 用配方法化二次型的练习，基此题，留意计算不要出错。32, 33都是推断二次型的正定性，对于具体给出的二次型，用依次主子式的符号即可推断，这个是其中一个充分必要条件。34, 实际给出了正定的另一个充分必要条件，证明过程涉及一个抽象矩阵，故只能从最根本的正定的定义动身，此命题是一个有用的结论，要求驾驭最终是
42、一些线性代数核心学问点的相关思维训练也是常用的结论学好线代的最关键要点在于“见一反三，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组, 向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于依据解决问题的须要选择适宜的切入点。现将一些个人觉得比拟熬炼思维的习题汇总如下，信任通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进展深化思索，会有助于更进一步把握好线代的学问体系。1, 任何一个向量=a1, a2, ., an都能由单位向量1=1, 0, ., 0, 2=0, 1, ., 0, , n=0, 0, ., 1线性表出，且表示方式唯一。2, 向量组1，2，n中任一个向量i可以由这个向量组线性表出。3, 推断以下说法正确性
43、：1“向量组1，2，n，假如有全为零的数k1, k2, ., kn使得k1*1+k2*2+kn*n=0，那么1，2，n线性无关。2“假如有一组不全为零的数k1, k2, ., kn，使得k1*1+k2*2+kn*n0，那么1，2，n线性无关。3“假设向量组1，2，nn2线性相关，那么其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。4, 三维空间中的随意4个向量必线性相关。5, n+1个n维向量必线性相关。6, 假如向量组1，2，3线性无关，那么向量组21+2，2+53，43+31也线性无关。7, 假如向量组1，2，3，4线性无关，推断向量组1+2，2+3，3+4，4+1是否线性无关。8, 假如向量可以
44、由向量组1，2，n线性表出，那么表出方式唯一的充分必要条件是1，2，n线性无关。9, 设向量组1，2，n线性无关，=k1*1+k2*2+kn*n。假如对于某个ki0，那么用替换i后得到的向量组1，(i-1)，(i+1)，n也线性无关。10, 由非零向量组成的向量组1，2，nn2线性无关的充分必要条件是每一个i1in都不能用它前面的向量线性表出。11, 设1，2，n线性无关，且1，2，n=A1，2，n，那么1，2，n线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。12, 秩为r的向量组中随意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。13, 任一n维向量组假设是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过
45、n。14, 假如n维向量构成的向量组1，2，n线性无关，那么任一n维向量可由1，2，n线性表出。15, 假如随意的n维向量都可以由1，2，n线性表出，那么1，2，n线性无关。16, 假如秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出，那么这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。17, n个方程的n元线性方程组x1*1+x2*2+xn*n=对任何都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。18, 假如向量组1，2，n和向量组1，2，n，有一样的秩，那么可以由1，2，n线性表出。19, r1，2，n，1，2，mr1，2，n+r1，2，m。20, 矩阵的随意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。21, 假如m*n的矩阵A的秩为r，那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。22, 假如一个n*n矩阵至少有n2-n+1个元素为0，那么这个矩阵不是满秩矩阵。23, 假如一个n*n矩阵至少有n2-n+1个元素为0，那么这个矩阵的秩最多是多少？24, 设1，2，t是齐次线性方程组的一个根底解系，那么及1，2，t等价的线性无关的向量组也是方程组的一个根底解系。25, 设n元齐次线性方程