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1、线性代数复习要点线性代数复习要点第一部分第一部分行列式行列式1.1. 排列的逆序数排列的逆序数2.2. 行列式按行（列）展开法则行列式按行（列）展开法则3.3. 行列式的性质和行列式的计算行列式的性质和行列式的计算行列式的定义行列式的定义1.1. 行列式的计算：行列式的计算： ( (定义法定义法) )1 2121 21112121222()1212()nnnnnj jjnjjnjj jjnnnnaaaaaaDa aaaaa1（降阶法）（降阶法）行列式按行（列）展开定理：行列式按行（列）展开定理：行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和行列式等于它的任一行（列）的各元素与
2、其对应的代数余子式的乘积之和. .推论推论：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之：行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零和等于零. .1122,0,.ijijinjnAija Aa Aa Aij ( (化为三角型行列式化为三角型行列式) )上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积上三角、下三角、主对角行列式等于主对角线上元素的乘积. .112211 22*0*0*00nnnnbbAb bbb 若若AB与都是方阵（不必同阶）都是方阵（不必同阶）, ,则则=()mnAOAAOA BOBOBBOAAA BBOBO 1关于副
3、对角线：关于副对角线：(1)211212112111()n nnnnnnnnnnaOaaaa aaaOaO 1 范德蒙德行列式：范德蒙德行列式：1222212111112nijnj i nnnnnxxxxxxxxxxx 111ab型公式：型公式：1(1) ()nabbbbabbanb abbbabbbba ( (升阶法升阶法) )在原行列式中增加一行一列，保持原行列式不变的方法. ( (递推公式法递推公式法) ) 对对n阶行列式阶行列式nD找出找出nD与与1nD或或1nD, ,2nD之间的一种关系之间的一种关系称为递推公式，其中称为递推公式，其中nD, ,1nD, ,2nD等结构相同，再由递推
4、公式求出等结构相同，再由递推公式求出nD的方法称为递推公式法的方法称为递推公式法. .( (拆分法拆分法) ) 把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，行列式写成两行列式之和，使问题简化以例计算使问题简化以例计算. . ( (数学归纳法数学归纳法) )2.2. 对于n阶行列式A，恒有：1( 1)nnkn kkkEAS，其中kS为k阶主子式；3.证明0A 的方法：、AA ；、反证法；、构造齐次方程组0Ax ，证明其有非零解；、利用秩，证明( )r An；、证明 0 是其特征值.4.代数余子
5、式和余子式的关系：( 1)( 1)ijijijijijijMAAM 第二部分第二部分矩阵矩阵1.1. 矩阵的运算性质矩阵的运算性质2.2. 矩阵求逆矩阵求逆3.3. 矩阵的秩的性质矩阵的秩的性质4.4. 矩阵方程的求解矩阵方程的求解1.1. 矩阵的定义矩阵的定义 由由m n个数排成的个数排成的m行行n列的表列的表111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa称为称为m n矩阵矩阵. .记作：记作：ijm nAa或或m nA 同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等同型矩阵：两个矩阵的行数相等、列数也相等. . 矩阵相等矩阵相等: : 两个矩阵同型，且对应元素相等两个矩阵同型，且对应元
6、素相等. . 矩阵运算矩阵运算a.a. 矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）矩阵加（减）法：两个同型矩阵，对应元素相加（减）. .b.b. 数与矩阵相乘：数数与矩阵相乘：数与矩阵与矩阵A的乘积记作的乘积记作A或或A，规定为，规定为()ijAa. .c.c. 矩阵与矩阵相乘：设矩阵与矩阵相乘：设()ijm sAa, ,()ijs nBb, ,则则()ijm nCABc，其中其中12121 122(,)jjijiiisijijissjsjbbcaaaa ba ba bb注：注：矩阵乘法不满足：交换律、消去律矩阵乘法不满足：交换律、消去律, , 即公式即公式00ABBAABA 或B=0不
7、成立不成立.a.a.分 块 对 角 阵 相 乘 ：分 块 对 角 阵 相 乘 ：11112222,ABABABEMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT411112222A BABA B, ,1122nnnAAAb.b. 用对角矩阵用对角矩阵左左 乘一个矩阵乘一个矩阵, ,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的行行向量；向量；1111211 111 121 1221222221222221212000000nnnnmmmmnmmmmmmnabbbababababbba ba ba bBabbba ba ba bc.c.
8、用对角矩阵用对角矩阵右右乘一个矩阵乘一个矩阵, ,相当于用相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的对角线上的各元素依次乘此矩阵的的列列向量向量. .1112111 112 1212122221 212222121122000000nmnnmnmmmnmmmmmnbbbaaba ba bbbbaaba ba bBbbbaaba ba b d.d.两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘. . 方阵的幂的性质：方阵的幂的性质：mnm nA AA，()( )mnmnAA矩阵的转置：把矩阵矩阵的转置：把矩阵A的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做A的转置矩阵，记的转置矩阵，记作作TA. .a.a. 对称矩阵和反对称矩阵对称矩阵和反对称矩阵: :A是对称矩阵是对称矩阵TAA. .A是反对称矩阵是反对称矩阵TAA . .b.b. 分块矩阵的转置矩阵：分块矩阵的转置矩阵：TTTTTABACCDBD伴随矩阵：伴随矩阵：1121112222*12nTnijnnnnAAAAAAAAAAA，