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1、精品名师归纳总结学习过程一、课前预备（预习教材P102 P104，找出疑问之处）资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 1：可以确定一条直线。确定一个平面的方法有哪些？复习 2：如何判定空间A,B,C 三点在一条直线上？复习 3：设 a a1 , a2 , a3 ， b b1,b2 , b3 ，a b二、新课导学 学习探究探究任务一 ：向量表示空间的点、直线、平面问题 ：怎样用向量来表示点、直线、平面在空间中的位置？ 新知 ： 点：在空间中， 我们取肯定点O 作为基点， 那么空间中任意一点P 的位置就可以用
2、向量OP 来表示，我们把向量OP 称为点 P 的位置向量 . 直线：直线的 方向向量 ：和这条直线平行或共线的非零向量.对于直线l 上的任一点P ,存在实数 t ，使得 APt AB ，此方程称为 直线的向量参数方程. 平面：空间中平面的位置可以由内两个不共线向量确定.对于平面上的任一点P , a, b 是平面内两个不共线向量，就存在有序实数对 x, y ,使得 OPxayb .空间中平面的位置仍可以用垂直于平面的直线的方向向量表示空间中平面的位置. 平面的法向量： 假如表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面，就称这个向量n 垂直于平面,记作 n ，那么向量n 叫做平面的法向量 .试试 ：
3、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1.假如a, b 都是平面的法向量，就a, b 的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.向量 n 是平面的法向量，向量a 是与平面平行或在平面内，就n 与 a 的关系是 .反思 ：1. 一个平面的法向量是唯独的吗？2. 平面的法向量可以是零向量吗？ 向量表示平行、垂直关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设直线l , m 的方向向量分别为a,b ， 平面,的法向量 分别为u ,v ， 就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 l ma bakb l aua u0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名
4、师归纳总结u v 典型例题ukv.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1 已知两点A 1, 2,3, B2,1, 3,求直线 AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结与坐标平面YOZ 的交点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：已知三点A 1,2,3 , B
5、2,1,2 , P1,1,2,点 Q在 OP 上运动（ O 为坐标原点）,求当 QAQB 取得最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小值时 ,点 Q的坐标 .小结 ：解决有关三点共线问题直接利用直线的参数方程即可.例 2 用向量方法证明两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，就这两个平面平行.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：在空间直角坐标系中,已知A 3,0,0 , B0,4,0 , C0,0,2,试求平面ABC 的一个法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结小结 ：平面的法向量与平面内的任意向量都垂直. 动手试试
6、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练 1. 设a, b 分别是直线l1 ,l 2 的方向向量，判定直线l1, l2 的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 a1,2,2 , b2,3,2。 a0,0,1 ,b0,0,3.练 2. 设 u, v 分别是平面,的法向量，判定平面,的位置关系：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 u1,2,2 , v u2,3,5 , v2,4,4。3,1,4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、总结提升 学习小结1. 空间点，直线和平面的向量表示方法2. 平面的法向量求法和性质. 学问拓展 ：求平面
7、的法向量步骤：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结设平面的法向量为nx, y, z 。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结找出 求出 平面内的两个不共线的向量的坐标。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结依据法向量的定义建立关于资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -x, y, z 的方程组。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解方程组 ,取其中的
8、一个解,即得法向量 . 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 设 a2,1,2 , b6,3, 6分别是直线l1 ,l 2 的方向向量，就直线l1, l2 的位置关系是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 设 u2,2,5, v6,4,4分别是平面,的法向量，就平面,的位置关系是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 已知 n，以下说法错误选项（）A. 如 a，就 naB.如 a /，就 na可
9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结C.如 m, ，就n / mD.如 m, ，就 nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4.以下说法正确选项（）A. 平面的法向量是唯独确定的B. 一条直线的方向向量是唯独确定的C.平面法向量和直线的方向向量肯定不是零向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结D. 如 m 是直线 l 的方向向量，l /，就 m /可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 已知 AB1,0,1 , AC10,3,1，能做平面ABC 的法向量的是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A.1,2,1B.课后作业1,13C.
10、 1,0,0D.2,1,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 在正方体ABCDA1 B1C1 D1 中，求证：DB1 是平面ACD1 的一个法向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2已知 AB2,2,1 , AC4,5,3，求平面ABC 的一个法向量 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.2 立体几何中的向量方法（2）学习目标1. 把握利用向量运算解几何题的方法，并能解简洁的立体几何问题。2.把握向量运算在几何中求两点间距离和求空间图形中的角度的运算
11、方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习过程一、课前预备（预习教材P105 P107，找出疑问之处.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 1：已知 ab1 ， a1, b2 ，且 m2ab ，求 m .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范畴是什么？可编辑
12、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结二、新课导学 学习探究探究任务一 ：用向量求空间线段的长度问题 ：如何用向量方法求空间线段的长度？新知 ：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2aa 求出线段长度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试试 ：在长方体ABCDA B C D 中，已知AB1,BC2, CC1 ,求AC 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结反思 ：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. 典型例题例 1 如图，一个结晶体的外形为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长
13、都相等，且它们彼此的夹角都是60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 1：上题中平行六面体的对角线BD1 的长与棱长有什么关系？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 2：假如一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归
14、纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -探究任务二 ：用向量求空间图形中的角度例 2 如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处.从 A， B 到直线 l （库底与水坝可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的交线）的距离AC, BD 分别为a ,b ， CD 的长为 c ， AB 的长为 d .求库底与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结水坝所成二面角的余弦值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：如图， 60 的二面角的棱上有A, B 两点，直线AC , BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且
15、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结都垂直于AB , 已知 AB4, AC6, BD8 ,求 CD 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 动手试试练 1. 如图，已知线段AB 在平面 内，线段 AC，线段 BD AB，线段假如 AB a， ACBD b，求 C、 D 间的距离 .DD ，DBD30 ，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练 2. 如图， M 、N 分别是棱长为1 的正方体ABCDA B C D 的棱BB 、B C 的中点求异面直线可编辑资料
16、 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结MN 与 CD 所成的角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、总结提升 学习小结1.求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为2aa。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结利用公式
17、 cos 学问拓展a,ba b 求解 . ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结解空间图形问题时,可以分为三步完成:（ 1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题仍常建立坐标系来帮助。（ 2）通过向量运算，讨论点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题。（ 3）把向量的运算结果“翻译 ”成相应的几何意义. 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 已知A 1,02 , B1,1,3，就 AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
18、结2. 已知cosa, b1 ，就2a, b 的夹角为 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3. 如 M 、N 分别是棱长为1 的正方体的角的余弦为（）ABCDA B C D 的棱A B , BB的中点 ,那么直线AM ,CN 所成可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结A. 3 2B. 10 10C. 35D. 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 将锐角为 60 边长为 a 的菱形 ABCD 沿较短的对角线折成60的二面角，就A. 3 aB.3 aC. 3 aD.3 aAC , BD 间的距离是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2
19、244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5.正方体ABCDA B C D 中棱长为 a ， AM1 AC 3, N 是 BB 的中点，就MN 为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结21615A. aB.aC.15aD.a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结6663可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结课后作业1.如图，正方体ABCDA B C D 的棱长为1，可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结M , N 分别是BB , BC 的中点，求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 MN ,CD 所成角的大小。 MN , A
20、D 所成角的大小。 AN 的长度 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - 3.2 立体几何中的向量方法（3）.学习目标1. 进一步娴熟求平面法向量的方法。2. 把握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的运算方法。3. 娴熟把握向量方法在实际问题中的作用.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结.学习过程一、课前预备复
21、习 1：已知A 1,2,0 , B0,1,1 , C1,1,2，试求平面ABC 的一个法向量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学 学习探究探究任务一 ： 点到平面的距离的求法问题 ：如图A, 空间一点P 到平面的距离为 d ,已知平面的一个法向量为n ,且 AP 与 n 不共线 ,能否用 AP 与 n 表示 d .分析 :过 P 作 PO 于 O ,连结 OA,就P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结d=| PO |= | PA | cosAPO.n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑
22、资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 PO , n, PO n . cos APO=|cosOAPA, n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 D. =| PA |cos PA,n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结= | PA | | n | | cos| n |PA,n| = | PA n | n |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结新知 ：用向量求点到平面的距离的方法：设 A, 空间一点P 到平面的距离为 d ,平面的一个法向量为n ，就D. =| PAn | n |试试 ：在棱长为1 的正方体 ABCDA B C D 中，求点 C 到
23、平面 A BCD 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -反思 ：当点到平面的距离不能直接求出的情形下，可以利用法向量的方法求解. 典型例题例 1 已知正方形ABCD 的边长为4，E、F 分别是 AB、AD 的中点， GC 平面 ABCD ，且 GC 2，求点 B 到平面 EFG 的距离 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总
24、结变式 ：如图 , ABCD是矩形 , PD平面 ABCD , PDDCa , AD求点 A 到平面 MNC 的距离 .2a , M、N 分别是 AD、PB 的中点 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结PNDCMAB小结 ：求点到平面的距离的步骤：建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标。求平面的一个法向量的坐标。找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标。代入公式求出距离.探究任务二 ： 两条异面直线间的距离的求法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 如图，两条异面直线a,b 所成的角为，在直线a, b 上分别取点A , E 和A, F ,使得 A
25、Aa ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AAb .已知A Em, AFn, EFl ，求公垂线AA 的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：已知直三棱柱ABC A1B1C1 的侧棱AA14 ,底面 ABC 中,ACBC2 ，且BCA90 , E 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结AB 的中点 ,求异面直线CE 与 AB1 的距离 .小结 ：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结直线上分别取一点A,
26、 B ，就两条异面直线间距离dnAB n求解 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -三、总结提升 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式 学问拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法. 当堂检测 （时量： 5 分钟满分： 10 分） 计分 ：可编辑资料 - - -
27、欢迎下载精品名师归纳总结1. 在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中，平面ABB A 的一个法向量为。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2.在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中，异面直线A B 和 CB 所成角是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结3.在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中，两个平行平面间的距离是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结4. 在棱长为1 的正方体ABCDA B C D 中，异面直线A B 和 CB 间的距离是。可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结5. 在棱长为1 的正方体离是 .课后作业
28、ABCDA B C D 中，点 O 是底面A B C D 中心，就点O 到平面ACDB 的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结1. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1 的棱长为1，点 M 是棱AA1 中点，点 O 是 BD1 中点，求证：OM是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结异面直线AA1 与 BD1 的公垂线，并求OM的长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结2. 如图， 空间四边形OABC 各边以及运算 DE 的长。求点 O 到平面 ABC 的距离 .AC , BO 的长都是1，点 D , E 分
29、别是边OA, BC 的中点， 连结 DE .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结第三章空间向量（复习）学习目标1.把握空间向量的运算及其坐标运算。2. 立体几何问题的解决娴熟把握向量是很好的工具.学习过程一、课前预备（预习教材P115 116，找出惑之处）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 1：如图，空间四边形OABC 中，中点，就 MNOAa, OBb,OCc .点 M 在 OA 上，且 OM= 2MA , N 为 BC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - -
30、- - -第 9 页，共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结复习 2：平行六面体资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -ABCDA B C D 中， ABa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结ADb, AAc ，点 P,M,N 分别是CA ,CD , C D 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结的中点，点Q 在 CA 上，且a,b, c 表示以下向量：CQ : QA4:1,用基底可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 AP ; AM; AN ; AQ . 主要学问点
31、：1. 空间向量的运算及其坐标运算：空间向量是平面对量的推广, 有关运算方法几乎一样,只是 “二维的 ”变成“三维的 ”了.2. 立体几何问题的解决向量是很好的工具平行与垂直的判定角与距离的运算 典型例题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 1如图 ,一块匀称的正三角形面的钢板的质量为500kg ，在它的顶点处分别受力F1 、 F2、 F3 ，每可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60 ，且 F1F2F3200kg .这块钢板在这些力的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，才
32、能提起这块钢板？变式 ：上题中，如不建立坐标系，如何解决这个问题？小结 ：在现实生活中的问题，我们可以转化我数学中向量的问题来解决，详细方法有坐标法和直接向量运算法，对能建立坐标系的题，尽量使用坐标运算会给运算带来便利.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 2 如图， 在直三棱柱ABCA1B1C1 中，ABC90 , CB1,CA2, AA16 ,点 M 是 CC1 的中点， 求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结证： AMBA1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页，共 12 页 -
33、 - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结变式 ：正三棱柱精品word 名师归纳总结 - - - - - - - - - - - -ABCA1B1C1 的底面边长为1，棱长为2，点 M 是 BC 的中点，在直线CC1 上求一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结N，使 MNAB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结例 3如图，长方体ABCDA1B1C1 D1 中，点 E,F 分别在BB1, DD1 上，且AEA1 B , AFA1 D .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求证：A1C平面 AEF ;可编辑资料 -
34、 - - 欢迎下载精品名师归纳总结当 AB4, AD3, AA15 时，求平面 AEF 与平面D1 B1 BD 所成的角的余弦值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结 动手试试练 1.如图，正三棱柱ABCA1 B1 C1 的底面边长为a ，侧棱长为2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结试建立适当的坐标系，写出点A, B, A1 ,C 1 的坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结求 AC1 的侧面 ABB1 A1 所成的角 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结练 2. 已知点 A1,-2,0, 向量 a3,4,12，求点 B 的坐标，使得AB / a ，且 AB2a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品名师归纳总结三、总结提升